第三节 函数的微分
Chapter 2
一、微分的概念
三、微分的近似计算
二、微分的计算
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 18- 2
实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx变到设边长由
,20xA?正方形面积?
2020 )( xxxA
.)(2 20 xxx )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx?0
xx?0
一、微分的概念
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再例如,
.,
0
3
yx
xxy

求函数的改变量时为处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy
.)()(33 32020 xxxxx )1( )2(
.3 20 xxy 既容易计算又是较好的近似值;,的主要部分且为的线性函数 Ax
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx
:)1(
:)2(
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定义
.),(
,
)(,
)(),(
)()()(
,
,)(
00
0
00
00
0
0
xAdyxdfdy
x
xxfyxAx
xfyxA
xoxAxfxxfy
xx
xxfy
xxxx






即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
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由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA
dy
y
xA
xo

)(1 ).0(1 x;)(,)5( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA?
).(,)4( 线性主部很小时当 dyyx
.),()()( 000 xAdyxoxAxfxxfy xx
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).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy,)( xxoAxy
x
xoA
x
y
xx?


)(l i ml i m
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf且可导在点即函数
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(2) 充分性
),()( 0 xxxfy从而
,)( 0 xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(lim 00 xfxyx
),0(0 x?
),()( 0 xoxxf
.)(,)( 00 Axfxxf且可微在点函数?
).(,0xfA 可微可导定理证
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数
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例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 xxxy
xxdy )( 3?,3 2 x
02.0
2
2
02.0
2 3



x
x
x
x xxdy,24.0?
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)(xfy?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
）
x
y
o?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当
dy
y?
xx0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当?
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.:
,
,)(
xdx
xx
xxxdxdyxy


即称为自变量的微分的增量通常把自变量时，当
.)( dxxfdy ).( xfdx
dy
".",微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy

即或记作数的微分称为函的微分在任意点函数二、微分的计算
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dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1





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dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a r ct a n
1
1
)( a r cc o s
1
1
)( a r cs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(




2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vv d u
v
udu d vv d uuvd
C d uCuddvduvud


arc
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例 2
解
.),l n ( 2 dyexy x 求设
,21 2
2
x
x
ex
xey
,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x

例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设
.s in)( c o s,3)( 3131 xxee xx
dxxeexdy xx )s i n()3(co s 3131
.)s inc o s3(31 dxxxe x
)s i n()3(co s 3131 xeexy xx
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例 4
解在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立,
).()()( s i n)2(;co s)()1( 2 xdxdt d td
,c o s)( s in)1( td ttd
)( s i n1co s tdtdt
.co s)s i n1( tdtCtd
);s in1( td
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
c os2
)(
)( s i n)2( 22
,co s4 2xxx?
).()c o s4()( s in 22 xdxxxxd
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,,0)()( 00 很小时且处的导数在点若 xxfxxfy
例 5
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解,2rA设,05.0,10 厘米厘米 rr
rrdAA2 05.0102 ).( 2厘米
.)( 0 xxf 00 xxxx dyy
1、计算函数增量的近似值三、微分的近似计算
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)()( 00 xfxxfy,)( 0 xxf
.)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x?
例 6,0360c o s 0 的近似值计算?
解,c o s)( xxf?设 )(,s in)( 为弧度xxxf
,3 6 0,30 xx?,2 3)3(,21)3( ff
)3603c o s (0360c o s o
3603s i n3c o s

2、计算函数的近似值
3602
3
2
1,4 9 2 4.0?
xff )3()3(
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.)0()0()( xffxf
,)()()( 000 xxfxfxxf,,00 xxx令常用近似公式
.)1l n ()5(;1)4();(t a n)3(
);(s i n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n



为弧度为弧度
)( 很小时x
2、计算函数的近似值
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例 7,计算下列各数的近似值解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03?e
33 5.110005.998)1(
3 )1 0 0 05.11(1 0 0 0 3 0015.0110
)0 0 1 5.0311(10,995.9?
03.01)2( 03.0e,97.0?