第四节 导数在经济上的应用
Chapter 4
一、边际函数与边际分析
二、弹性与弹性分析
Economic- mathematics Wednesday,July 29,20099- 2
一、边际函数与边际分析
1,边际成本 设生产 x 个单位的产品的总成本函数为 )( xC,
边际成本就是 )(' xC 。其经济意义是：当产量为 x 个单位时，再增加一个单位的产品总成本的近似增量。
2,边际收入设商品的销售量为 x 个单位时，总收入函数为
)( xR,边际收入就是 )(' xR 。其经济意义是：当销售量为 x 个单位时，再增加一个单位的销售量时总收入的近似增量。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,20099- 3
3,边际利润设商品的销售量为 x 个单位时，总利润函数为
)( xL,边际利润就是 )(' xL 。其经济意义是：当销售量为 x 个单位时，再增加一个单位的销售量时总利润的近似增量。
因为 )()()( xCxRxL
所以 )(')(')(' xCxRxL,
即边际利润是边际收入与边际成本之差。
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例 1 某产品生产 x 吨时总成本函数为
)1000(0,9301000)( xxxxC （元）,
求,
（ 1 ） 当产量为 100 吨时的总成本；
（ 2 ） 当产量为 100 吨时的平均单位成本；
（ 3 ） 当产量从 100 吨增加到 1 9 6 吨时总成本的平均变化率；
（ 4 ） 当产量为 100 吨时总成本的边际成本。
解 （ 1 ） 2 2 0 0 1 0 091 0 0301 0 0 0)1 0 0(C ；
即生产 100 吨时的总成本为 2200 元。 （ 2 ）产量为 100 吨时的平均单位成本是
22
100
2200
100
)100(C （ 元 ／ 吨 ） 。 （ 3 ） 22001969196301000)100()196( CCC ＝ 984 ；
所以，当产量从 100 吨增加到 196 吨时总成本的平均变化率是
25.10
96
9 8 4
x
C
（元／吨）。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,20099- 5
（ 4 ）,9
15
)('
x
xC
所以生产 100 吨时的边际成本是
1 0,59
100
15
)100('C （ 元 ）
说明当产量在 100 吨的基础上，每增产 1 吨时，所增加的总成本为 1 0,5 元。
例 1 某产品生产 x 吨时总成本函数为
)1000(0,9301000)( xxxxC （元）,
求,
（ 1 ） 当产量为 100 吨时的总成本；
（ 2 ） 当产量为 100 吨时的平均单位成本；
（ 3 ） 当产量从 100 吨增加到 1 9 6 吨时总成本的平均变化率；
（ 4 ） 当产量为 100 吨时总成本的边际成本。
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例 2 某工厂每天生产某产品 x 吨时的总利润为
23120)( xxxL
,
求每天产量为 15 吨,20 吨及 25 吨时的边际利润，并说明其经济意义。
解 边际利润为
xxL 612 0)(' ；
每天生产 15 吨,20 吨,25 吨时的边际利润为
30156120)15('L ；
0206120)20('L ；
30256120)25('L ；
经济意义,每天生产 15 吨时，再生产 1 吨，总利润增加
30 元；每天生产 20 吨时，再生产 1 吨，总利润不增加；
每天生产 25 吨时，再增加 1 吨，总利润减少 30 元。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,20099- 7
二、弹性与弹性分析
1,绝对变化率和相对变化率 已知变量 y,它在某点处的改变量 y? 称为 绝对改变量 。绝对改变量 y? 与变量 y 在该点处的值的比
y
y?
称为 相对改变量 。
2,函数的弹性设函数 )( xfy? 在 x 处可导。如果极限
x
x
y
y
x?
0
l i m
存在，称此极限为函数 )( xf 在点
x
处的弹性，记为,?,即
x
x
y
y
x?
0
l i m?
可见函数的弹性是函数的相对改变量与自变量的相对改变量比值的极限，它是函数的相对改变率。
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容易推出
y
xf
x
y
x
x
y
x
x
y
y
xx
)('
limlim
00
；
即函数的弹性的计算公式为
y
xf
x
)('
。
函数 )( xf 在点 x 的弹性，表示 )( xf 在点 x 处的相对变化率。它近似地表示当自变量 x 产生 1 ％的改变时,)( xf
变化的百分数。
根据函数弹性的定义，需求函数 )( pQQ? 的弹性为
)(
)('
pQ
pQ
p,
它表示价格 p 每变动 1 ％，需求量改变? ％。类似地，供给函 数
)( pSS? 的弹性为
)(
)('
pS
pS
p,其经济意义与需求函数相同。
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例 3 某商品的需求量 )( pQQ? 与价格 p 之间的关系为
p
pQ )
5
1
(800)(? ；
（ 1 ） 求需求弹性；
（ 2 ） 当价格为 10 元时的需求弹性。
解 （ 1 ）根据弹性的计算公式，需求弹性为
p
p
p
p
pp
)
5
1
(8 0 0
5
1
ln)
5
1
(8 0 0
)
5
1
(8 0 0
]')
5
1
(8 0 0[?
pp 61.1
5
1
ln 。
需求弹性为负数，说明商品价格 p 增加 1 ％时，需求量 Q 将减少 1,61 ％。
( 2 ) 当价格 10?p （元）时，需求弹性为
1.161061.1)10( ；
这表明价格 10?p 元时，价格增加 1 ％，需求量将减少 1 6,1 ％。
Chapter 4
一、边际函数与边际分析
二、弹性与弹性分析
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一、边际函数与边际分析
1,边际成本 设生产 x 个单位的产品的总成本函数为 )( xC,
边际成本就是 )(' xC 。其经济意义是：当产量为 x 个单位时，再增加一个单位的产品总成本的近似增量。
2,边际收入设商品的销售量为 x 个单位时，总收入函数为
)( xR,边际收入就是 )(' xR 。其经济意义是：当销售量为 x 个单位时，再增加一个单位的销售量时总收入的近似增量。
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3,边际利润设商品的销售量为 x 个单位时，总利润函数为
)( xL,边际利润就是 )(' xL 。其经济意义是：当销售量为 x 个单位时，再增加一个单位的销售量时总利润的近似增量。
因为 )()()( xCxRxL
所以 )(')(')(' xCxRxL,
即边际利润是边际收入与边际成本之差。
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例 1 某产品生产 x 吨时总成本函数为
)1000(0,9301000)( xxxxC （元）,
求,
（ 1 ） 当产量为 100 吨时的总成本；
（ 2 ） 当产量为 100 吨时的平均单位成本；
（ 3 ） 当产量从 100 吨增加到 1 9 6 吨时总成本的平均变化率；
（ 4 ） 当产量为 100 吨时总成本的边际成本。
解 （ 1 ） 2 2 0 0 1 0 091 0 0301 0 0 0)1 0 0(C ；
即生产 100 吨时的总成本为 2200 元。 （ 2 ）产量为 100 吨时的平均单位成本是
22
100
2200
100
)100(C （ 元 ／ 吨 ） 。 （ 3 ） 22001969196301000)100()196( CCC ＝ 984 ；
所以，当产量从 100 吨增加到 196 吨时总成本的平均变化率是
25.10
96
9 8 4
x
C
（元／吨）。
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（ 4 ）,9
15
)('
x
xC
所以生产 100 吨时的边际成本是
1 0,59
100
15
)100('C （ 元 ）
说明当产量在 100 吨的基础上，每增产 1 吨时，所增加的总成本为 1 0,5 元。
例 1 某产品生产 x 吨时总成本函数为
)1000(0,9301000)( xxxxC （元）,
求,
（ 1 ） 当产量为 100 吨时的总成本；
（ 2 ） 当产量为 100 吨时的平均单位成本；
（ 3 ） 当产量从 100 吨增加到 1 9 6 吨时总成本的平均变化率；
（ 4 ） 当产量为 100 吨时总成本的边际成本。
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例 2 某工厂每天生产某产品 x 吨时的总利润为
23120)( xxxL
,
求每天产量为 15 吨,20 吨及 25 吨时的边际利润，并说明其经济意义。
解 边际利润为
xxL 612 0)(' ；
每天生产 15 吨,20 吨,25 吨时的边际利润为
30156120)15('L ；
0206120)20('L ；
30256120)25('L ；
经济意义,每天生产 15 吨时，再生产 1 吨，总利润增加
30 元；每天生产 20 吨时，再生产 1 吨，总利润不增加；
每天生产 25 吨时，再增加 1 吨，总利润减少 30 元。
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二、弹性与弹性分析
1,绝对变化率和相对变化率 已知变量 y,它在某点处的改变量 y? 称为 绝对改变量 。绝对改变量 y? 与变量 y 在该点处的值的比
y
y?
称为 相对改变量 。
2,函数的弹性设函数 )( xfy? 在 x 处可导。如果极限
x
x
y
y
x?
0
l i m
存在，称此极限为函数 )( xf 在点
x
处的弹性，记为,?,即
x
x
y
y
x?
0
l i m?
可见函数的弹性是函数的相对改变量与自变量的相对改变量比值的极限，它是函数的相对改变率。
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容易推出
y
xf
x
y
x
x
y
x
x
y
y
xx
)('
limlim
00
；
即函数的弹性的计算公式为
y
xf
x
)('
。
函数 )( xf 在点 x 的弹性，表示 )( xf 在点 x 处的相对变化率。它近似地表示当自变量 x 产生 1 ％的改变时,)( xf
变化的百分数。
根据函数弹性的定义，需求函数 )( pQQ? 的弹性为
)(
)('
pQ
pQ
p,
它表示价格 p 每变动 1 ％，需求量改变? ％。类似地，供给函 数
)( pSS? 的弹性为
)(
)('
pS
pS
p,其经济意义与需求函数相同。
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例 3 某商品的需求量 )( pQQ? 与价格 p 之间的关系为
p
pQ )
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(800)(? ；
（ 1 ） 求需求弹性；
（ 2 ） 当价格为 10 元时的需求弹性。
解 （ 1 ）根据弹性的计算公式，需求弹性为
p
p
p
p
pp
)
5
1
(8 0 0
5
1
ln)
5
1
(8 0 0
)
5
1
(8 0 0
]')
5
1
(8 0 0[?
pp 61.1
5
1
ln 。
需求弹性为负数，说明商品价格 p 增加 1 ％时，需求量 Q 将减少 1,61 ％。
( 2 ) 当价格 10?p （元）时，需求弹性为
1.161061.1)10( ；
这表明价格 10?p 元时，价格增加 1 ％，需求量将减少 1 6,1 ％。
