第三节 曲线的凹凸性与拐点
Chapter 4
一、曲线凹凸性及其判别法
二、拐点及其求法
三、函数作图
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 2
一、曲线凹凸性及其判别法问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
ox
y
o 1x 2x
)(xfy?
图形上任意弧段位于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy?
1x 2x
图形上任意弧段位于所张弦的下方
A
B
C
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 3
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那么称恒有两点内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那么称恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 4
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
递增)( xf?
a b
B
A
0y 递减)( xf? 0y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 5
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy?
解,3 2xy,6 xy
时，当 0?x,0y
为凸的；在曲线 ]0,(
时，当 0?x,0y 为凹的；在曲线 ),0[
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 6
二、拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的 拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0"?xf,
1.定义注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 7
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0"?xf,
证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf,条件由可导函数取得极值的
.0)( xf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 8
方法,
,0)(,)( 00 xfxxf 且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
例 4)( xxf? ),(x
0)0(f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
012)(,4)( 23 xxfxxf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 9
例 2,143 34 的拐点及凹、凸的区间求曲线 xxy
解 ),(,D?
,1212 23 xxy ).32(36 xxy
,0y令,32,0 21 xx得
x )0,( ),32()32,0(0 32
)(xf
)(xf
0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 10
).,32[],32,0[],0,(凹凸区间为
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 11
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线也可能点不存在若
xfy
xfxxf
注意,
例 3,3 的拐点求曲线 xy?
解,0时当?x,31 3
2?
xy,92 3
5?
xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx
,0,)0,( y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在
,0,),0( y内在,),0[ 上是凸的曲线在
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 12
小 结曲线的弯曲方向 —— 凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 —— 拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 13
三、函数作图
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 14
定义
.
)(,
,
)(
一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷远时沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
Pxfy
y
O
x
C
M N
P L
a
)(xfy?
baxy
1、渐近线
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 15
1）水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
)(xfy?
bby? )(xfy?
b
by?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 16
)( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
例如,a r c ta n xy?
有水平渐近线两条,
.2,2 yy
1）水平渐近线
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 17
例如
,)3)(2( 1 xxy
有垂直渐近线两条,
.3,2 xx
2）垂直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条垂直渐近线就是那么或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 18
)(lim 1 xfx?, )(lim 1 xfx,
.1 是曲线的垂直渐近线 x
例 4,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 x xxxf
解 ).,1()1,(,D
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 19
根据讲授过的函数的性态，任意给定一个函数，可以大体画出它的图形，为此，需要考察如下一些项目,
（ 1 ）确定函数的定义域；
（ 2 ）确定曲线的对称性；
（ 3 ）讨论函数的单调性和极值；
（ 4 ）讨论曲线的凹向和拐点；
（ 5 ）确定曲线的渐近线；
（ 6 ）根据需要，找曲线上几个特殊点。
2、函数图形的描绘
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 20
例 5,2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
,0)( xf令,2x得驻点
,0)( xf令,3x得特殊点
]2)1(4[l i m)(l i m 2 xxxf xx,2 ;2y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 xxxf xx,,0?x得铅直渐近线
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 21
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 22
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf
2? 0
拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 23
:补充点
);0,31(),0,31(
),2,1(A ),6,1(B
).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf
2? 0
拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
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例 6,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex
解 ),,(,D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx
,0)( x令,0?x得驻点
,0)( x令,1,1 xx得特殊点
.4.021)(0, xZ
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx
2
2
2
1l i m)(l i m x
xx
ex?
,0?,0?y得水平渐近线
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 25
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点
)21,1( e?
,2)( 2
2x
exx,2 )1)(1()( 2
2x
exxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 26
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点
)21,1( e?
x
y
o 11?
21
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 27
例 7,1)( 23 的图形作函数 xxxxf
解 ),,(,D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
,0)( xf令,1,31 xx得驻点
,0)( xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 28
x )31,( ),1()31,31(?31? )1,31(
0
3
1 1
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf
极小值
0
x
y
o
)0,1(?A
)1,0(B )
85,23(C
11? 3131?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 29
小 结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,
x
y
oa b
最大值最小值极大值 极小值拐点凹的凸的单增单减)( xfy?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 30
思考题两坐标轴 0?x,0?y 是否都是函数
x
x
xf
si n
)(? 的渐近线？
思考题解答,
0s i nlim?
x
x
x
0 y 是 其图象的渐近线,
0 x 不是 其图象的渐近线,
1s i nl i m
0 x
x
x
x
xy sin?
Chapter 4
一、曲线凹凸性及其判别法
二、拐点及其求法
三、函数作图
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 2
一、曲线凹凸性及其判别法问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
ox
y
o 1x 2x
)(xfy?
图形上任意弧段位于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy?
1x 2x
图形上任意弧段位于所张弦的下方
A
B
C
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 3
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那么称恒有两点内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那么称恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 4
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
递增)( xf?
a b
B
A
0y 递减)( xf? 0y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 5
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy?
解,3 2xy,6 xy
时，当 0?x,0y
为凸的；在曲线 ]0,(
时，当 0?x,0y 为凹的；在曲线 ),0[
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 6
二、拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的 拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0"?xf,
1.定义注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 7
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0"?xf,
证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf,条件由可导函数取得极值的
.0)( xf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 8
方法,
,0)(,)( 00 xfxxf 且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
例 4)( xxf? ),(x
0)0(f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
012)(,4)( 23 xxfxxf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 9
例 2,143 34 的拐点及凹、凸的区间求曲线 xxy
解 ),(,D?
,1212 23 xxy ).32(36 xxy
,0y令,32,0 21 xx得
x )0,( ),32()32,0(0 32
)(xf
)(xf
0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 10
).,32[],32,0[],0,(凹凸区间为
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 11
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线也可能点不存在若
xfy
xfxxf
注意,
例 3,3 的拐点求曲线 xy?
解,0时当?x,31 3
2?
xy,92 3
5?
xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx
,0,)0,( y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在
,0,),0( y内在,),0[ 上是凸的曲线在
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 12
小 结曲线的弯曲方向 —— 凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 —— 拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法
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三、函数作图
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 14
定义
.
)(,
,
)(
一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷远时沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
Pxfy
y
O
x
C
M N
P L
a
)(xfy?
baxy
1、渐近线
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 15
1）水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
)(xfy?
bby? )(xfy?
b
by?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 16
)( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
例如,a r c ta n xy?
有水平渐近线两条,
.2,2 yy
1）水平渐近线
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 17
例如
,)3)(2( 1 xxy
有垂直渐近线两条,
.3,2 xx
2）垂直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条垂直渐近线就是那么或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 18
)(lim 1 xfx?, )(lim 1 xfx,
.1 是曲线的垂直渐近线 x
例 4,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 x xxxf
解 ).,1()1,(,D
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 19
根据讲授过的函数的性态，任意给定一个函数，可以大体画出它的图形，为此，需要考察如下一些项目,
（ 1 ）确定函数的定义域；
（ 2 ）确定曲线的对称性；
（ 3 ）讨论函数的单调性和极值；
（ 4 ）讨论曲线的凹向和拐点；
（ 5 ）确定曲线的渐近线；
（ 6 ）根据需要，找曲线上几个特殊点。
2、函数图形的描绘
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 20
例 5,2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
,0)( xf令,2x得驻点
,0)( xf令,3x得特殊点
]2)1(4[l i m)(l i m 2 xxxf xx,2 ;2y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 xxxf xx,,0?x得铅直渐近线
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 21
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 22
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf
2? 0
拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 23
:补充点
);0,31(),0,31(
),2,1(A ),6,1(B
).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf
2? 0
拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 24
例 6,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex
解 ),,(,D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx
,0)( x令,0?x得驻点
,0)( x令,1,1 xx得特殊点
.4.021)(0, xZ
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx
2
2
2
1l i m)(l i m x
xx
ex?
,0?,0?y得水平渐近线
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 25
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点
)21,1( e?
,2)( 2
2x
exx,2 )1)(1()( 2
2x
exxx
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 26
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点
)21,1( e?
x
y
o 11?
21
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例 7,1)( 23 的图形作函数 xxxxf
解 ),,(,D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
,0)( xf令,1,31 xx得驻点
,0)( xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 28
x )31,( ),1()31,31(?31? )1,31(
0
3
1 1
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf
极小值
0
x
y
o
)0,1(?A
)1,0(B )
85,23(C
11? 3131?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 29
小 结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,
x
y
oa b
最大值最小值极大值 极小值拐点凹的凸的单增单减)( xfy?
Wednesday,July 29,2009Economic- mathematics 30 - 30
思考题两坐标轴 0?x,0?y 是否都是函数
x
x
xf
si n
)(? 的渐近线？
思考题解答,
0s i nlim?
x
x
x
0 y 是 其图象的渐近线,
0 x 不是 其图象的渐近线,
1s i nl i m
0 x
x
x
x
xy sin?
