第一节 微分中值定理
Chapter 4
一、微分中值定理
二、罗彼塔法则
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 2
一、微分中值定理
1,罗尔（ R olle ）定理如果函数 )( xf 满足
（ 1 ）在闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ）在开区间 ),( ba 内可导,
（ 3 ） )()( bfaf?,
那么在 ),( ba 内至少有一点?,使得,0)(
'
f
例如,32)( 2 xxxf ).1)(3( xx
,]3,1[ 上连续在?,)3,1( 上可导在?,0)3()1( ff且
))3,1(1(,1取,0)(f ),1(2)( xxf?
罗尔简介
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 3
几何解释,
a b1? 2? x
y
o
)(xfy?
.
,
水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧
C
ABC
注意,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立,
例如,];2,2[,)( xxxf
.)0(),2()2(]22[)( 不存在上连续，，在 fffxf
.0)( xf但在内找不到一点能使
0)('f
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 4
;0,0
],1,0(,1)(
x
xxxf
].1,0[, xxy
又例如,
.]10[)(,
)1,0(),1()0(
上不连续，在但导内可
xf
ff?
),1()0(
,)1,0(
,]10[)(
ff
xf
但内可导上连续，在再如,
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 5
2,拉格朗日（ Lagrange ）中值定理如果函数 )( xf 满足,
（ 1 ）在闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ）在开区间 ),( ba 内可导,
那么在 ),( ba 内至少有一点?,使得
))(()()(
'
abfafbf 。
.)()()( ab afbff结论亦可写成一、微分中值定理拉格朗日简介
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 6
a b1? 2? xo
y
)(xfy?
A
BC
D
几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧
.)(
,)(
上是一个常数在区间那么上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf推论
.)()()( ab afbff 动画
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 7
3,柯西（ Cauchy ）中值定理如果函数 )( xf 与 )( xg 满足,
（ 1 ）在闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ）在开区间 ),( ba 内可导,且 0)(
'
xg,
则在 ),( ba 内至少存在一点?,使得
)()(
)()(
)(
)(
'
'
agbg
afbf
g
f
。
一、微分中值定理柯西简介
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 8
)( 1?F )( 2?F xo
y )( )(xfY xgX
)(aF
A
)(bF
BC
D
几何解释,
.
) ),(),((
AB
fgC
AB
弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧
))(),(() ),(),((
,
)(
)(
bfbgBafagA
bta
tfy
tgx
)()(
)()(
)(
)(
'
'
agbg
afbf
g
f
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 9
小 结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxg?)()()( bfaf?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
注意三个定理的条件和结论以及各自的应用。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 10
型未定式解法型及,001
定义
.
0
0
)(
)(
l i m
,)(
)(,)(
)(
型未定式或称为那么极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当
xg
xf
xg
xfxax
x
ax
例如,,ta nlim 0 x xx?,s inln s inlnlim 0 bxaxx?)00( )(
二、罗彼塔法则
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 11
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()()(
),()2(;0)(lim,0)(lim)1(
:)()(
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xgxgxf
aa
xgxf
xgxf
axax
ax
axax
那么或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点的某领域内点在满足及设函数定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则,
.,该法则仍然成立对其它极限过程
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 12
例 1
解
.t a nl im0 x xx?求
)(
)(t a nl i m
0?
x
x
x
原式 1s eclim
2
0
x
x?
,1?
例 2
解
.123l i m 23
3
1
xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1
xx
x
x
原式 26 6lim
1 x
x
x,2
3?
)00(
)00(
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 13
例 3
解
.
1
a r c t a n
2lim
x
x
x
求
2
2
1
1
1
lim
x
x
x
原式
2
2
1lim x
x
x?
,1?
例 4
解
.s i nln s i nlnl i m 0 bxaxx?求
axbxb
bxaxa
x s i nc o s
s i nc o sl i m
0?
原式,1?
)00(
)(
ax
bx
x c o s
c o slim
0
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 14
例 5
解
.3t a nt a nlim
2
x
x
x
求
x
x
x 3s ec3
s ecl i m
2
2
2
原式 xx
x
2
2
2
co s
3co slim
3
1
xx
xx
x s i nc o s2
3s i n3c o s6l i m
3
1
2
x
x
x 2s in
6s inlim
2
x
x
x 2c o s2
6c o s6l i m
2
,3?
)(
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 15
注意,洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好。
例 6
解
.t a nt a nlim 20 xx xxx求
30
t a nlim
x
xx
x
原式
2
2
0 3
t a nlim
x
x
x?
2
2
0 3
1s eclim
x
x
x
.31?
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 16
型未定式解法,00,1,0,,02
例 7
解
.l i m 2 xx ex求 )0(
2l i m x
e x
x
原式 xe
x
x 2
lim
2lim
x
x
e
,
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
型）（0.1
步骤,,10,0100或
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 17
例 8
解
)(
0
1
0
1,
0
00
型）（2
步骤,
求
xx
x
x ln
1
1li m 1
原式 xx xxx
x ln)1(
1lnl i m
1?
x
x
x
x
x ln1
11lnl i m
1
xx
x
x 11
1
l i m
2
1
2
1?
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 18
课堂练习解
).1s i n1(l i m 0 xxx求 )(
xx
xx
x s i n
s i nlim
0?
原式
x
x
x 2
c o s1l i m
0
,0?
20
s i nlim
x
xx
x
2
inlim
0
x
x
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 19
步骤,
型）（ 00,1,0.3
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0
例 9
解
.lim0 xx x求 )0( 0
xx
x e
ln
0l i m原式
xxxe lnlim0
2
0 1
1
lim
x
x
x
e
0e?,1?
x
x
xe 1
lnlim
0
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 20
例 10
解
.lim 1
1
1
x
x x
求
)1(?
xx
x e
ln1 1
1lim
原式
x
x
xe 1
lnlim
1 1
1
lim
1
x
xe,1e
例 11
解
.lim
1
x
x x求 )(
0?
xx
x
x
x ex
1
ln
1
limlim xx
x e
ln1lim
x
x
x e
ln
lim
x
x e
1
lim 10 e
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 21
注意,
(1)法则可连续使用，但每次使用前都要检验是否满足法则条件，不满足则停止事业。
(2)使用法则后，要及时化简。如果已成定式，
则停止使用法则。
(3)若使用法则后，极限不存在或出现循环，
则法则失效，此时要改用其他方法求解。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 22
例 12
解
.c o slim x xxx求
1
s i n1lim x
x
原式 ).s i n1(lim xx
极限不存在洛必达法则失效。
.1)c o s11(l i m xxx原式正确的解法是：
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 23
例 13
解
.l i m xx
xx
x ee
ee
求
xx
xx
xxx
xx
x ee
ee
ee
ee
l i ml i m原式又回到 原题，
出现循环现象洛必达法则失效。
.lim xx
xx
x ee
ee
111l i ml i m 2
2
x
x
xxx
xx
x e
e
ee
ee原式正确的解法是：
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 24
课堂练习 求
mil
x
xx a r c t a n
2
解 原式 =
mil
x
x
x
1
a r c t a n
2
mil
x
2
2
1
1
1
x
x
mil
x
.11 2
2
xx
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 25
没有图片罗尔
Ro ll e
(1652~1719)
罗尔是法国数学家,他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，
并很有心得,1682 年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，从而名身雀起,此后担任初等数学教师和陆军部行征官员,1685 年进入法国科学院，
罗尔于 1691 年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：
在多项式方程
0)(?xf
的两个相邻的实根之间，方程
0)(?xf
至少有一个根,
一百多年后，即 1846 年，尤斯托,伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理,
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 26
拉格朗日
Jo se p h - L o u i s L ag ra n g e
(1 73 6~ 18 13 )
据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家 F,A,雷维里
（ R - ev elli ）指导下学几何学后，
萌发了他的数学天才,17 岁开始专攻当时迅速发展的数学分析,拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力,全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过 500 篇,
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 27
柯西
Augustin Louis Cauchy
(1789~1857)
柯西 1789 年生于巴黎,
1821 年柯西提出极限定义的?
方法，把极限过程用不等式来刻划，后经维尔斯特拉斯改进，
成为现在的柯西极限定义,柯西对定积分作了最系统的开创性工作,他把定积分定义为和的
“极限”,柯西在其它方面的研究成果也很丰富,复变函数的微积分理论就是由他创立的,在代数、理论物理、光学、弹性理论等方面也有突出贡献,柯西全集有 27 卷，其论著有 8 00 多篇,
Chapter 4
一、微分中值定理
二、罗彼塔法则
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 2
一、微分中值定理
1,罗尔（ R olle ）定理如果函数 )( xf 满足
（ 1 ）在闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ）在开区间 ),( ba 内可导,
（ 3 ） )()( bfaf?,
那么在 ),( ba 内至少有一点?,使得,0)(
'
f
例如,32)( 2 xxxf ).1)(3( xx
,]3,1[ 上连续在?,)3,1( 上可导在?,0)3()1( ff且
))3,1(1(,1取,0)(f ),1(2)( xxf?
罗尔简介
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 3
几何解释,
a b1? 2? x
y
o
)(xfy?
.
,
水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧
C
ABC
注意,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立,
例如,];2,2[,)( xxxf
.)0(),2()2(]22[)( 不存在上连续，，在 fffxf
.0)( xf但在内找不到一点能使
0)('f
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 4
;0,0
],1,0(,1)(
x
xxxf
].1,0[, xxy
又例如,
.]10[)(,
)1,0(),1()0(
上不连续，在但导内可
xf
ff?
),1()0(
,)1,0(
,]10[)(
ff
xf
但内可导上连续，在再如,
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 5
2,拉格朗日（ Lagrange ）中值定理如果函数 )( xf 满足,
（ 1 ）在闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ）在开区间 ),( ba 内可导,
那么在 ),( ba 内至少有一点?,使得
))(()()(
'
abfafbf 。
.)()()( ab afbff结论亦可写成一、微分中值定理拉格朗日简介
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 6
a b1? 2? xo
y
)(xfy?
A
BC
D
几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧
.)(
,)(
上是一个常数在区间那么上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf推论
.)()()( ab afbff 动画
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 7
3,柯西（ Cauchy ）中值定理如果函数 )( xf 与 )( xg 满足,
（ 1 ）在闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ）在开区间 ),( ba 内可导,且 0)(
'
xg,
则在 ),( ba 内至少存在一点?,使得
)()(
)()(
)(
)(
'
'
agbg
afbf
g
f
。
一、微分中值定理柯西简介
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 8
)( 1?F )( 2?F xo
y )( )(xfY xgX
)(aF
A
)(bF
BC
D
几何解释,
.
) ),(),((
AB
fgC
AB
弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧
))(),(() ),(),((
,
)(
)(
bfbgBafagA
bta
tfy
tgx
)()(
)()(
)(
)(
'
'
agbg
afbf
g
f
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 9
小 结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxg?)()()( bfaf?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
注意三个定理的条件和结论以及各自的应用。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 10
型未定式解法型及,001
定义
.
0
0
)(
)(
l i m
,)(
)(,)(
)(
型未定式或称为那么极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当
xg
xf
xg
xfxax
x
ax
例如,,ta nlim 0 x xx?,s inln s inlnlim 0 bxaxx?)00( )(
二、罗彼塔法则
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 11
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()()(
),()2(;0)(lim,0)(lim)1(
:)()(
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xgxgxf
aa
xgxf
xgxf
axax
ax
axax
那么或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点的某领域内点在满足及设函数定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则,
.,该法则仍然成立对其它极限过程
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 12
例 1
解
.t a nl im0 x xx?求
)(
)(t a nl i m
0?
x
x
x
原式 1s eclim
2
0
x
x?
,1?
例 2
解
.123l i m 23
3
1
xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1
xx
x
x
原式 26 6lim
1 x
x
x,2
3?
)00(
)00(
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 13
例 3
解
.
1
a r c t a n
2lim
x
x
x
求
2
2
1
1
1
lim
x
x
x
原式
2
2
1lim x
x
x?
,1?
例 4
解
.s i nln s i nlnl i m 0 bxaxx?求
axbxb
bxaxa
x s i nc o s
s i nc o sl i m
0?
原式,1?
)00(
)(
ax
bx
x c o s
c o slim
0
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 14
例 5
解
.3t a nt a nlim
2
x
x
x
求
x
x
x 3s ec3
s ecl i m
2
2
2
原式 xx
x
2
2
2
co s
3co slim
3
1
xx
xx
x s i nc o s2
3s i n3c o s6l i m
3
1
2
x
x
x 2s in
6s inlim
2
x
x
x 2c o s2
6c o s6l i m
2
,3?
)(
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 15
注意,洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好。
例 6
解
.t a nt a nlim 20 xx xxx求
30
t a nlim
x
xx
x
原式
2
2
0 3
t a nlim
x
x
x?
2
2
0 3
1s eclim
x
x
x
.31?
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 16
型未定式解法,00,1,0,,02
例 7
解
.l i m 2 xx ex求 )0(
2l i m x
e x
x
原式 xe
x
x 2
lim
2lim
x
x
e
,
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
型）（0.1
步骤,,10,0100或
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 17
例 8
解
)(
0
1
0
1,
0
00
型）（2
步骤,
求
xx
x
x ln
1
1li m 1
原式 xx xxx
x ln)1(
1lnl i m
1?
x
x
x
x
x ln1
11lnl i m
1
xx
x
x 11
1
l i m
2
1
2
1?
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 18
课堂练习解
).1s i n1(l i m 0 xxx求 )(
xx
xx
x s i n
s i nlim
0?
原式
x
x
x 2
c o s1l i m
0
,0?
20
s i nlim
x
xx
x
2
inlim
0
x
x
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 19
步骤,
型）（ 00,1,0.3
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0
例 9
解
.lim0 xx x求 )0( 0
xx
x e
ln
0l i m原式
xxxe lnlim0
2
0 1
1
lim
x
x
x
e
0e?,1?
x
x
xe 1
lnlim
0
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 20
例 10
解
.lim 1
1
1
x
x x
求
)1(?
xx
x e
ln1 1
1lim
原式
x
x
xe 1
lnlim
1 1
1
lim
1
x
xe,1e
例 11
解
.lim
1
x
x x求 )(
0?
xx
x
x
x ex
1
ln
1
limlim xx
x e
ln1lim
x
x
x e
ln
lim
x
x e
1
lim 10 e
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 21
注意,
(1)法则可连续使用，但每次使用前都要检验是否满足法则条件，不满足则停止事业。
(2)使用法则后，要及时化简。如果已成定式，
则停止使用法则。
(3)若使用法则后，极限不存在或出现循环，
则法则失效，此时要改用其他方法求解。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 22
例 12
解
.c o slim x xxx求
1
s i n1lim x
x
原式 ).s i n1(lim xx
极限不存在洛必达法则失效。
.1)c o s11(l i m xxx原式正确的解法是：
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 23
例 13
解
.l i m xx
xx
x ee
ee
求
xx
xx
xxx
xx
x ee
ee
ee
ee
l i ml i m原式又回到 原题，
出现循环现象洛必达法则失效。
.lim xx
xx
x ee
ee
111l i ml i m 2
2
x
x
xxx
xx
x e
e
ee
ee原式正确的解法是：
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 24
课堂练习 求
mil
x
xx a r c t a n
2
解 原式 =
mil
x
x
x
1
a r c t a n
2
mil
x
2
2
1
1
1
x
x
mil
x
.11 2
2
xx
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 25
没有图片罗尔
Ro ll e
(1652~1719)
罗尔是法国数学家,他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，
并很有心得,1682 年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，从而名身雀起,此后担任初等数学教师和陆军部行征官员,1685 年进入法国科学院，
罗尔于 1691 年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：
在多项式方程
0)(?xf
的两个相邻的实根之间，方程
0)(?xf
至少有一个根,
一百多年后，即 1846 年，尤斯托,伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理,
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 26
拉格朗日
Jo se p h - L o u i s L ag ra n g e
(1 73 6~ 18 13 )
据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家 F,A,雷维里
（ R - ev elli ）指导下学几何学后，
萌发了他的数学天才,17 岁开始专攻当时迅速发展的数学分析,拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力,全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过 500 篇,
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200927- 27
柯西
Augustin Louis Cauchy
(1789~1857)
柯西 1789 年生于巴黎,
1821 年柯西提出极限定义的?
方法，把极限过程用不等式来刻划，后经维尔斯特拉斯改进，
成为现在的柯西极限定义,柯西对定积分作了最系统的开创性工作,他把定积分定义为和的
“极限”,柯西在其它方面的研究成果也很丰富,复变函数的微积分理论就是由他创立的,在代数、理论物理、光学、弹性理论等方面也有突出贡献,柯西全集有 27 卷，其论著有 8 00 多篇,
