第二节 导数的运算
Chapter 2
一、基本初等函数的导数
三、导数的四则运算法则
二、反函数求导法则
四、复合函数求导法则
六、高阶导数
五、隐函数求导法则
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 2
一、基本初等函数的导数步骤,);()()1( xfxxfy求增量;)()()2( x xfxxfxy算比值
.lim)3( 0 xyy x求极限根据导数的定义，求函数的导数有以下几个步骤：
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 3
例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
0l i m 0?
h
CC
h
.0)(C即
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 4
例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
xxxxxf 及求设函数解
h
xhx
h
s i n)s i n (l i m
0
2
2
s i n
)
2
c o s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
co s)( s i n
xx
xx,22?
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
hhx
h
2s i n)2c o s (2l i m
0
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 5
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhx nnh )(lim 0
]!2 )1([lim 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
)()( 21 xx例如,1
1
2
1 x,
2
1
x?
)()1( 1xx 11)1( x,12x
h
xfhxfxf
h
)()()(
0
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 6
二、反函数的导数定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
y
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 7
例 4,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( aaa yy且,),0( 内有在 xI
)(
1)( l o g
ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 yy Iax?
特别地,1)(ln xx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 8
例 5,a r c s i n 的导数求函数 xy?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 yIyx?
,0c o s)(s i n yy且 内有在 )1,1( xI
)(s i n
1)(a r c s i n
yx ycos
1?
2s n1
1
,1
1
2x
.1 1)( a r c c o s 2xx同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx,1 1)co t( 2xxarc
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 9
定理并且也可导处在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu三、函数的和差积商的求导法则
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 10
推论
.)( )(])(1[.4 2 xv xvxv
);(])([.3 xuCxCu
)()()(
])()()([.1
21
21
xuxuxu
xuxuxu
n
n
n
i
ni
n
xuxuxuxu
xuxuxu
1
21
21
)]()()()([
])()()([.2
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 11
例 6,s i n2 23 的导数求 xxxy
解 23 xy x4?
例 7,ln3 的导数求 xxy?
解 )ln( 3 xxy
.cos x?
)( l nln)( 33 xxxx
xxxx
1ln3 32
22 ln3 xxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 12
例 8,t a n 的导数求 xy?
解 )co ss i n()( t a n xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss inc o s)( s in
x
xx
2
22
c os
s i nc os x
x
2
2 s e cc o s
1
.s e c)( t a n 2 xx即
.c s c)( c o t 2 xx同理可得
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 13
例 9,s e c 的导数求 xy?
解 )co s1()( s ec xxy
x
x
2co s
)(co s,t a ns e c xx?
x
x
2cos
sin?
.c o tc s c)( c s c xxx同理可得
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xxx
xx
xx
C
t a ns ec)( sec
s ec)( t a n
co s)( si n
0)(
2
常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
co tcs c)( cs c
cs c)( cot
s i n)( cos
)(
2
1
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
x
x
ee xx
1)(ln
)(
2
2
1
1
)( arct an
1
1
)( arcsi n
x
x
x
x
2
2
1
1
)cot(
1
1
)( arcco s
x
x
x
x
arc
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 15
四、复合函数的求导法则定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 16
三、复合函数的求导法则定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数推广 ),(),(),( xvvuufy设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
的导数为则复合函数
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 17
例 10,3 的导数求函数 xey?
解,3,xuey u
dx
du
du
dy
dx
dy )3( xe u xe33?
)(
)(
2
x
x
e
e
思考：
22 x
x
xe
e
练习,1s i n 的导数求函数 xey?
解 )1(s i n1s i n xey x )1(1c os1s i n
xxe
x
.1c o s1
1s i n
2 xex
x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 18
例 12,ln 的导数求函数 xy?
解 ;1)(l n0 xxyx 时，当例 11,2 sin 的导数求函数 xy?
解,s i n,2 xuy u
dx
du
du
dy
dx
dy )( s i n2ln2 xu
2lnc o s2 s i n xx
))(l n (0 xyx 时，当 xx )( ;1x?
.1)ln(0 xxx 时，当
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 19
例 13,s i nln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1 x
x c o ss i n
1 xot?
例 14,)]42l n [t a n ( 的导数求函数 xy
解
)]42l n [ t a n (?xy
)
42t a n (
x
)42(s e c 2?x )42(?x )
42
t a n (
1
x
)
42
t a n (
1
x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 20
例 13,s i nln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1 x
x c o ss i n
1 xot?
例 14,)]42l n [t a n ( 的导数求函数 xy
解
)]42l n [ t a n (?xy
)
42t a n (
x
)42(s e c 2?x 21 )
42
t a n (
1
x
)
42
t a n (
1
x
.sec x?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 21
五、隐函数求导法则定义,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy?
.)( 形式称为显函数xfy?
0),(?yxF )( xfy? 隐函数的显化问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 22
例 15
.,
0
0?
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对 x
0 dxdyeedxdyxy yx
解得,yx ex yedxdy
,0,0 yx由原方程知 000
yxy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
切记,对隐函数求导，遇到
y 时，应该把它看作是 x 的函数。
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 23
例 16
.
,)
2
3
,
2
3
(
,333
过原点在该点的法线通并证明曲线的切线方程上点求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
,1
所求切线方程为 )23(23 xy,03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为,xy?即 显然通过原点,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 24
六、高阶导数定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
记作,)(,),( 2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
.,),( 33dx ydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 44)4()4( dx ydyxf
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六、高阶导数定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
记作,)(,),( 2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
:
),(
则瞬时速度为的运动方程为例如：设变速直线运动 tss?
)()( tstv
的变化率对时间是速度加速度 tva?
).(])([)()( tftftvta
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 26
记作阶导数的数函阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf?
.)(,),( )()( n
n
n
nnn
dx
xfd
dx
ydyxf 或二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf?
六、高阶导数定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 27
例 17,,3 yexy x 求设解,3 2 xexy,6 xexy
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 28
例 18,),( )( nyRxy 求设
解 1xy
)( 1 xy 2)1( x
3)2)(1( x))1(( 2 xy
)1()1()1()( nxny nn
则为自然数若,n? )()( )( nnn xy?,!n?
)!()1( ny n,0?
!10)( )10(10?x例如 0)( )11(10?x而
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 29
例 19,,s i n )( nyxy 求设?
解 xy c os )2s in ( x
xy s in )22s i n ( x
xy c o s )23s i n ( x
)2s i n ()( nxy n
)2c o s ()( c o s )( nxx n同理可得
xy s in)4(? )24s i n ( x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 30
求 xay? 的 n 阶导数。
aaa xx ln)(
例 20
解
aaaaaa xxx 2lnlnln)(
aaaaaa xxx 32 lnlnln)(
aaaaaa nxnxnx lnlnln)( 1)(
xnx ee?)()(显然
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 31
一,填空题,
1,设
ax
ey? 则 y =_________,
2,设 xy t an?,则 y = _________,
3,设
xn
exy,则
)( n
y = ________,
4,设
2
x
xey?,则 y = _________,
5,设
xy c o sln?
,则
y
= _________,
6,设
6
)10()( xxf,则
)2(f
=_________,
7,设
nn
nnn
axaxaxax
1
2
2
1
1
(
n
aaa,,,
21
都是常数 ),则
)( n
y = ___________,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf
,
则 )(
)1(
xf
n?
= ____________,
练 习 题
Chapter 2
一、基本初等函数的导数
三、导数的四则运算法则
二、反函数求导法则
四、复合函数求导法则
六、高阶导数
五、隐函数求导法则
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一、基本初等函数的导数步骤,);()()1( xfxxfy求增量;)()()2( x xfxxfxy算比值
.lim)3( 0 xyy x求极限根据导数的定义，求函数的导数有以下几个步骤：
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 3
例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
0l i m 0?
h
CC
h
.0)(C即
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例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
xxxxxf 及求设函数解
h
xhx
h
s i n)s i n (l i m
0
2
2
s i n
)
2
c o s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
co s)( s i n
xx
xx,22?
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
hhx
h
2s i n)2c o s (2l i m
0
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 5
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhx nnh )(lim 0
]!2 )1([lim 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
)()( 21 xx例如,1
1
2
1 x,
2
1
x?
)()1( 1xx 11)1( x,12x
h
xfhxfxf
h
)()()(
0
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二、反函数的导数定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
y
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 7
例 4,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( aaa yy且,),0( 内有在 xI
)(
1)( l o g
ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 yy Iax?
特别地,1)(ln xx
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例 5,a r c s i n 的导数求函数 xy?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 yIyx?
,0c o s)(s i n yy且 内有在 )1,1( xI
)(s i n
1)(a r c s i n
yx ycos
1?
2s n1
1
,1
1
2x
.1 1)( a r c c o s 2xx同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx,1 1)co t( 2xxarc
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定理并且也可导处在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu三、函数的和差积商的求导法则
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推论
.)( )(])(1[.4 2 xv xvxv
);(])([.3 xuCxCu
)()()(
])()()([.1
21
21
xuxuxu
xuxuxu
n
n
n
i
ni
n
xuxuxuxu
xuxuxu
1
21
21
)]()()()([
])()()([.2
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例 6,s i n2 23 的导数求 xxxy
解 23 xy x4?
例 7,ln3 的导数求 xxy?
解 )ln( 3 xxy
.cos x?
)( l nln)( 33 xxxx
xxxx
1ln3 32
22 ln3 xxx
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例 8,t a n 的导数求 xy?
解 )co ss i n()( t a n xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss inc o s)( s in
x
xx
2
22
c os
s i nc os x
x
2
2 s e cc o s
1
.s e c)( t a n 2 xx即
.c s c)( c o t 2 xx同理可得
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 13
例 9,s e c 的导数求 xy?
解 )co s1()( s ec xxy
x
x
2co s
)(co s,t a ns e c xx?
x
x
2cos
sin?
.c o tc s c)( c s c xxx同理可得
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xxx
xx
xx
C
t a ns ec)( sec
s ec)( t a n
co s)( si n
0)(
2
常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
co tcs c)( cs c
cs c)( cot
s i n)( cos
)(
2
1
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
x
x
ee xx
1)(ln
)(
2
2
1
1
)( arct an
1
1
)( arcsi n
x
x
x
x
2
2
1
1
)cot(
1
1
)( arcco s
x
x
x
x
arc
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四、复合函数的求导法则定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
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三、复合函数的求导法则定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数推广 ),(),(),( xvvuufy设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
的导数为则复合函数
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例 10,3 的导数求函数 xey?
解,3,xuey u
dx
du
du
dy
dx
dy )3( xe u xe33?
)(
)(
2
x
x
e
e
思考：
22 x
x
xe
e
练习,1s i n 的导数求函数 xey?
解 )1(s i n1s i n xey x )1(1c os1s i n
xxe
x
.1c o s1
1s i n
2 xex
x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 18
例 12,ln 的导数求函数 xy?
解 ;1)(l n0 xxyx 时，当例 11,2 sin 的导数求函数 xy?
解,s i n,2 xuy u
dx
du
du
dy
dx
dy )( s i n2ln2 xu
2lnc o s2 s i n xx
))(l n (0 xyx 时，当 xx )( ;1x?
.1)ln(0 xxx 时，当
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 19
例 13,s i nln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1 x
x c o ss i n
1 xot?
例 14,)]42l n [t a n ( 的导数求函数 xy
解
)]42l n [ t a n (?xy
)
42t a n (
x
)42(s e c 2?x )42(?x )
42
t a n (
1
x
)
42
t a n (
1
x
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 20
例 13,s i nln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1 x
x c o ss i n
1 xot?
例 14,)]42l n [t a n ( 的导数求函数 xy
解
)]42l n [ t a n (?xy
)
42t a n (
x
)42(s e c 2?x 21 )
42
t a n (
1
x
)
42
t a n (
1
x
.sec x?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 31 - 21
五、隐函数求导法则定义,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy?
.)( 形式称为显函数xfy?
0),(?yxF )( xfy? 隐函数的显化问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
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例 15
.,
0
0?
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对 x
0 dxdyeedxdyxy yx
解得,yx ex yedxdy
,0,0 yx由原方程知 000
yxy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
切记,对隐函数求导，遇到
y 时，应该把它看作是 x 的函数。
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例 16
.
,)
2
3
,
2
3
(
,333
过原点在该点的法线通并证明曲线的切线方程上点求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
,1
所求切线方程为 )23(23 xy,03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为,xy?即 显然通过原点,
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六、高阶导数定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
记作,)(,),( 2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
.,),( 33dx ydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 44)4()4( dx ydyxf
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六、高阶导数定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
记作,)(,),( 2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
:
),(
则瞬时速度为的运动方程为例如：设变速直线运动 tss?
)()( tstv
的变化率对时间是速度加速度 tva?
).(])([)()( tftftvta
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记作阶导数的数函阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf?
.)(,),( )()( n
n
n
nnn
dx
xfd
dx
ydyxf 或二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf?
六、高阶导数定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
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例 17,,3 yexy x 求设解,3 2 xexy,6 xexy
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例 18,),( )( nyRxy 求设
解 1xy
)( 1 xy 2)1( x
3)2)(1( x))1(( 2 xy
)1()1()1()( nxny nn
则为自然数若,n? )()( )( nnn xy?,!n?
)!()1( ny n,0?
!10)( )10(10?x例如 0)( )11(10?x而
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例 19,,s i n )( nyxy 求设?
解 xy c os )2s in ( x
xy s in )22s i n ( x
xy c o s )23s i n ( x
)2s i n ()( nxy n
)2c o s ()( c o s )( nxx n同理可得
xy s in)4(? )24s i n ( x
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求 xay? 的 n 阶导数。
aaa xx ln)(
例 20
解
aaaaaa xxx 2lnlnln)(
aaaaaa xxx 32 lnlnln)(
aaaaaa nxnxnx lnlnln)( 1)(
xnx ee?)()(显然
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一,填空题,
1,设
ax
ey? 则 y =_________,
2,设 xy t an?,则 y = _________,
3,设
xn
exy,则
)( n
y = ________,
4,设
2
x
xey?,则 y = _________,
5,设
xy c o sln?
,则
y
= _________,
6,设
6
)10()( xxf,则
)2(f
=_________,
7,设
nn
nnn
axaxaxax
1
2
2
1
1
(
n
aaa,,,
21
都是常数 ),则
)( n
y = ___________,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf
,
则 )(
)1(
xf
n?
= ____________,
练 习 题
