第二节 函数的单调性、极值、
最值
Chapter 4
一、函数的单调性
二、函数的极值
三、函数的最大值和最小值
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 2
一、函数的单调性
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
0)( xf 0)( xfa b
B
A
.),()(0)(),()2(
),()(0)(),()1(
,),()(
内单调减少在，则恒有时若内单调增加；在，则恒有时若则内可导在设函数
baxfxfbax
baxfxfbax
baxf
定理
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 3
例 1
解
.1 的单调性讨论函数 xey x
.1 xey?
,)0,( 内在,0y
函数单调减少；?
,),0( 内在,0y,函数单调增加?
).,(,D?又注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy?,00xy,),( 上单调增加但在
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 4
例 2
解
.31292)( 23 的单调区间确定函数 xxxxf
).,(,D?
12186)( 2 xxxf
)2)(1(6 xx
得，解方程 0)( xf,2,1 21 xx
时，当 1 x,0)(f 上单调增加；在 ]1,(
时，当 21 x,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 x2,0)( xf 上单调增加；在 ),2[
单调区间为,]1,(,]2,1[ ).,2[
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 5
例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf?
).,(,D?
)0(,3 2)( 3 xxxf
.,0 导数不存在时当?x
)(xf?
]0,( ),0[
3 2xy?
)(xf
x
_
↘ ↗
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 6
).()()(
)),()(()()(
),(
,)(
0
00
0
0
或极小值的一个极大值是函数就称或恒有对该邻域内的任何点如果的某邻域有定义在设函数
xfxf
xfxfxfxf
xxx
xxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
o x
y
o x
y
0x 0x
二、函数的极值
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 7
o x
y
a b
)(xfy?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
).()()(
)),()(()()(
),(
,)(
0
00
0
0
或极小值的一个极大值是函数就称或恒有对该邻域内的任何点如果的某邻域有定义在设函数
xfxf
xfxfxfxf
xxx
xxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
二、函数的极值
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 8
设 )( xf 在点 0x 处可导,且 0x 是
)( xf 的极值点,则必有 0)( 0 xf,
定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy?,00xy,0 不是极值点但?x
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 9
(1) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
(2) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 2(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
(是极值点情形 )
x
y
o 0x
(不是极值点情形 )
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 10
例 4
解
.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf
963)( 2 xxxf
，令 0)( xf,3,1 21 xx得驻点 列表讨论
x )1,( ),3()3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0 0
极大值极小值
)3(f极小值,22)1(?f极大值,10?
)3)(1(3 xx
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593)( 23 xxxxf
M
m
图形如下
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设 )( xf 在 0x 处具有二阶导数,且 0)( 0 xf,0)( 0 xf,则
(1) 当 0)( 0 xf 时,)( xf 在 0x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)( 0 xf 时,)( xf 在 0x 处取得极小值,
定理 3(第二充分条件 )
当 0)( 0 xf 时，第二充分条件失效。
例如,3)( xxf?,有 0)0(f,0)0(f 。 点 0?x
不是极值点。
对于 4)( xxf?,也有 0)0(f,0)0(f 。 点 0?x
却是极小值点。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 13
例 5
解
.20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
2463)( 2 xxxf
，令 0)( xf,2,4 21 xx得驻点
)2)(4(3 xx
,66)( xxf?
)4(f?,018? )4(?f故极大值,60?
)2(f,018? )2(f故极小值,48
20243)( 23 xxxxf 图形如下
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 14
M
m
例 5,20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
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例 6
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 xxf
)2()2(32)( 3
1
xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx
时，当 2?x ;0)( xf
时，当 2?x,0)( xf
.)(1)2( 的极大值为 xff
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
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极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
函数的极值必在 驻点 和 不可导点 取得,
.
判别法第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
小 结求极值的步骤,);()1( xf?求导数;)2( 点求驻点或导数不存在的;,)()3( 判断极值点号在这两种点左右的正负检查 xf?
.)4( 求极值
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 17
三、函数的最大值和最小值定义 设函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
],[
0
bax? 。若对于任意的 ],[ bax? 恒有
)()(
0
xfxf? （或 )()(
0
xfxf? ）
则称 )(
0
xf 是函数 )( xf 的最大值（或最小值）。
最大值和最小值统称为最值。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 18
对于闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xf 由最值 定理知一定存在着 最大值 和 最小值,显然，函数在闭区间
],[ ba 上的最大值和最小值只 能在区间 ),( ba 内的极值点和区间端点处达到．因此可得求闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xf 的最值步骤为,（ 1 ）求出一切可能的极值点
( 包括驻点和 导数 不 存在 的 点 ) 和端点处的函 数值，（ 2 ）
比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值,
三、函数的最大值和最小值
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例 7
解 )1)(2(6)( xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值的在求函数 xxxy
得解方程,0)( xf,1,2 21 xx
计算 )3(f ;23 )2(f ;34
)1(f ;7 ;142?)4(f
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 20
，最大值 142)4(?f比较得,7)1(?f最小值
141232 23 xxxy
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 21
要做一个容积为 V 的圆柱形罐头筒，怎样设计尺寸才能使所用材料最省？
解 材料最省，就是圆柱形的表面积最小。
设底半径为 r,高为 h,见图。 r
h侧面积为 rh?2,底面积为 2r?
总表面积为 rhrS 22 2
由体积公式 hrV 2,有 2rVh
代入表面积公式中，得 rVrS 22 2,),0(r
求导,2
3
2
)2(224
r
Vr
r
VrS
例 8
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 22
令 0S,解得 3 2?Vr?
求二阶导数,244 rVS
此式表明，对于任意 0?r,皆有 0S 。因此 S 在点 3
2?
V
r? 处取极小值，也就是最小值。此时相应的高为于是得出结论：当所做罐头筒的高盒底直径相等时，
所用的材料最省。
r
V
V
V
r
V
h 2
2
2
2
3
2
3
2
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 23
例 9 将边长为 a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问折掉的小正方形边长为多大时，所得的方盒的容积最大？
xa 2? x x
a
解 设小正方形的边长为 x,
则盒底的边长为 xa 2?,见图。
因此方盒的容积为 2)2( xaxV,) 2,0( ax?
求导,)6)(2( xaxaV
令 0V,解得 6ax?,或 2ax? ( 舍 ) 。
因此,V 函数 在 6ax? 处取得极大值，从而也取得最大值。
当 6ax? 时 0V ；当 6ax? 时 0V 。
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 24
实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 25
例 10 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x 租出去的房子有 套, 1018050 x
每月总收入为
)(xR )20( x 1018050 x 1068)20( xx
101)20(1068)( xxxR 570 x
0)( xR 3 5 0 x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最值
Chapter 4
一、函数的单调性
二、函数的极值
三、函数的最大值和最小值
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一、函数的单调性
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
0)( xf 0)( xfa b
B
A
.),()(0)(),()2(
),()(0)(),()1(
,),()(
内单调减少在，则恒有时若内单调增加；在，则恒有时若则内可导在设函数
baxfxfbax
baxfxfbax
baxf
定理
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例 1
解
.1 的单调性讨论函数 xey x
.1 xey?
,)0,( 内在,0y
函数单调减少；?
,),0( 内在,0y,函数单调增加?
).,(,D?又注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy?,00xy,),( 上单调增加但在
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例 2
解
.31292)( 23 的单调区间确定函数 xxxxf
).,(,D?
12186)( 2 xxxf
)2)(1(6 xx
得，解方程 0)( xf,2,1 21 xx
时，当 1 x,0)(f 上单调增加；在 ]1,(
时，当 21 x,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 x2,0)( xf 上单调增加；在 ),2[
单调区间为,]1,(,]2,1[ ).,2[
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例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf?
).,(,D?
)0(,3 2)( 3 xxxf
.,0 导数不存在时当?x
)(xf?
]0,( ),0[
3 2xy?
)(xf
x
_
↘ ↗
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).()()(
)),()(()()(
),(
,)(
0
00
0
0
或极小值的一个极大值是函数就称或恒有对该邻域内的任何点如果的某邻域有定义在设函数
xfxf
xfxfxfxf
xxx
xxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
o x
y
o x
y
0x 0x
二、函数的极值
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o x
y
a b
)(xfy?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
).()()(
)),()(()()(
),(
,)(
0
00
0
0
或极小值的一个极大值是函数就称或恒有对该邻域内的任何点如果的某邻域有定义在设函数
xfxf
xfxfxfxf
xxx
xxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
二、函数的极值
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设 )( xf 在点 0x 处可导,且 0x 是
)( xf 的极值点,则必有 0)( 0 xf,
定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy?,00xy,0 不是极值点但?x
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(1) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
(2) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 2(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
(是极值点情形 )
x
y
o 0x
(不是极值点情形 )
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例 4
解
.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf
963)( 2 xxxf
，令 0)( xf,3,1 21 xx得驻点 列表讨论
x )1,( ),3()3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0 0
极大值极小值
)3(f极小值,22)1(?f极大值,10?
)3)(1(3 xx
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593)( 23 xxxxf
M
m
图形如下
Economic- mathematics Wednesday,July 29,200925 - 12
设 )( xf 在 0x 处具有二阶导数,且 0)( 0 xf,0)( 0 xf,则
(1) 当 0)( 0 xf 时,)( xf 在 0x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)( 0 xf 时,)( xf 在 0x 处取得极小值,
定理 3(第二充分条件 )
当 0)( 0 xf 时，第二充分条件失效。
例如,3)( xxf?,有 0)0(f,0)0(f 。 点 0?x
不是极值点。
对于 4)( xxf?,也有 0)0(f,0)0(f 。 点 0?x
却是极小值点。
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例 5
解
.20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
2463)( 2 xxxf
，令 0)( xf,2,4 21 xx得驻点
)2)(4(3 xx
,66)( xxf?
)4(f?,018? )4(?f故极大值,60?
)2(f,018? )2(f故极小值,48
20243)( 23 xxxxf 图形如下
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M
m
例 5,20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
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例 6
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 xxf
)2()2(32)( 3
1
xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx
时，当 2?x ;0)( xf
时，当 2?x,0)( xf
.)(1)2( 的极大值为 xff
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
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极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
函数的极值必在 驻点 和 不可导点 取得,
.
判别法第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
小 结求极值的步骤,);()1( xf?求导数;)2( 点求驻点或导数不存在的;,)()3( 判断极值点号在这两种点左右的正负检查 xf?
.)4( 求极值
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三、函数的最大值和最小值定义 设函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
],[
0
bax? 。若对于任意的 ],[ bax? 恒有
)()(
0
xfxf? （或 )()(
0
xfxf? ）
则称 )(
0
xf 是函数 )( xf 的最大值（或最小值）。
最大值和最小值统称为最值。
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对于闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xf 由最值 定理知一定存在着 最大值 和 最小值,显然，函数在闭区间
],[ ba 上的最大值和最小值只 能在区间 ),( ba 内的极值点和区间端点处达到．因此可得求闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xf 的最值步骤为,（ 1 ）求出一切可能的极值点
( 包括驻点和 导数 不 存在 的 点 ) 和端点处的函 数值，（ 2 ）
比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值,
三、函数的最大值和最小值
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例 7
解 )1)(2(6)( xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值的在求函数 xxxy
得解方程,0)( xf,1,2 21 xx
计算 )3(f ;23 )2(f ;34
)1(f ;7 ;142?)4(f
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，最大值 142)4(?f比较得,7)1(?f最小值
141232 23 xxxy
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要做一个容积为 V 的圆柱形罐头筒，怎样设计尺寸才能使所用材料最省？
解 材料最省，就是圆柱形的表面积最小。
设底半径为 r,高为 h,见图。 r
h侧面积为 rh?2,底面积为 2r?
总表面积为 rhrS 22 2
由体积公式 hrV 2,有 2rVh
代入表面积公式中，得 rVrS 22 2,),0(r
求导,2
3
2
)2(224
r
Vr
r
VrS
例 8
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令 0S,解得 3 2?Vr?
求二阶导数,244 rVS
此式表明，对于任意 0?r,皆有 0S 。因此 S 在点 3
2?
V
r? 处取极小值，也就是最小值。此时相应的高为于是得出结论：当所做罐头筒的高盒底直径相等时，
所用的材料最省。
r
V
V
V
r
V
h 2
2
2
2
3
2
3
2
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例 9 将边长为 a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问折掉的小正方形边长为多大时，所得的方盒的容积最大？
xa 2? x x
a
解 设小正方形的边长为 x,
则盒底的边长为 xa 2?,见图。
因此方盒的容积为 2)2( xaxV,) 2,0( ax?
求导,)6)(2( xaxaV
令 0V,解得 6ax?,或 2ax? ( 舍 ) 。
因此,V 函数 在 6ax? 处取得极大值，从而也取得最大值。
当 6ax? 时 0V ；当 6ax? 时 0V 。
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实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
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例 10 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x 租出去的房子有 套, 1018050 x
每月总收入为
)(xR )20( x 1018050 x 1068)20( xx
101)20(1068)( xxxR 570 x
0)( xR 3 5 0 x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
