第三章 习 题
3.1 试求由五个原子组成的一维单原子晶格的格波频率，设原子质量
m = 8.35×10
-27
kg，恢复力常数β = 15Nm
-1
。
3.2 求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频谱分布函数可以表为
2
1
22
)(
2
)( ωω
π
ωρ?=
m
N
式中m
m
/4βω =是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N。
3.3 设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为
2
3
9
)( ω
ω
ωρ
m
N
=
其中
m
ω为格波的最高频率。
3.4 对双原子链，已知一种原子的质量m = 8.35×10
-27
kg，另一种原子的质量
M = 4m，力常数β = 15Nm
-1
，试求
（1）光学波的最高频率和最低频率和；
o
max
ω
o
min
ω
（2）声学波的最高频率；
A
max
ω
（3）相应的声子能量是多少eV？
（4）在300K可以激发多少频率为，和的声子？
o
max
ω
o
min
ω
A
max
ω
（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长为多少？
3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最还邻原子间的力常数交替地等于β
和10β，且最近邻的距离为a/2。试画出色散关系曲线，并给出q = 0和q = ±π /a处的
ω(q)。
3.6 在一维双原子链中，如M/m>>1，求证
qa
M
sin
2
1
β
ω =
+= qacos
M
m
m
2
2
2
1
2β
ω
1
3.7 在一维双原子晶格振动的情况中，证明在布里渊区边界
a
q
2
π
±=处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止，画出这时原子振动的图像。
3.8 设固体的熔点T
m
对应原子的振幅为原子间距a的10%的振动，试推论，对于一维单原子链（原子质量为M）接近熔点时原子的振动频率为
2
1
B
502
=
M
Tk
a
m
ω
3.9 证明用德拜近似，高温时晶格比热的更精确表示为
=
2
20
1
13
T
NkC
D
BV
θ
3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为2/ωh，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能。
3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于T
2
。
3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势能为
9
2
)(
r
b
r
e
ru +?=
b为待定常数，平衡间距r
0
= 3×10
-10
m，求线膨胀系数α。
3.13 已知三维晶体在q≈0附近一支光学波的色散关系为
)()(
222
0 zyx
CqBqAqq ++?=ωω
试求格波的频率密度ρ(ω)。
2