第三节 函数的连续性
Chapter 2
一、函数的改变量
四、初等函数的连续性
三、函数的间断点
五、闭区间上连续函数的性质
二、函数连续性的定义
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 2
x
y
0 0x xx0
)(xfy?
x?
y?
一、函数的改变量设函数 )( xfy? 在点
0
x 的某邻域上有定义，当自变量
x 由
0
x 变到 xx
0 时，函数
y 相应由 )(
0
xf 变到
)(
0
xxf,则称 x? 为 自 变 量 的 改 变 量,而
)()(
00
xfxxfy 为函数的改变量。
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 3
,0 xxx设 ),()( 0xfxfy
,0 0xxx 就是 ).()(0 0xfxfy 就是定义 1 设函数 )( xfy? 在点
0
x 的某邻域内有定义，
如 果自变量的改变量
0
xxx 趋于零时，对应的函数改变量也趋于零，即
0)()(l i ml i m
00
00
xfxxfy
xx
则称函数 )( xf 在点 0x 是连续的,
0)()(lim 0
0
xfxfxx )()(lim 0
0
xfxfxx从而二、函数连续性的定义
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 4
定义 2 设函数 )( xfy? 在点 0x 的某邻域内有定义,
若 )()(l i m 0
0
xfxf
xx
，则称函数 )( xf 在点 0x 处连续,
若 )()(lim 0
0
xfxf
xx
，则称函数在 0x 处 左连续,
若 )()(lim 0
0
xfxf
xx
，则称函数在 0x 处 右连续,
单侧连续定理
.
)()( 00
处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf?
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 5
如果 )( xf 在区间 ),( ba 内每一点都是连续的，就称
)( xf 在区间 ),( ba 内连续．若 )( xf 在 ),( ba 内连续，在
ax? 处右连续，在 bx? 处左连续，则称 )( xf 在 ],[ ba 上连续,连续函数的图形是一条连续不断的曲线,
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 6
例 1,112 处连续在＋函数证明 xxy
证121)(2 ＋＋ xxxy
x2
.0,0 yx 时当
.112 处连续在＋函数 xxy
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 7
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数称则要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
三、函数的间断点
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 8
例 2,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 xxx xxxf
解,0)(lim
0 xfx
.0 为函数的间断点 x
o x
y
,1)(lim 0 xfx
),(l i m)(l i m 00 xfxf xx
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 9
例 3
.0
,0,
,0,cos
)(
,
处连续在函数取何值时当
x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00,1?
)(l i m)(l i m 00 xaxf xx,a?
,)0( af
),0()00()00( fff要使
,1 时故当且仅当?a,0)( 处连续在函数?xxf
,1 a
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 10
1、连续函数的运算
.)0)((
)(
)(),()(
),()(,)( ),(
0
0
处也连续在则函数处连续都在点如果
xxg
xg
xfxgxf
xgxfxxgxf
立即可得则及连续函数的定义，根据极限的四则运算法
),( c o s s i n 内连续，在和例如,xx; 2k s e c,t a n 时连续在xxx,k c,c o t 时连续在xs c xx
,连续三角函数在其定义域内?
四、初等函数的连续性定理 1
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 11
),(
,)(,)( 000
ufy
uxgxxxu
而函数且连续处在点设函数?
,0 则复合函数处连续在点 uu?
,))(( 0 处也连续在点 xxxfy
定理 2
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 12
求极限 x x
x
)1l n (l i m
0
,
解
x
xx
x
x
x
1
00
)1l n (lim
)1l n (
lim
,
x
x
1
)1l n (? 是由
x
xuuy
1
)1(,ln 复合而成的,
而,)1l n (l i m
1
0
ex
x
x
且 uy ln? 在点 eu? 处连续,
故
x
xx
x
x
x
1
00
)1l n (lim
)1l n (
lim
.1ln)1(limln
1
0
ex
x
x
,
例 4
xxx ~)1l n (,0 时当
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 13
x
e x
x
1lim
0
求极限
,1 xeu令,1 ue x则
),1l n ( ux 0 0 ux
x
e x
x
1lim
0
1)1l n ( 1lim )1l n (lim
00
u
uu
u
uu
例 5
解
xex x ~1,0 时当
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 14
例如,,2m ax?y,si n1 xy,]2,0[ 上在? ;0m in?y
定义
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
五、闭区间上连续函数的性质
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 15
定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)(xfy?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
有使得则若四、闭区间上连续函数的性质
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 16
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o
)(xfy?
21
1
x
y
o 2?
)(xfy?
)2,0(,s i n)(.1 xxxf
213
11
101
)(.2
xx
x
xx
xf
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 17
定理 2 ( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,上连续,M 与 m 分别是 )( xf 的最大与最小值，那么，对于
M 与 m 之间的任意一个数 C,在区间 ],[ ba 内至少有一点?,使得 Cf?)(? )( ba,
几何解释,
M
B
C
A
m
a
b1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy?
.
)(
至少有一个交点与水平直线连续曲线弧
Cy
xfy
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 18
推论 ( 零点定理、根的存在定理 )
设函数 )( xf 在闭区间ba,上连续，且 )( af 与
)( bf 异号 ( 即 0)()( bfaf ),那么在开区间ba,内至少存在一点? )( ba,使 0)(f,
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf?
a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧
x
x
xfy?
x
y
o
)(xfy?
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 19
例 6
.
)4,3(0103 23
少有一根内至在区间证明方程 xx
证,103)( 23 xxxf令,]4,3[)( 上连续在则 xf
,010)3(f又,06)4(f 由零点定理,
使),4,3(,0)(f,014 23即
.)1,0(014 23?内至少有一根在方程 xx
-3 -2 -1 1 2 3 4
x
-60
-50
-40
-30
-20
-10
y
Chapter 2
一、函数的改变量
四、初等函数的连续性
三、函数的间断点
五、闭区间上连续函数的性质
二、函数连续性的定义
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x
y
0 0x xx0
)(xfy?
x?
y?
一、函数的改变量设函数 )( xfy? 在点
0
x 的某邻域上有定义，当自变量
x 由
0
x 变到 xx
0 时，函数
y 相应由 )(
0
xf 变到
)(
0
xxf,则称 x? 为 自 变 量 的 改 变 量,而
)()(
00
xfxxfy 为函数的改变量。
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,0 xxx设 ),()( 0xfxfy
,0 0xxx 就是 ).()(0 0xfxfy 就是定义 1 设函数 )( xfy? 在点
0
x 的某邻域内有定义，
如 果自变量的改变量
0
xxx 趋于零时，对应的函数改变量也趋于零，即
0)()(l i ml i m
00
00
xfxxfy
xx
则称函数 )( xf 在点 0x 是连续的,
0)()(lim 0
0
xfxfxx )()(lim 0
0
xfxfxx从而二、函数连续性的定义
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定义 2 设函数 )( xfy? 在点 0x 的某邻域内有定义,
若 )()(l i m 0
0
xfxf
xx
，则称函数 )( xf 在点 0x 处连续,
若 )()(lim 0
0
xfxf
xx
，则称函数在 0x 处 左连续,
若 )()(lim 0
0
xfxf
xx
，则称函数在 0x 处 右连续,
单侧连续定理
.
)()( 00
处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf?
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如果 )( xf 在区间 ),( ba 内每一点都是连续的，就称
)( xf 在区间 ),( ba 内连续．若 )( xf 在 ),( ba 内连续，在
ax? 处右连续，在 bx? 处左连续，则称 )( xf 在 ],[ ba 上连续,连续函数的图形是一条连续不断的曲线,
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例 1,112 处连续在＋函数证明 xxy
证121)(2 ＋＋ xxxy
x2
.0,0 yx 时当
.112 处连续在＋函数 xxy
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:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数称则要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
三、函数的间断点
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例 2,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 xxx xxxf
解,0)(lim
0 xfx
.0 为函数的间断点 x
o x
y
,1)(lim 0 xfx
),(l i m)(l i m 00 xfxf xx
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例 3
.0
,0,
,0,cos
)(
,
处连续在函数取何值时当
x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00,1?
)(l i m)(l i m 00 xaxf xx,a?
,)0( af
),0()00()00( fff要使
,1 时故当且仅当?a,0)( 处连续在函数?xxf
,1 a
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1、连续函数的运算
.)0)((
)(
)(),()(
),()(,)( ),(
0
0
处也连续在则函数处连续都在点如果
xxg
xg
xfxgxf
xgxfxxgxf
立即可得则及连续函数的定义，根据极限的四则运算法
),( c o s s i n 内连续，在和例如,xx; 2k s e c,t a n 时连续在xxx,k c,c o t 时连续在xs c xx
,连续三角函数在其定义域内?
四、初等函数的连续性定理 1
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),(
,)(,)( 000
ufy
uxgxxxu
而函数且连续处在点设函数?
,0 则复合函数处连续在点 uu?
,))(( 0 处也连续在点 xxxfy
定理 2
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求极限 x x
x
)1l n (l i m
0
,
解
x
xx
x
x
x
1
00
)1l n (lim
)1l n (
lim
,
x
x
1
)1l n (? 是由
x
xuuy
1
)1(,ln 复合而成的,
而,)1l n (l i m
1
0
ex
x
x
且 uy ln? 在点 eu? 处连续,
故
x
xx
x
x
x
1
00
)1l n (lim
)1l n (
lim
.1ln)1(limln
1
0
ex
x
x
,
例 4
xxx ~)1l n (,0 时当
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x
e x
x
1lim
0
求极限
,1 xeu令,1 ue x则
),1l n ( ux 0 0 ux
x
e x
x
1lim
0
1)1l n ( 1lim )1l n (lim
00
u
uu
u
uu
例 5
解
xex x ~1,0 时当
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例如,,2m ax?y,si n1 xy,]2,0[ 上在? ;0m in?y
定义
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
五、闭区间上连续函数的性质
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定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)(xfy?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
有使得则若四、闭区间上连续函数的性质
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注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o
)(xfy?
21
1
x
y
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)(xfy?
)2,0(,s i n)(.1 xxxf
213
11
101
)(.2
xx
x
xx
xf
Economic-- mathematics Wednesday,July 29,200919 - 17
定理 2 ( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,上连续,M 与 m 分别是 )( xf 的最大与最小值，那么，对于
M 与 m 之间的任意一个数 C,在区间 ],[ ba 内至少有一点?,使得 Cf?)(? )( ba,
几何解释,
M
B
C
A
m
a
b1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy?
.
)(
至少有一个交点与水平直线连续曲线弧
Cy
xfy
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推论 ( 零点定理、根的存在定理 )
设函数 )( xf 在闭区间ba,上连续，且 )( af 与
)( bf 异号 ( 即 0)()( bfaf ),那么在开区间ba,内至少存在一点? )( ba,使 0)(f,
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf?
a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧
x
x
xfy?
x
y
o
)(xfy?
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例 6
.
)4,3(0103 23
少有一根内至在区间证明方程 xx
证,103)( 23 xxxf令,]4,3[)( 上连续在则 xf
,010)3(f又,06)4(f 由零点定理,
使),4,3(,0)(f,014 23即
.)1,0(014 23?内至少有一根在方程 xx
-3 -2 -1 1 2 3 4
x
-60
-50
-40
-30
-20
-10
y
