第一节 导 数
Chapter 2
一、导数的概念
二、导数的几何意义
三、导数的经济意义
四、函数的可导与连续
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 2
1、变速直线运动的 瞬时速度 问题
t
tSttS
t
SV
00
则时，上式的极限存在，如果当 0 t
t
tSttS
t
StV
tt?
00
000 limlim
)(
设一物体作变速直线运动，运动的位置函数为,求在时刻 的 瞬时速度 。?tSS? 0t )( 0tV
在时刻 到 的时间间隔内,平均速度tt00t
一、导数的概念
O )( 0ts )( 0 tts s
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 3
一、导数的概念
2、收益对销售量的变化率－ 边际收益
q
qRqqR
q
R
qRqqRR
Rqqqq
qRR
R
)()(
)()(
).(
00
00
00
总收入的平均变化率是的改变量为时，总收入到由当销售量是销售量的函数）设商品的总收入（收益
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 4
.
)()(
lim
0
0
00
0
称为边际收益。变化率，这一变化率也的时总收入销售量存在，则称此极限值为时，如果极限当
Rqq
q
qRqqR
q
q
一、导数的概念
2、收益对销售量的变化率－ 边际收益
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 5
共同点：
函数的增量与自变量的增量的比值当自变量的增量趋于零时的极限。
1、变速直线运动的 瞬时速度 问题一、导数的概念
t
tSttS
t
StV
tt?
00
000 limlim)(
),( tss?已知运动方程
)( qRR?已知收益函数
2、收益对销售量的变化率－ 边际收益
q
qRqqR
q?
)()(lim 00
0
边际收益＝
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 6
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(
,)(
0
0
0
00
00
0
xx
yxxfy
xxfy
xxy
xfxxfy
y
xxxxx
xxfy
记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点函数则称时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时邻域内仍在该点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数
3、函数在某一点处的导数一、导数的概念
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 7
.)()(lim)( 0000 h xfhxfxf h其它形式
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x
yy
xxxx?
)()(limlim 00
000
,)(,)( 000 xxxxxx dx xdfdxdyxf 或即
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 8
(2)右导数
(1)左导数;)()(lim)()(lim)( 000
0
00
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
;)()(lim)()(lim)( 000
0
00
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
函数 )( xf 在点 0x 处可导? 左导数 )( 0xf 和右导数 )( 0xf 都存在且相等,
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 9
4、导函数（函数在某一区间内的导数）
.),()(
,),()(
内可导在区间则称函数内每一点都可导在区间如果函数
baxfy
baxfy
导数。内的一阶导函数，简称在区间函数的一个函数，称其为也是与之相对应，即
，都有一个导数值内每一个这时，对区间
),()(
)()(
),(
baxfy
xxfxf
xba
.)(),(,dx xdfdxdyxfy 或或或记作
x
xfxxfy
x?
)()(lim
0即
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4、导函数（函数在某一区间内的导数）
.),()(
,),()(
内可导在区间则称函数内每一点都可导在区间如果函数
baxfy
baxfy
如果 )( xf 在开区间ba,内可导，且 )( af 及 )( bf
都存在，就说 )( xf 在闭区间ba,上可导,
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 11
步骤,);()()1( xfxxfy求增量;)()()2( x xfxxfxy算比值
.lim)3( 0 xyy x求极限例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
0l i m 0?
h
CC
h
.0)(C即
5、导数的计算
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 12
例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
xxxxxf 及求设函数解
h
xhx
h
s i n)s i n (l i m
0
2
2
s i n
)
2
c o s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
co s)( s i n
xx
xx,22?
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
hhx
h
2s i n)2c o s (2l i m
0
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 13
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhx nnh )(lim 0
]!2 )1([lim 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
)()( 21 xx例如,1
1
2
1 x,
2
1
x?
)()1( 1xx 11)1( x,12x
h
xfhxfxf
h
)()()(
0
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例 4 。求已知 )0(.0,;0,)( fxx xxxf
解
xy?
x
y
o时，有当 0?x?
.1)0()0(l i m)0()0(l i m)0( 00 xxx fxff xx
时，有当 0?x?
.10)0(l i m)0()0(l i m)0( 00 xxx fxff xx
.0)( 点不可导在函数 xxfy
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二、导数的几何意义
o x
y )(xfy?
T
0x
M
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为法线方程为
).)(( 000 xxxfyy
).()(1 0
0
0 xxxfyy
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 16
例 5
因为 xxy 2)(
2
,由导数的几何意义又知,
曲线
2
xy?,在点 (1,1) 处的切线斜率为
22
11
xx
xy,
所以，所求的切线方程为
)1(21 xy,即 12 xy,
法线方程为
)1(
2
1
1 xy 即
2
3
2
1
xy,
求抛物线 2xy? 在点 (1,1) 处的切线方程和法线方程,
解
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 17
.,
)2,
2
1(1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率的处的切线在点线课堂习题：求等边双曲
x
y?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1 xyk
2
1)
1(
xx
2
12
1
xx
.4
所求切线方程为法线方程为
),21(42 xy
),21(412 xy
.044 yx即
.01582 yx即
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三、导数的经济意义
。可以略去“近似”二字
，际函数值的具体意义时在实际应用中，解释边个单位。位时，函数近似改变了处改变一个单在它说明当处的边际函数值则称为函数在处导数值在的边际函数为则称导函数处可导在设函数
)(
)(.
),()(.
)()(,)(
0
00
00
xf
xxfx
xfxxf
xfxfxxf
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 19
三、导数的经济意义个单位。改变了改变一个单位，时，＝这表明当时的边际函数值是在例如，函数
84
842
4
4
2
yxx
y
xxy
x
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 20
四、函数的可导与连续证明,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(lim 00 xfxyx )( 0xfxy
xxxfy)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 x?
.
)(,)(
0
0
处必连续点则函数处可导在一点如果函数
x
xfxxf
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200921 - 21
函数在一点处不可导的情况很复杂，但主要表现在下面三种情况：
xy?
x
y
o
y
x
xy sgn?
o
y
x
3 xy?
o
（不连续） （左、右导数不相等） （导数不存在）
但连续不一定可导。
四、函数的可导与连续
.
)(,)(
0
0
处必连续点则函数处可导在一点如果函数
x
xfxxf
Chapter 2
一、导数的概念
二、导数的几何意义
三、导数的经济意义
四、函数的可导与连续
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1、变速直线运动的 瞬时速度 问题
t
tSttS
t
SV
00
则时，上式的极限存在，如果当 0 t
t
tSttS
t
StV
tt?
00
000 limlim
)(
设一物体作变速直线运动，运动的位置函数为,求在时刻 的 瞬时速度 。?tSS? 0t )( 0tV
在时刻 到 的时间间隔内,平均速度tt00t
一、导数的概念
O )( 0ts )( 0 tts s
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一、导数的概念
2、收益对销售量的变化率－ 边际收益
q
qRqqR
q
R
qRqqRR
Rqqqq
qRR
R
)()(
)()(
).(
00
00
00
总收入的平均变化率是的改变量为时，总收入到由当销售量是销售量的函数）设商品的总收入（收益
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.
)()(
lim
0
0
00
0
称为边际收益。变化率，这一变化率也的时总收入销售量存在，则称此极限值为时，如果极限当
Rqq
q
qRqqR
q
q
一、导数的概念
2、收益对销售量的变化率－ 边际收益
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共同点：
函数的增量与自变量的增量的比值当自变量的增量趋于零时的极限。
1、变速直线运动的 瞬时速度 问题一、导数的概念
t
tSttS
t
StV
tt?
00
000 limlim)(
),( tss?已知运动方程
)( qRR?已知收益函数
2、收益对销售量的变化率－ 边际收益
q
qRqqR
q?
)()(lim 00
0
边际收益＝
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,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(
,)(
0
0
0
00
00
0
xx
yxxfy
xxfy
xxy
xfxxfy
y
xxxxx
xxfy
记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点函数则称时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时邻域内仍在该点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数
3、函数在某一点处的导数一、导数的概念
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.)()(lim)( 0000 h xfhxfxf h其它形式
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x
yy
xxxx?
)()(limlim 00
000
,)(,)( 000 xxxxxx dx xdfdxdyxf 或即
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(2)右导数
(1)左导数;)()(lim)()(lim)( 000
0
00
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
;)()(lim)()(lim)( 000
0
00
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
函数 )( xf 在点 0x 处可导? 左导数 )( 0xf 和右导数 )( 0xf 都存在且相等,
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4、导函数（函数在某一区间内的导数）
.),()(
,),()(
内可导在区间则称函数内每一点都可导在区间如果函数
baxfy
baxfy
导数。内的一阶导函数，简称在区间函数的一个函数，称其为也是与之相对应，即
，都有一个导数值内每一个这时，对区间
),()(
)()(
),(
baxfy
xxfxf
xba
.)(),(,dx xdfdxdyxfy 或或或记作
x
xfxxfy
x?
)()(lim
0即
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4、导函数（函数在某一区间内的导数）
.),()(
,),()(
内可导在区间则称函数内每一点都可导在区间如果函数
baxfy
baxfy
如果 )( xf 在开区间ba,内可导，且 )( af 及 )( bf
都存在，就说 )( xf 在闭区间ba,上可导,
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步骤,);()()1( xfxxfy求增量;)()()2( x xfxxfxy算比值
.lim)3( 0 xyy x求极限例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
0l i m 0?
h
CC
h
.0)(C即
5、导数的计算
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例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
xxxxxf 及求设函数解
h
xhx
h
s i n)s i n (l i m
0
2
2
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)
2
c o s (l i m
0 h
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x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
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xx,22?
h
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0
h
hhx
h
2s i n)2c o s (2l i m
0
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例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhx nnh )(lim 0
]!2 )1([lim 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
)()( 21 xx例如,1
1
2
1 x,
2
1
x?
)()1( 1xx 11)1( x,12x
h
xfhxfxf
h
)()()(
0
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例 4 。求已知 )0(.0,;0,)( fxx xxxf
解
xy?
x
y
o时，有当 0?x?
.1)0()0(l i m)0()0(l i m)0( 00 xxx fxff xx
时，有当 0?x?
.10)0(l i m)0()0(l i m)0( 00 xxx fxff xx
.0)( 点不可导在函数 xxfy
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二、导数的几何意义
o x
y )(xfy?
T
0x
M
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为法线方程为
).)(( 000 xxxfyy
).()(1 0
0
0 xxxfyy
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例 5
因为 xxy 2)(
2
,由导数的几何意义又知,
曲线
2
xy?,在点 (1,1) 处的切线斜率为
22
11
xx
xy,
所以，所求的切线方程为
)1(21 xy,即 12 xy,
法线方程为
)1(
2
1
1 xy 即
2
3
2
1
xy,
求抛物线 2xy? 在点 (1,1) 处的切线方程和法线方程,
解
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.,
)2,
2
1(1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率的处的切线在点线课堂习题：求等边双曲
x
y?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1 xyk
2
1)
1(
xx
2
12
1
xx
.4
所求切线方程为法线方程为
),21(42 xy
),21(412 xy
.044 yx即
.01582 yx即
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三、导数的经济意义
。可以略去“近似”二字
，际函数值的具体意义时在实际应用中，解释边个单位。位时，函数近似改变了处改变一个单在它说明当处的边际函数值则称为函数在处导数值在的边际函数为则称导函数处可导在设函数
)(
)(.
),()(.
)()(,)(
0
00
00
xf
xxfx
xfxxf
xfxfxxf
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三、导数的经济意义个单位。改变了改变一个单位，时，＝这表明当时的边际函数值是在例如，函数
84
842
4
4
2
yxx
y
xxy
x
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四、函数的可导与连续证明,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(lim 00 xfxyx )( 0xfxy
xxxfy)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 x?
.
)(,)(
0
0
处必连续点则函数处可导在一点如果函数
x
xfxxf
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函数在一点处不可导的情况很复杂，但主要表现在下面三种情况：
xy?
x
y
o
y
x
xy sgn?
o
y
x
3 xy?
o
（不连续） （左、右导数不相等） （导数不存在）
但连续不一定可导。
四、函数的可导与连续
.
)(,)(
0
0
处必连续点则函数处可导在一点如果函数
x
xfxxf
