第二节 一元函数的极限
Chapter1
一、无穷小与无穷大
二、一元函数极限的概念
三、极限的重要性质
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 2
1、无穷小一、无穷小与无穷大例 1：一个单摆的振幅随着时间的增加越变越小。
例 2：,庄子,中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
,，，，，
，即有数列：，则天的剩余量为设木棒在第
n
nnn
uun
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 3
)(0)( xx
注意,1.无穷小是无限趋于 0的变量，不能将它与很小的常数相混。
2.零数列是无穷小。
定义 1.3 如果变量 在其随 x变化过程中，对于预先给定的任意小的正数,总存在那么一个时刻，使得在这时刻之后，恒有不等式成立，则称变量 为无穷小。
)(x?
)(x?
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 4
定理 1.1 在自变量的同一变化过程中：
（ 1）有限个无穷小的代数和仍为无穷小。
（ 2） 有限个无穷小的乘积仍为无穷小。
（ 3）有界量与无穷小的乘积仍为无穷小。
推论：常数与无穷小的乘积仍为无穷小。
注意：两个无穷小的商不一定是无穷小。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 5
2、无穷大例,y=tgx 在 x无限趋近 时，其绝对值无限增大。（图略） 2
定义 1.4 如果变量 y在它的变化过程中，对于预先给定的任意大的正数 M，总存在那么一个时刻，使得在这时刻之后，恒有成立，则称变量 y 为无穷大量。
My?
注意：无穷大是变量。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 6
定理 1.2 在自变量的同一变化过程中：
（ 1）有限个无穷大的乘积仍为无穷大。
（ 2）有界量与无穷大的和仍为无穷大。
注意,1.有限个无穷大的代数和不一定是无穷大。如,x与 -x的代数和（ x →∞) 。
2.无穷大与有界量的乘积也不一定是无穷大。
如,x·sinx （ x →∞) 。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 7
3、无穷小与无穷大的重要关系 — 互为倒数定理 1.3 如果变量 y在某一变化过程中是无穷大，则 在该变化过程中是无穷小；反之，
如果变量 y在某一变化过程中是无穷小，且
y≠0,则 在该变化过程中是无穷大。
y
1
y
1
例如：当 n→∞ 时,是无穷小，则当 n→∞
时,为无穷大。
n2
1
n2
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 8
二、一元函数极限的概念
)(nfu n?
)( nfu n?
Anf )(
1、整标函数极限的定义（整标函数即数列）
定义 1.5 如果 n 无限增大时，整标函数与常数 A 的差 为无穷小，则称常数
A 为整标函数 当 n→∞ 时的极限，或说，
整标函数 收敛于 A，记作
)()()(lim
nAnfAnf
n
或
)(nfu n?
当整标函数没有极限时，称之为发散的。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 9
2、一元函数极限的定义
2.1 自变量变化的两种状态
（ 1） x→
0x
00 xxxx 及
（ 2） x→∞? x→+∞ 和 x→ -∞
显然,n→∞ 是 x→+∞ 的特殊情况。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 10
2.2 一元函数极限的定义定义 1.6在自变量的某一变化过程中，如果函数
f(x)与常量 A的差
Axf )(
为无穷小，则称常量 A为函数 f(x)的极限，记作
Lim f(x)=A 或 f(x) →A.
注意：这里,lim”表示自变量 xxx 或0
等
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 11
例 1 验证证,∵ x→1 但 x≠1
2112
1l i m
x
x
x
∴ 当 x≠1时,f(x)-A= 2
11
2?
xx
=x+1-2=x-1
当 x→1 时,x-1为无穷小
∴ 2112
1l i m
x
x
x
注意：函数在某点处的极限与其在该点是否有定义无关。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 12
2.3 有极限函数与其极限间等量关系定理 1.4 在自变量 x的某一变化过程中，函数 f(x)
以 A为极限的充分必要条件是,f(x)可以表示为常量 A与无穷小之和，即
Lim f(x)=A Axf )(
其中,是与函数 f(x)同一变化过程的无穷小。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 13
2.4 几个重要结论
（ 1）无穷小? 以零为极限的变量
（ 2） lim c = c (c为常数）
（ 3） 0lim
0
xx
xx
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 14
3、函数的单侧极限定义：如果当 x从 的左侧（ ）趋于,即
0x0
x
0xx?
0xx 时，函数 f(x)以 A为极限，则称 A为函数 f(x)
当
0xx
时的左极限，记作
AxfAxf
xx
)0()( 0lim
0
或类似地，
0xx
时的右极限，记作
AxfAxf
xx
)0()( 0lim
0
或
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 15
定理 1.5
AxfxfAxf
xxxxxx
)()()( limlimlim
000
Axf
xx
)(l i m
0
成立的充分必要条件是：
左、右极限分别存在并且相等，即注意：讨论分段函数分界点处极限的存在性，
必须用此定理判断。
例 2 设 f(x)=
0
01
xx
x,试讨论当 x→0 时,f(x)
的极限是否存在？ （解略）
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 16
例 3 讨论 x→0 时,f(x)=∣ x∣ 的极限是否存在？
解：
0
0)(
xx
xxxxf
因为 x=0是函数 f(x) 的分界点，故
0)(
0)()(
l i ml i m
l i ml i m
00
00
xxf
xxf
xx
xx
即,0)()( limlim
00
xfxf
xx
所以 0)(lim
0
xf
x
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 17
三、极限的重要性质性质 1（唯一性） 如果函数 f(x)在自变量的某一变化过程中有极限，则其极限必唯一。
0xx?
0x
性质 2（有界性） 如果函数 f(x) 当 时有极限，则必有 的某一邻域，使得函数在该邻域内有界。
性质 3（保号性） 如果在点 a的某一邻域里有 f(x)
≥0 (或 f(x) ≤0），且 Axf
ax
)(l i m
则 A≥0 (或 A≤0)。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 18
性质 4（极限存在的夹逼准则或叫“两头夹”）
如果对 a的某个邻域内的一切 x（点 a可以除外），
有 h(x) ≤f(x) ≤g(x)，且
AxfAxgxh
axaxax
)(,)()( limlimlim 则性质 5 （极限存在的单调有界准则）
单调有界序列（变量）必有极限。
Chapter1
一、无穷小与无穷大
二、一元函数极限的概念
三、极限的重要性质
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 2
1、无穷小一、无穷小与无穷大例 1：一个单摆的振幅随着时间的增加越变越小。
例 2：,庄子,中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
,，，，，
，即有数列：，则天的剩余量为设木棒在第
n
nnn
uun
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 3
)(0)( xx
注意,1.无穷小是无限趋于 0的变量，不能将它与很小的常数相混。
2.零数列是无穷小。
定义 1.3 如果变量 在其随 x变化过程中，对于预先给定的任意小的正数,总存在那么一个时刻，使得在这时刻之后，恒有不等式成立，则称变量 为无穷小。
)(x?
)(x?
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 4
定理 1.1 在自变量的同一变化过程中：
（ 1）有限个无穷小的代数和仍为无穷小。
（ 2） 有限个无穷小的乘积仍为无穷小。
（ 3）有界量与无穷小的乘积仍为无穷小。
推论：常数与无穷小的乘积仍为无穷小。
注意：两个无穷小的商不一定是无穷小。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 5
2、无穷大例,y=tgx 在 x无限趋近 时，其绝对值无限增大。（图略） 2
定义 1.4 如果变量 y在它的变化过程中，对于预先给定的任意大的正数 M，总存在那么一个时刻，使得在这时刻之后，恒有成立，则称变量 y 为无穷大量。
My?
注意：无穷大是变量。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 6
定理 1.2 在自变量的同一变化过程中：
（ 1）有限个无穷大的乘积仍为无穷大。
（ 2）有界量与无穷大的和仍为无穷大。
注意,1.有限个无穷大的代数和不一定是无穷大。如,x与 -x的代数和（ x →∞) 。
2.无穷大与有界量的乘积也不一定是无穷大。
如,x·sinx （ x →∞) 。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 7
3、无穷小与无穷大的重要关系 — 互为倒数定理 1.3 如果变量 y在某一变化过程中是无穷大，则 在该变化过程中是无穷小；反之，
如果变量 y在某一变化过程中是无穷小，且
y≠0,则 在该变化过程中是无穷大。
y
1
y
1
例如：当 n→∞ 时,是无穷小，则当 n→∞
时,为无穷大。
n2
1
n2
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 8
二、一元函数极限的概念
)(nfu n?
)( nfu n?
Anf )(
1、整标函数极限的定义（整标函数即数列）
定义 1.5 如果 n 无限增大时，整标函数与常数 A 的差 为无穷小，则称常数
A 为整标函数 当 n→∞ 时的极限，或说，
整标函数 收敛于 A，记作
)()()(lim
nAnfAnf
n
或
)(nfu n?
当整标函数没有极限时，称之为发散的。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 9
2、一元函数极限的定义
2.1 自变量变化的两种状态
（ 1） x→
0x
00 xxxx 及
（ 2） x→∞? x→+∞ 和 x→ -∞
显然,n→∞ 是 x→+∞ 的特殊情况。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 10
2.2 一元函数极限的定义定义 1.6在自变量的某一变化过程中，如果函数
f(x)与常量 A的差
Axf )(
为无穷小，则称常量 A为函数 f(x)的极限，记作
Lim f(x)=A 或 f(x) →A.
注意：这里,lim”表示自变量 xxx 或0
等
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 11
例 1 验证证,∵ x→1 但 x≠1
2112
1l i m
x
x
x
∴ 当 x≠1时,f(x)-A= 2
11
2?
xx
=x+1-2=x-1
当 x→1 时,x-1为无穷小
∴ 2112
1l i m
x
x
x
注意：函数在某点处的极限与其在该点是否有定义无关。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 12
2.3 有极限函数与其极限间等量关系定理 1.4 在自变量 x的某一变化过程中，函数 f(x)
以 A为极限的充分必要条件是,f(x)可以表示为常量 A与无穷小之和，即
Lim f(x)=A Axf )(
其中,是与函数 f(x)同一变化过程的无穷小。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 13
2.4 几个重要结论
（ 1）无穷小? 以零为极限的变量
（ 2） lim c = c (c为常数）
（ 3） 0lim
0
xx
xx
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 14
3、函数的单侧极限定义：如果当 x从 的左侧（ ）趋于,即
0x0
x
0xx?
0xx 时，函数 f(x)以 A为极限，则称 A为函数 f(x)
当
0xx
时的左极限，记作
AxfAxf
xx
)0()( 0lim
0
或类似地，
0xx
时的右极限，记作
AxfAxf
xx
)0()( 0lim
0
或
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 15
定理 1.5
AxfxfAxf
xxxxxx
)()()( limlimlim
000
Axf
xx
)(l i m
0
成立的充分必要条件是：
左、右极限分别存在并且相等，即注意：讨论分段函数分界点处极限的存在性，
必须用此定理判断。
例 2 设 f(x)=
0
01
xx
x,试讨论当 x→0 时,f(x)
的极限是否存在？ （解略）
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 16
例 3 讨论 x→0 时,f(x)=∣ x∣ 的极限是否存在？
解：
0
0)(
xx
xxxxf
因为 x=0是函数 f(x) 的分界点，故
0)(
0)()(
l i ml i m
l i ml i m
00
00
xxf
xxf
xx
xx
即,0)()( limlim
00
xfxf
xx
所以 0)(lim
0
xf
x
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 17
三、极限的重要性质性质 1（唯一性） 如果函数 f(x)在自变量的某一变化过程中有极限，则其极限必唯一。
0xx?
0x
性质 2（有界性） 如果函数 f(x) 当 时有极限，则必有 的某一邻域，使得函数在该邻域内有界。
性质 3（保号性） 如果在点 a的某一邻域里有 f(x)
≥0 (或 f(x) ≤0），且 Axf
ax
)(l i m
则 A≥0 (或 A≤0)。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200916 - 18
性质 4（极限存在的夹逼准则或叫“两头夹”）
如果对 a的某个邻域内的一切 x（点 a可以除外），
有 h(x) ≤f(x) ≤g(x)，且
AxfAxgxh
axaxax
)(,)()( limlimlim 则性质 5 （极限存在的单调有界准则）
单调有界序列（变量）必有极限。
