第六章 习 题
6.1 一维周期场中电子的波函数φ
k
(x)应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函数为
（1）;sin)( x
a
x
k
π
φ =
（2）;
3
cos)( x
a
ix
k
π
φ =
（3）（f是某个确一的函数）,
∑
∞
∞=
=
l
k
laxfx )()(φ
试求电子在这些状态的波矢。
6.2 设一维电子能带可以写成
+?= kaka
ma
kE 2cos
8
1
cos
8
7
)(
2
2
h
其中a为晶格常数，试求
（1）能带的宽度；
（2）电子在波矢k状态下的速度；
（3）能带底部和顶部的电子有效质量。
6.3 电子在周期场中的势能
[ ]

=
0
)(
2
1
)(
222
naxbm
xV
ω
b naxban
bnaxbna
≤≤+?
+≤≤?
)1(当当求此晶体第一及第二禁带宽度。
6.4 用紧束缚近似计算最近邻似下一维晶格的s态电子能带，画出E(k)，m* (k)与波矢的关系。证明只有在原点和布里渊区边界附近有效质量才和波矢无关。
6.5 某晶体中电子的等能量曲面是椭球面
++=
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
)(
m
k
m
k
m
k
kE
h
试求能量E-E+dE之间的状态数。
6.6 已知能带为
zyx
akakakkE cos)cos(cos)( βα?+?=
其中α＞0，β＞0，a为晶格常数，试求
(1)能带宽度
1
(2)电子在波矢)1,1,1(
2a
π
状态下的速度
(3)能带底附近电子的能态密度
6.7 用紧束缚模型最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。
6.8 用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下的s态电子能带。
（1）证明在k = 0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量；
（2）画出[100]和[111]方向的E(k)曲线。
（3）画出k
x
-k
y
平面内的能量等值线。
6.9 对体心立方晶格，用紧束缚近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。
6.10 金属铋的导带底部有效质量倒数张量为
=
zzyz
yzyy
xx
aa
aa
a
m
0
0
0 0
)(
1*
求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质。
2