第一节 不定积分的概念和性质
Chapter 5
一、原函数和不定积分
三、不定积分的基本公式
二、不定积分的性质
四、直接积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 2
例 xx c o ss i n 故 xs in 是 xc os 的原函数,
)0(1ln xxx
故 xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
定义 1
函数。在这个区间上的一个原是函数则称或有，使得对整个区间上都如果存在一个函数一个函数是定义在某个区间上的设
)(
)(,)()()()(
)(
,)(
xf
xFdxxfxdFxfxF
xF
xf
一、原函数和不定积分
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 3
例定义 1
函数。在这个区间上的一个原是函数则称或有，使得对整个区间上都如果存在一个函数一个函数是定义在某个区间上的设
)(
)(,)()()()(
)(
,)(
xf
xFdxxfxdFxfxF
xF
xf
,3 23 xx
,3 23 xCx
（ 为任意常数）C
故 3x 是 23 x 的原函数,
故 Cx?3 也是 23 x 的原函数,
一、原函数和不定积分
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 4
关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
一、原函数和不定积分
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 5
定义 2
。不定积分，记为的的原函数的全体，称为函数
dxxf
xfxf
)(
)()(
.)()(
)()(
CxFdxxf
xfdxxf
x
称为被积函数，则有称为被积表达式，
称为积分变量，乘积为积分号，”其中“
在此称为积分常数。
为任意常数，的一个原函数，为其中 CxfxF )()(
一、原函数与不定积分
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 6
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1 1 2 dxx
,1 1a r c t an 2xx
.a r c t an1 1 2 Cxdxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 7
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxxdx?,)( 2 Cxxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 8
为积分曲线。
，我们将这条曲线称之的切线斜率恰好等于处线，使它在任何一点几何上就是要求一条曲的原函数，在函数必须指出的是，求一个
)(
)(
xf
x
xf
得到，如图所示。轴方向上下平行移动而都可以由某一条曲线沿差一个常数，所以它们只标相同的点，其纵坐标而且每两条曲线在横坐
，处切线的斜率都等于每一条在任何一点的族积分曲线，这族曲线以它在几何上就表示一的全部原函数，所的不定积分是由于
y
xfx
xfxf
)(
)()(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 9
x
y
o
)(xf
),( 00 yx Cxf?)(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 10
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论：微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
)()( xfxF提示,CxFdxxf )()(
二、不定积分的性质
1、先积分后微分还原
2、先微分后积分添常数
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 11
三、不定积分的性质
dxxkf )(,)(? dxxfk （ k 是常数,)0?k
3、常数因子可以提到积分外号
dxxgxf )]()([ ;)()( dxxgdxxf
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
4、和的积分等于积分的和
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 12
例 4 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s in2? C?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 13
kCkxkdx ()1( 是常数 );
);1(1)2(
1
Cxdxx;ln)3( Cxxdx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s in Cx?
三,不定积分的基本公式
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 14
x d xs i n)7( ;c o s Cx
xdx 2c os)8(x d x2s e c ;t a n Cx?
xdx 2s i n)9(x d x2c s c ;c o t Cx
x d xx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
x d xx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 15
例 5 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 25
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
Cxdxx
1
1
四、直接积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 16
例 6 求积分解
.)1(1 2
2
dxxx xx
dxxx xx )1(1 2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 2
.lna r c t a n Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 17
例 7 已知某商品的边际成本为当 时，固定成本 元，求总成本函数。
解
，为产品件数 )(4160)( xxxc
dxxcxc )()( cxxdxx 28160)4160(
.15 006081)( 2 xxxc
0＝x 1 5 0 0)0(?c
总成本函数为
,1 50 01 50 0)0( cc,得由
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 18
32)'3( 2 qqq?
2 0302 2 CC 解得由
23)(,2 qqqC因此成本函数为
32)(C qq解：已知
Cqqdqqq 3)32()(C 2
,32?q例 8．设某产品的边际成本为 其中 q 是产量，若已知固定成本为 2,求成本函数 C(q) 。
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 19
思考题已知一曲线 )( xfy? 在点 ))(,( xfx 处的切线斜率为 xx s i ns e c
2
,且此曲线与 y 轴的交点为 )5,0(,
求此曲线的方程,
解,s i ns e c 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2,co st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6c o st a n xxy
Chapter 5
一、原函数和不定积分
三、不定积分的基本公式
二、不定积分的性质
四、直接积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 2
例 xx c o ss i n 故 xs in 是 xc os 的原函数,
)0(1ln xxx
故 xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
定义 1
函数。在这个区间上的一个原是函数则称或有，使得对整个区间上都如果存在一个函数一个函数是定义在某个区间上的设
)(
)(,)()()()(
)(
,)(
xf
xFdxxfxdFxfxF
xF
xf
一、原函数和不定积分
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例定义 1
函数。在这个区间上的一个原是函数则称或有，使得对整个区间上都如果存在一个函数一个函数是定义在某个区间上的设
)(
)(,)()()()(
)(
,)(
xf
xFdxxfxdFxfxF
xF
xf
,3 23 xx
,3 23 xCx
（ 为任意常数）C
故 3x 是 23 x 的原函数,
故 Cx?3 也是 23 x 的原函数,
一、原函数和不定积分
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关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
一、原函数和不定积分
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定义 2
。不定积分，记为的的原函数的全体，称为函数
dxxf
xfxf
)(
)()(
.)()(
)()(
CxFdxxf
xfdxxf
x
称为被积函数，则有称为被积表达式，
称为积分变量，乘积为积分号，”其中“
在此称为积分常数。
为任意常数，的一个原函数，为其中 CxfxF )()(
一、原函数与不定积分
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 6
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1 1 2 dxx
,1 1a r c t an 2xx
.a r c t an1 1 2 Cxdxx
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例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxxdx?,)( 2 Cxxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 8
为积分曲线。
，我们将这条曲线称之的切线斜率恰好等于处线，使它在任何一点几何上就是要求一条曲的原函数，在函数必须指出的是，求一个
)(
)(
xf
x
xf
得到，如图所示。轴方向上下平行移动而都可以由某一条曲线沿差一个常数，所以它们只标相同的点，其纵坐标而且每两条曲线在横坐
，处切线的斜率都等于每一条在任何一点的族积分曲线，这族曲线以它在几何上就表示一的全部原函数，所的不定积分是由于
y
xfx
xfxf
)(
)()(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 9
x
y
o
)(xf
),( 00 yx Cxf?)(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 10
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论：微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
)()( xfxF提示,CxFdxxf )()(
二、不定积分的性质
1、先积分后微分还原
2、先微分后积分添常数
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 11
三、不定积分的性质
dxxkf )(,)(? dxxfk （ k 是常数,)0?k
3、常数因子可以提到积分外号
dxxgxf )]()([ ;)()( dxxgdxxf
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
4、和的积分等于积分的和
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 12
例 4 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s in2? C?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 13
kCkxkdx ()1( 是常数 );
);1(1)2(
1
Cxdxx;ln)3( Cxxdx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s in Cx?
三,不定积分的基本公式
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 14
x d xs i n)7( ;c o s Cx
xdx 2c os)8(x d x2s e c ;t a n Cx?
xdx 2s i n)9(x d x2c s c ;c o t Cx
x d xx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
x d xx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 15
例 5 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 25
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
Cxdxx
1
1
四、直接积分法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 16
例 6 求积分解
.)1(1 2
2
dxxx xx
dxxx xx )1(1 2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 2
.lna r c t a n Cxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 17
例 7 已知某商品的边际成本为当 时，固定成本 元，求总成本函数。
解
，为产品件数 )(4160)( xxxc
dxxcxc )()( cxxdxx 28160)4160(
.15 006081)( 2 xxxc
0＝x 1 5 0 0)0(?c
总成本函数为
,1 50 01 50 0)0( cc,得由
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 18
32)'3( 2 qqq?
2 0302 2 CC 解得由
23)(,2 qqqC因此成本函数为
32)(C qq解：已知
Cqqdqqq 3)32()(C 2
,32?q例 8．设某产品的边际成本为 其中 q 是产量，若已知固定成本为 2,求成本函数 C(q) 。
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 19- 19
思考题已知一曲线 )( xfy? 在点 ))(,( xfx 处的切线斜率为 xx s i ns e c
2
,且此曲线与 y 轴的交点为 )5,0(,
求此曲线的方程,
解,s i ns e c 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2,co st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6c o st a n xxy
