第七章 一阶和二阶电路时域分析内容提要,
动态电路初始条件
零输入响应和零状态响应
电路的全响应
阶跃响应和冲激响应
§7-1 动态电路的方程及其初始条件基本概念,
* 线性时不变无源元件 ---
RC电路,由一电阻和一电容组成,
RL电路,由一电阻和一电感组成,
电路方程为一阶线性常微分方程,
* 一阶动态电路 ---
含一个独立动态元件,具有过渡过程的特征,用一阶微分方程描述,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*换路,电路结构、状态变化,支路的断开或接入,电路 参数改变,
若换路在 t=0时刻进行,则,
换路前的 最终时刻 记为 t=0- ;
换路后的 最初时刻 记为 t=0+ ;
换路经历的时间为 0-到 0+,
换路后的性状用 微分方程 描述,
求通解时用 初始条件 确定 积分常数,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*跳变 (跃变 ):
0
01
)0()0( 00
dtiCuu ccc ＝
(无 跳变 )
(有 跳变 )
diCtutu tt ccc
0
1)()(
0(任何时刻 t)
若换路前后 )(tic 为有限值,积分项 =0
)0()0( cc uu则 (无 跳变 )
令?00＝t?0＝t 有,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*跳变 (跃变 ):
0
01)0()0( 0
0?
dtiLii cLL ＝
(无 跳变 )
(有 跳变 )
duLtiti tt LLL
0
)(1)()( 0(任何时刻 t)
令?00＝t?0＝t 有,
若换路前后 为有限值,积分项 =0)(tuL
)0()0( LL ii则 (无 跳变 )
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*换路定则,以能量不能突变为基础电容视为电压源电容相当于 短路
0cc )0()0( Uuu若 (无 跳变 )
0)0()0( cc uu (无 跳变 )
电感视为电流源电感相当于 开路
0LL )0()0( Iii若 (无 跳变 )
0)0()0( LL ii (无 跳变 )
071011
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*过渡过程,当动态电路状态发生改变
(换路 )后,需经历一个变化过程才能达到新的稳定状态,称电路的 过渡过程,
S
+
–
uCUS
R
C
i S
+
–
uCUS
R
C
i
(S未动作前 ) (S转换后 )
i = 0,uC = 0 i = 0,uC= US
§7-1 动态电路的方程及其初始条件过渡过程 的原因,
1,电路结构或电路参数变化 (外因 )
+
–
uCC
+
uS
R1
R3
换路 ---支路接入 /断开 ;开路 /短路,
参数变化等,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
2,电路含有储能元件 (内因 ),能量换路时不能跃变,
uC
tt
1
US
O起始状态过渡状态 新稳态储存和释放需要一定的时间来完成,
t
w
p
Δ
Δ
0Δ?tp
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
t0
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S
过渡期为零
+
-
us
R1
R2
（ t = 0）i
例 电阻电路
§7-1 动态电路的方程及其初始条件电容电路
k
+
–
uCUs
R
C
i(t = 0)
+
-
(t →?)
+
–
uCUs
R
C
i
+
-
i = 0,uC= Us
i = 0,uC = 0
k接通电源后很长时间,电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：
k未动作前,电路处于稳定状态：
前一个稳定状态 过渡状态新的稳定状态
t1
USuc
t0
iR
US
有一过渡期
§7-1 动态电路的方程及其初始条件电感电路
Lk
+
–
uLUs
R i(t = 0)
+
-
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
uL= 0,i=Us /R
i = 0,uL = 0
k接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路：
k未动作前,电路处于稳定状态：
前一个稳定状态 过渡状态新的稳定状态
t1
US/Ri
t0
uLSU
有一过渡期
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
k
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
uL= 0,i=Us /R
* k 断开瞬间 i = 0,uL =?
* k未动作前,
电路处于稳定状态,
工程实际中在切断电容或电感电路时会出现 过电压 和 过电流 现象。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
* 独立的 初始条件,
电容 和电感 的初始值,
* 非独立初始条件,其他元件上的电压或电流在? 0+”的初始值,
如,uR(0+),iR(0+),iC(0+),uL(0+)
* 非独立初始条件一般要由? 0+”等效电路和独立的初始条件来求得,
)0(c?u )0(L?i
§6-1 动态电路的方程及其初始条件确定初始条件的步骤,
1) 据换路前电路,确定,
2) 依 换路定则 确定,
3) 由 2) 画 t=0的 初始值等效电路,
再用替代定理：
电容用 值的 电压源 或 短路 替代,
电感用 值的 电流源 或 开路 替代,
得：等效电路为直流电阻网络,
)0(?cu
)0(?Li
)0(c?u )0(L?i
)0(?cu )0(?Li
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*动态电路 的方程,分析过渡过程,根据
KCL,KVL和 R,C的微分或积分的基本关系,
以时间 t 为自变量的线性常微分方程,
RC电路,据 KVL 列方程,
)( tuuiR sc
据电容的 VCR:
dt
udCi c?
得 uC为变量 的方程,)( tuu
dt
udCR
sc
c
c
u c
R i
+
-U s ( t )
( t > 0 )
§7-1 动态电路的方程及其初始条件若以电容电流 iC为变量,
dti
C
u C 1
)(1 tudti
C
Ri S
dt
tdu
C
i
dt
diR S )(
因,
代入 KVL 方程为,
两边微分得,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
(t >0)
+
–
uLUs(t)
R i
+
-
LC电路,据 KVL 列方程,
)( tuuRi SL
dt
diLu
L?
)( tu
dt
diLRi
S
得,
若以电感电压 uL为变量,因 dtuLi LL 1
代,)( tuudtu
L
R
SLL dt
tdu
dt
duu
L
R SL
L
)(
据电感的 VCR:
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
【 例 6-1】 在 t<0 时电路处于稳态,
求开关 打开 瞬间电容电流 iC (0+).
解,
(1) t=0-时,
电容开路,分压,
(2) uC (0＋ ) = uC (0－ ) = 8V
+
10 V
i
i C
u C
S
10 k?
40 k?
+
C
Vu 84010 4010)0(c
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
(3) 画出 0＋ 等效电路,
电容用 8V 电压源代,
mAi C 2.010 810)0(
换路瞬间 iC发生跳变,0)0()0( CC ii
换路后,除 uC (0+) 和 iL (0+) 外,其他变量都可能发生跳变,如 iC,uL,uR 和 iR等,故 其他变量 t=0+时刻的值都要由状态变量确定,
+
10 V
i (0 + )
i C (0 + )
8 V
10 k?
+
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
【 例 6-2】 开关 SW断开已久,t=0时 SW闭合,求开关 闭合 后各电压,电流的初始值,
解,在 t=0 时开关闭合前瞬间,有,
Ai L 2)0(
Vu c 122110)0(
由 换路定则 得,A2)0(=)(0 L+Lii
Vuu cc 12)0()0(
(因 iL流入 1欧,反向 )
(i1=0)
§7-1 动态电路的方程及其初始条件画出开关闭合后瞬间的
t=0+ 等效电路,
(替代见 红色 )
A=2ii L1 022)0()0(
A=ui c2 621211 )0()0(
Viiu 2LL 66102)0(110)0(1)0(
(电容放电 )
+
+
+
- -
-
)0(
L
i
)0(
L
u )0(
2?
i
)0(
c
u
V12V10
A2
1
1
1
)0(
1?
i
§7-1 动态电路的方程及其初始条件归纳,直流激励时 电容 的等效电路元件
0t
0tt
如果
0)0(?
c
u
如果
0
)0( Uu
c
0)0(
c
u
(短路 )
)0(?
c
i
0
)0( Uu
c
)0(?
c
i
0
U
＋ －
c
u
c
i
＋
q
C
0)(
c
i
(开路 )
)(?
c
u
＋ －
＋ －
§7-1 动态电路的方程及其初始条件归纳,直流激励时 电感 的等效电路元件
0t
0tt
如果
0)0(?
L
i
如果
0)0(
L
i
(开路 )
)0(?
L
u
0
)0( Ii
L
)0(?
L
u
＋ －
L
u
L
i
L
0)(
L
u
(短路 )
)(?
L
i
＋ －
0
)0( Ii
L
0
I
＋ －
§7-2 一阶电路的零输入响应零输入响应,ZIR（ Zero Input Response）
指电路在输入信号 (即激励 )为零 的情况下仅由电路 初始贮能 所产生的
(电压或电流 )响应,
即,Us = 0,Is = 0,
只由 uC (0-) = U0
或 iL (0-) = I0
产生的响应,071025
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
RC一阶电路的零输入响应,
*微分方程：
)0(0 tudtduRC cc
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*初始条件,0)0( UuA c
*电路响应形式：
*电容放电电流为,
)0()(
1
teUe0utu tRC0tRC
1
+cc
)0()
1
te0ie
R
U
dt
duC=ti tRC 1
+
t
RC0c
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*电容电压 uc和放电电流 i 按同一指数规律衰减,
t
U0 uC(t)
0
连续函数
t
I0 i
0
跃变一阶电路的 时间常数,? =RC
电容放电快慢在于?,其倒数称电路方程的特征根 (电路固有频率 )
11
RC=P
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
U0
t
uc
0?小
大
大 → 过渡过程时间长,
小 → 过渡过程时间短,
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
t 0? 2? 3? 5?
t
c eUu
0 U0 U0 e
-1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
1?,降到原电压 36.8%所需的时间,工程上认为,
3?－ 5?,过渡过程结束。
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
* 能量关系
uC R
+
－
C电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完,
设,uC(0+)=U0,电容放出能量,
R d te
R
U
R d tiW RC
t
R
0 0
2
02
0 0
2
00
22
0
22
0
2
1
2
CUeRC
R
Udte
R
U RC tRC t
电阻吸收能量,2021 CU
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
RL一阶电路的零输入响应
*微分方程：
)0(0 tRidtdiL LL
(sw合上后 )
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*初始条件,0)0( Ii L
*电路响应形式：
)0()( teI)e(0iti tL
R
0
tLR
+LL
*电感电压响应形式：
)(
t
L
R
0
L
L eIdt
dL
dt
diL=( t )u
)0()
te(0ueRI
tLR
+L
tLR
0
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*电感电流 iL和电感电压 uc 按同一指数规律衰减,
t
I0 iL
0
连续函数
-RI0
uL
t
0
跃变一阶电路的 时间常数,
过渡过程快慢在于?,其倒数称电路方程的特征根 (电路固有频率 )
RL
1
L
RP
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
电感释放能量的快慢决定于? 的大小,?具有时间的量纲,单位为秒
(S).经过 4? 时间释放,一般认为能量释放结束,
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,
大 → 过渡过程时间长,
小 → 过渡过程时间短,
RL
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
* 能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完,
设,iL(0+)=I0,电感放出能量,
i
L
+
–
uLR
2
02
1 LI
R d teIR d tiW RL
t
R
0 0
2
0
2
2
00
2
2
00
2
2
0 2
1
2
LIeRLRIdteRI RL
t
RL
t
电阻吸收能量：
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*较复杂的一阶电路 零输入响应,
电路中除只含有一个独立动态元件外,还含有多个电阻元件,或受控源,
但其零输入响应的形式不变,
所不同的是换路后动态元件两端的电阻是个 等效电阻,要用类似戴维南定理中求等效内阻的方法求得,
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
【 例 6-3】 开关 SW闭合 已久,t=0时 SW
断开,求电流 iL(t),t?0,解,
换路前电感 uL为 零,其 ‘ 0?’等效电路如
(b)
对 (b)用分流关系得,
(b)(a)
Ai L 2
55
55
2
18
55
5
)0(?
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
据 换路定则 有,Aii LL 2)0()0(
换路后动态元件 L两端的等效电阻可用外施电源法求取,如图 (c).
000 UIU )55(2
1
等效电阻 和时间常数,
20
0
0
eq I
UR S
R
L
eq 10
1
20
2
Ae)e(0iti tt
1
+LL
102)(得,
(c)
071030
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
1）一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起,从初始值衰减为零的指数衰减函数，其一般表达式可以写为：
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比,称为零输入线性,
小结,
τ
t-
e0ftf
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
3）零输入响应的衰减快慢取决于时间常数 τ,其中 RC 电路 τ=RC,
RL 电路 τ= L/R,R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻,
4）同一电路中所有响应具有相同的时间常数,
,§7-2 工程 实例电路继电器控制交流电机
+VCC
M
220V~
LD4
K
R13
T4
c
e
b
ON
OFF
.
§7-2 实例电路 ---控制电路图继电器参数,控制信号二极管用途？
L=0.038 H
RL=58 omh
IL=0.086 AT4断路时 Rce>500k
.
+
-
c
e
v cc
dt
di
L
o ff
L
R
L
§7-2 实例电路 ---等效变换晶体管断路瞬间,电感 L
的感生电压为,
iL
感生电压 和 VCC串联,加到 c-e极两端,
脉冲低电平使
c-e断路
.§7-2 实例电路 ---等效电路
+
-c
e
vcc
L
R
L
R
ce
V
ce
+
-
i
L
tL ei 086.0
续流 二极管 D4,
保护 晶体管 T4,0)V(43000
086.05 0 0 0 0 0
t
e
iRV
t
Lcece
LLL Iii )0()0(
0 teIi tLL?
)( ceL RRL其中反向电压
§7-3 一阶电路的零状态响应
* 零状态响应,ZSR （ Zero State Response）
动态元件在 零初始状态 下 (初始储 能为零 ),t＞ 0 后由电路中外加输入激励 作用所产生的响应,
即,uC (0-)=0,iL (0-) = 0,只由激励电源 Us 或 Is 产生的响应,
.
CCC uuu
建立 非齐次线性常微分方程,
解答形式为：
LLL "' iii
电容,
电感,
§7-3 一阶电路的零状态响应
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
RC一阶电路的零状态响应,
微分方程：
)0( tUudtduRC 0cc
(sw合上后 )
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
初始条件,0)(0 +c?u
电路响应形式：
电容充电电流为,
0)(t)e(0ie
R
U
dt
dui ( t ) = C tτ1
c
t
RC
1
0c
0)(t)e)(1(u)e(1U tτ
1
c
tRC 1
0
tRC 1
00
pt
cpc eU=U+ A eu( t )u
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
电容 uc和充电电流 ic的变化曲线,
t
i
R
US
0
跃变R
U0
一阶电路的 时间常数,RC
充电快慢取决?大小,?的倒数为固有频率,又称方程的特征根 τ1RC1=P
-U0 uC‘
uC“U
0
t
uC
0
连续函数
(通解 )
(特解 )
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
电源提供能量：
2
SS0 S d CUqUtiU
CR
+
-
US
能量关系电阻消耗能量,tR
R
UtRi RC te d)(d 2
0
S
0
2
电容储存能量：
2
S2
1 CU 2
S2
1 CU?
电阻消耗一半,一半被电容储存成电场能,
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
RL一阶电路的零状态响应,
(sw合上后 )微分方程：
)0( tIidt idRL 0LL
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
初始条件,0)(0 +L?i
电路响应形式,
)0())(()( te1ie1Iti tτ
1
L
tLR
0L
电感电压响应形式,
)0()()(
te0ueRI
dt
di=Ltu tτ1
L
t
L
R
0
L
L
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
较复杂的一阶电路零状态响应,
对于较复杂的一阶电路，在直流电源作用下 电容电压 和 电感电流 的零状态响应形式不变,所不同的是 换路后 动态元件两端的电阻是个 等效电阻,
要用类似戴维南定理中求等效内阻的方法求得,
例 1 t=0时,S打开,求 t >0的 iL,uL
iL
S
+
–
uL2H
R 80?
10A
200
300
iL
+
–
uL2H10A Req
解 属 RL电路 零状态 响应问题,
Ω200300//20080eqR
s01.02 0 0/2/ eq RL?
A10)(Li
A)1(10)( 1 0 0L teti
V200010)( 100100eqL tt eeRtu
t > 0
(与 10A串联的 R省去 )
(等效于短路 )
iR
iR=10- iL,
uL=iRReq
§7-4 一阶电路的全响应
*一阶电路全响应,CR(Complete Response)
既有由 贮能 所引起的响应,
又有由 激励 所产生的响应,即,
全响应 =零输入响应 +零状态响应从 微分方程的解 (特解 +通解 )
来说,又称为,
全响应 =(强制分量 )+(自由分量 )
全响应 =(稳态分量 )+(瞬态分量 )
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
* 直流信号激励和非零初始状态下，
RC一阶电路的 全响应 为,
))(()()(
tτ1
c
tτ1
+cc e1ue0utu
(零输入响应 +零状态响应 )
tτ1
c+cc eu0u+=u
)]()([)(
(强制分量 +自由分量 )
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
* 直流信号激励和非零初始状态下，
RL一阶电路的 全响应 为,
))(()()( tτ
1
L
tτ1
+LL e1ie0iti
(零输入响应 +零状态响应 )
tτ1
L+LL ei0i+i
)]()([)(
(强制分量 +自由分量 )
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
* 一阶电路分析中,
称 f(0+),f(?),? 为? 三要素?,
)0()]()([)()( tef0f+=ftf τ
t
+
* 求一阶电路全响应的? 三要素?
法,
))(()()( τ
t
τ
t
+ e1+fe0=ftf
恒定激励下,一阶电路全响应表为,
初始值 稳态值 时间常数
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
注意,用? 三要素? 法求的全响应
f(t),可以是 电容电压 或 电感电流,也可以是电路中其他支路的电压或电流,
f(0+)应由? 0+”等效电路来求取；
f(?)应由 t=?的等效电路来求取；
时间常数?,关键用类似戴维南定理方法求 换路后 动态元件两端 等效电阻,
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
【 例 6-5】 一阶 RL电路的开关 S断开已处于稳态,在 t＝ 0时刻开关 S闭合,
求,,0,?ti L
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
解,(1) 求 iL(0+),t＝ 0_的等效电路
mA
ii LL
5
)0()0(
(2) 求 iL(?),t＝?的等效电路
mA
iii L
15
)( 21
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(3) 求时间常数?
令 Us短路,Is开路,得无源网络,求 得电感 L两端往里看的戴维南等效电阻,
S
R
L
KKR
eq
eq
5 0 0
1
,5 0 01//1
10V 10mA
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
0 1510
)1(155
)1)(()0()(
500
500500
tmAe
ee
eieiti
t
tt
t
L
t
LL
(4) 得电感电流 iL
(暂态解 ) (稳态解 )
(ZIR) (ZSR)零输入 零状态
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
【 例 6-6】 电路原无储能,开关 S在 t=0
时刻闭合,求 iL,i1,i2和 uL
解,(1) 0)0()0( LL ii
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(2) t = 0+ 时,等效电路如图
1
1
)3(6
)6( 3 0 ii?
AiiAi 2)0(,2)0( 121
Viiiu L 18963)0( 111
由得
(电感相当于 开路 )
(取右侧 )
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(3) t = 时,电感等效于 短路
Aiii
Aii
Ai
u
L
L
15)()()(
103/)(6)(
56/30)(
0)(
21
12
1
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(4) 求时间常数?,令 Us=0,用加压求流法对 (2)图求 等效电阻,
uuuiuiuiiii 65633333 6 11121
SR LiuR
eq
eq 5.0,2.1
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(5) 用 三要素 求 iL,i1,i2 和 uL,t≥0
0,)1(15
)1)(()0()(
2
tAe
eieiti
t
t
L
t
LL
0,35)1(102
)1)(()0()(
222
111
tAeee
eieiti
ttt
tt
0,18
)1)(()0()(
2
tVe
eueutu
t
t
L
t
LL
§7-5 二阶电路的零输入响应
* 二阶电路,
是指用二阶微分方程来描述的动态电路,RLC串联电路和 GLC并联电路是最简单的二阶电路 ;
* 二阶电路中，给定的初始条件应有两个,由储能元件的初始值决定 ；
* 零输入响应,在输入 为零 时,仅由二阶动态元件 贮能 所产生的响应,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
二阶电路零输入响应,RLC串联电路例
1,列微分方程
(1) 以 iL为变量
scRL uuuu据 KVL:
据 VCR,sLLL udii
CRidt
diL1
两边微分,
dt
duCi
dt
diRC
dt
idLC s
L
LL
2
2
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(2) 以 uc为变量
SCL
L uuRi
dt
diL
dt
duCii C
CL
SC
CC uu
dt
duRC
dt
udLC
2
2
据 KVL:
据 KCL:
代入得,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
2,特征方程与特征根以 iL或 uc作变量,代入解的形式 (如
ptC Aeu? ),有相同的特征方程,
012 RCpL C p
LCL
R
L
R
p
1
22
2
2,1
两个特征根,
071101
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
LCL
R 1
2
2
其中 分下述三种情况,
二个不等负实根 2
C
LR?(a)
二个相等负实根 2
C
LR?(c)
二个共轭复数根 2
C
LR?(b)
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
tptp
C AAtu 21 ee)( 21
3,特征根与解的形式的关系：
[1] 非振荡放电 过程 (过阻尼放电 )
对 (a) 二个不等负实根 2
C
LR?
解的形式为,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
【 例 6-7】 知 R=3?,L=0.5H,C=0.25F，
uc(0-)=2V,iL(0-)=1A,求 uc(t),iL(t),t≥0.
＋ －
Lu
Li
L
＋ ＋ －
－
Ru
R
CCu
解 uc(t),(1) 求特征根
02
2
CCC udtduRC
dt
udLC
tt
c eAeAtu
pp
LCL
R
L
R
p
4
2
2
1
21
2
21
)(
4,2
13
1
)
2
(
2
、
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(2) 利用初始条件，求系数 A1,A2
4/1
1)0()0(
42
20
21
0
21
C
i
C
i
AA
dt
du
AA)(u
Lc
t
c
c
解得,A1=6,A2 = -4
(3) 代入得 uc(t),iL(t)
0,43)(
0,46)(
42
42
tAee
dt
du
Cti
tVeetu
ttc
c
tt
c
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(4) 过程分析
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
电感 iL对 C充电,uC上升,iL下降,磁场能转为电场能,部分被 R消耗,iL降到零,
C储能达最大 ;
此后 C放电,电流改方向,且不被再充电,因 电阻较大,转移中能量迅速消耗,呈非振荡的 过阻尼 响应,
若电阻较小,C 可能再充电放电,从而产生振荡响应,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
解,iL(t) 为变量 ＋ －
A1
)0(?Lu
＋
－
3
V2
02
2
LLL idtdiRC
dt
idLC
tttptpL eBeBeBeBti 422121 21)(得,
L
u
BB
dt
di
BBi
L
t
L
L
)0(
42
)0(
21
0
21
Vut L 523)0(,0其中,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
解得,
0,43)(
,4,3
42
21
tAeeti
BB
tt
L
0,46
)43(
4/1
1
2
1
)0()(
42
0
42
0
tVee
dee
di
C
utu
tt
t tt
t
LCC
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
[2] 振荡放电 (欠 阻尼 )
二个共轭复数根 2 CLR?对 (b)
djj
LCL
R
L
R
p
22
0
2
0
2
2
21
1
)
2
(
2
、
22
0
2
0 )2(
1,1,
2 L
R
LCLCL
R
d而,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
0
d
(关系三角形 )
衰减因子,
其中,
0 无阻尼振荡角频率,
d 固有振荡角频率
(阻尼振荡角频率 )
)ee(eee j2j121 21 ttttptpC dd AAAAu
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
解的形式为,
tBtBe
tAAjtAAe
tjAtAtjAtAe
eAeAe
eAeAeAeAtu
dd
t
dd
t
dddd
t
tjtjt
tjtjtptp
c
dd
dd
si nco s
si n)(co s)(
)si nco ssi nco s(
)(
)(
21
2121
2211
21
)(
2
)(
121
21
(可证明 A1,A2 为共轭复数,
则 B1,B2为实数 )
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(关系三角形 )
)co s (
)s i nco s()( 21
tBe
tBtBetu
d
t
dd
t
c
1
212
1
21
,si n
,c o s,
B
B
tg
B
B
B
B
BBB
其中,
tt
tt
t
t
si njc o se
si njc o se
j
j(关系式 ):
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
【 例 6-8】
.0),(t):,1)0(
,1)0(,1,1,1
ttiuAi
VuFCHLR
LCL
C
、（求解,(1) 求特征根
)
2
3
co s (
)
2
3
s i n
2
3
co s()(
2
3
2
11
)
2
(
2
2
21
2
2
21
tBe
tBtBetu
j
LCL
R
L
R
p
t
t
C
、
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(2) 由初始条件求 B1,B2,B,?,
60,231
1
)0()0(
2
3
2
1
1)0(
2
2
2
121
21
21
0
1
BBBBB
C
i
C
i
BB
BB
dt
du
Bu
LC
d
t
C
C
，，
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
0,)60
2
3
c o s(2
)1 5 0
2
3
si n (2)()(
0,)60
2
3
c o s(2)(
2
2
2
tAte
te
dt
du
Ctiti
tVtetu
o
t
o
t
C
CL
o
t
C
(3) 解得,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(4) 过程分析,
R较小时,过渡过程 uC周期性改变方向,储能元件周期性的交换能量 ;
波形呈衰减振荡放电状态,电阻较小时,
响应是振荡性的,称为 欠阻尼,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
[3] 临界 阻尼 情况二个相等负实根 2
C
LR?对 (c)
ptc etAAtu )()( 21
解的形式为,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
【 例 6-9】 R=2?,L=1H,C=1F,uc(0-)=0V,
iL(0-)=1A,求,uc(t),iL(t),t≥0.
解,(1) 求特征根
t
C
etAAtu
pp
LCL
R
L
R
p
)()(
1
1
1
)
2
(
2
21
21
2
21,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(2) 由初始条件求 A1,A2,
1
)0()0(
00
21
0
1
C
i
C
i
ApA
dt
du
A)(u
Lc
t
c
c
(3) 解得,
0,)2()(
0,)1()()(
0,)(
tVet
dt
di
Ltu
tAte
dt
du
Ctiti
tVtetu
tL
L
tc
cL
t
c
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(4) 过程分析,
响应处于临界振荡状态,称为 临界阻尼,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
步骤归纳经典法求解二阶电路零输入响应,
1) 据 KVL,KC,VCR 列换路后的电路微分方程 (属二阶线性齐次常微分方程 )
2)由特征方程求出特征根,并判断是处于衰减放电 /振荡放电 /临界放电状态,
微分方程解的形式分为三种,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
特征根为两个不相等的负实根,
tptp eAeAtf 21 21)( (过阻尼 状态 )
特征根 为两个相等的负实根,
ptetAAtf )()( 21 (临界阻尼 状态 )
特征根 为为共轭复根,
)c o s ()( tBetf dt(衰减 振荡 态 )
3) 据初值
dt
dyy )0(),0(?
求积分常数,得 解,
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
*二阶电路的 零状态响应,
初始储能为零,由外施激励引起的响应,++
- -
Si
LuC
u
G
C
)0(?tS
Gi
L
LiCi
因
GCL并联电路
0)0(,0)0( LC iu
t=0时 S打开,据 KVL:
SLGC iiii有,
变量 iL得 二阶非齐次 方程
SL
LL ii
dt
diGL
dt
idLC
2
2 外激励 得特解,
零状态 得通解,
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 (续 )
*二阶电路的 全响应,
具有初始储能和外施激励引起的响应,
通过解 二阶非齐次方程 的方法可求解,
以过阻尼情况为例：
)(
)(
21
21
21
21
C
tptp
cp
tptp
c
ueAeA
ueAeAtu
)( Ccp uu其中,,可用初值求通解系数
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 (续 )
【 例 6-10】 已知
V50
F100?
Cu
R
C
S
50
H5.0
+
-
+
-
L
Li
Aiu LC 2)0(,0)0(
t=0时 S闭合,求 iL(t)
解,属全响应
2
250
dt
di
LCi
R
dt
di
L
L
L
L
502
2
LLL Ri
dt
diL
dt
diR L C整理得,
(1) 列结点 KCL方程
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 (续 )
代入参数得,2 0 0 0 02 0 0 0 0200
2
2
LLL idtdi
dt
di
(2) 特解为,Ai L 1
50
50'
(3) 通解的特征方程,0200002002 pp
特征根,1 0 01 0 0 jp
通解,)100si n (1 0 0'' tAei tL (属欠阻尼 )
(共轭复根 )
(4) 全响应 )1 0 0s i n (1)( 100''' tAeiiti tLLL
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 (续 )
已知初始条件,Aiu LC 2)0(,0)0(
0)0(
0
L
u
dt
di CL
有,
0s i n1 0 0co s1 0 0
2s i n1
AA
A
解得,
o
A
45
2
全响应, A)45100s i n (21)( 0100 teti tL
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应单位阶跃函数,(有跳变点的奇异函数 )
延时的单位阶跃函数,
0)( 1
0)( 0=)(
t
ttε
0)( 1
0)( 0=)(
0 t
tttε
(在时间轴上移动 t0的结果 )
基本概念
)( t?
t0
1
)( 0tt
t0
1
0t
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
单位阶跃函数用来‘ 起始 ’任意
f(t)
)( 0
)( )(
=)()(
0
0
0 tt
tttf
ttεtf
)( tf
t0 0t
)()(
0
tttf
t0 0t
延时的 单位阶跃函数 外施函数 f(t),
则有,
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
判断例
)( tf
t
2?
3
2
1?
4
2
)4(2)2(5)1(3)( ttttf
(a) (b)
图 (a)由 (b)的三个阶跃函数组成,
)( tf
t
2?
3
2
1?
4
2
5?
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
单位阶跃响应,
激励为单位阶跃函数时,电路中的零状态 响应。
单位阶跃响应与直流激励响应相同,
例如,)(ts --单位 阶跃响应
)()( 0 tUtu S
)()( 0 tIti S
(恒定激励 )
则有 )(0 tsU
)(0 tsI
(零状态响应 )
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
i
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
)( t?
注意两式的区别,(0-前必为 0)
0 tei RC
t
)( tei RC
t
)()1()( tetu RC
t
C?
)(
1
)( te
R
ti RC
t
C?
)( dtduCi?
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
uC
t
1
0
t0
1
i
t0
1
i
)( tei RC
t
0 tei RCt
t小于 0
i必为 0
t小于 0
i未必 0
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
iC
(t -t0) C
+
–
uC
R
激励在 t = t0 时加入,
则响应从 t =t0开始,
t
iC
0
R
1
t0
)(1 0
0
tte
R
i RC
tt
C
)(1 0tte
R
i RC
t
C
不要写成,
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
SU
R
S
+
-
1
2
Cu C
+
-
【 例 6-11】 S在 1时已稳定,
时打向 2,
时回向 1,求,)(,0 tut C?
RCt0?t
解,用阶跃函数表激励,求阶跃响应,用矩形脉冲 (a)表开关动作,
(a) (b)
)( tu S
t0
SU
)( tu
S
t0
S
U
S
U?
)( tU
S
)( tU
S
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
由图 (b)得矩形脉冲,
)()()( tUtUtu SSS
RC中单位 阶跃响应,
)()1()( tets
t
得,
)(1)()1()(
)(
teUteUtu
t
S
t
SC
(阶跃响应 ) (延时阶跃响应 )
)( tu
S
t0
S
U
S
U632.0
C
u
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应基本概念 单位冲激函数 (δ函数 )(属有跳变点的奇异函数 )
0)( 0)(
1 )(δ
-
tt
dtt
)( tp
t0
1
(单位矩形脉冲函数 )
11保证面积,时,
1,0 的极限,
记为,)()(lim
0 ttp
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 ))( t?
1
0 t
)( tK?
K
0 t
)( 0tt
1
0 t
0t
δ函数 K强度 δ函数 延时 δ函数单位冲激响应,
单位冲激函数 激励 的 零状态 响应,
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
单位冲激函数的 主要性质,
(1) 积分关系,
求导关系,
)()( tdt
)()( tdt td
(2) ‘筛 分’ (取样 )性质,*对 t=0 时的连续函数 f(t),有
)()0()()( tfttf 0)(,0 tt 时因
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
*对 t=t0 时的连续函数 f(t),有
)()()()( 000 tttftttf也有,
)0()()( fdtttf
)()()( 00 tfdttttf
)( tf
1
0
t0t
1
)(
0
tf
)0(f
冲激函数能 ‘ 筛 ’
出 函数某一时刻值,
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
(3) 当 i(t)=?i(t)安,加到 uc(0-)=0,
C=1F 的电容上时,uc为,
V11)(1 00
C
dtt
C
u iC?
物理意义,
单位冲激电流瞬时把电荷转移到电容上,使电容电压从零 跳变 到 1V.
uC
t
0
C
1
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
(4) 当 u(t)=?u(t)伏,加到 iL(0-)=0,
L=1H 的电感上时,iL为,
A11)(1 00
L
dttLi UL?
物理意义,
单位冲激电流瞬时在电感内建立了电流,使电感电流从零 跳变 到 1A.
iL
t
0
L
1
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
例 1 求单位 冲激电流 激励下的 RC电路的零状态响应,
解 分二个时间段考虑冲激响应,
(t)
uC(0－ )=0
iC
R C
+
-
uC
(1) t 在 0－ → 0+间电容充电,方程为,
)( tRudtduC cc
注,uc不是冲激函数,否则 KCL不成立,
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
1)(d 0000 C00 C
dttdtRutdtduC?
1)]0()0([ CC uuC
)0(1)0( CC uCu
0
iC
R C
+
uC
－
Cu
1)0(
C
(2) t > 0+ 为零输入响应 (RC放电 )
01
C teCu
RC
t
电容电压跃变
01
C
C teRCR
ui RC t
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
)(
1
)(
)(
1
C
C
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
RC
t
uC
t
0
C
1
iC
t
1
RC
1?
0
RC
1?
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
例 2 求单位 冲激电压 激励下的 RL电路的零状态响应,
解 分二时间段考虑冲激响应,
(1) t 在 0－ → 0+间方程为,
)( tdtdiLRi LL
1)(000000
dttdtdtdiLdtRi LL?
L
+
-
iLR +
-
uL
0)0(Li
)(t?
1)0()0( LL iiL )0(1)0( LL iLi
注,iL不是冲激函数,否则 KVL不成立,
0
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
)0(1)0( LL iLi 电感的冲激电压使电感电流跃变
L
iLR +
-
uL
(2) t > 0+ RL放电
R
L
Li L
1)0(?
01
te
L
i
t
L
0
te
L
RRiu t
LL
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
)(
1
te
L
i
t
L?
)()(
te
L
Rtu t
L
iL
t
0
L
1
L
1
R
L?
uL
t
1
0
R
L?
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
附,单位 斜坡函数 r(t),单位 阶跃函数 ε(t),
和单位 冲激函数?(t)之间的关系,)( tr
t0
1t
1t
)( t?
t0
1
)( t?
1
0 t
0
00)(
tt
ttr
t
d
dt
tdr
t
)(
)(
)(
dt
tdt )()(
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
附,单位 阶跃响应 和单位 冲激响应 关系零状态)(te激励 响应)t )(tR
单位阶跃? (t) 单位阶跃响应 s(t)
单位冲激? (t) 单位冲激响应 h(t)
dt
tdt )()( )()( ts
dt
dth?
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
【 例 6-11】 求单位冲激响应 uc(t),ic(t)
V)()1()1)(()()( teeutStu RC
t
RC
t
CC?
(1)令 作用,
得 单位 阶跃 响应 S(t).
V)()( ttu S
解法思路,
Su
R
+
-
Cu C
+
-
V)( t?
从 阶跃响应 求导,可得 冲激响应,
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
A)(
1
)(
1)(
)(
V)(
1)(
)()(
)/(
2
t
R
te
CRdt
tdu
Cti
te
RCdt
tdS
thtu
RCtC
C
RC
t
C
(2) 令 作用得 单位 冲激 响应 h(t).
V)()( ttu S
对 阶跃响应 取微分得,
(图中电容电压跳变,产生冲激电流 )
C
u
t0
C
i
RC
1
R
1
CR
2
1?
(只 t=0)
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
例 求,is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t).
uC(0－ )=0
iC
R
iS(t)
C
+
-
uC
解 先求单位 阶跃 响应：
令再求单位 冲激 响应,令,
得,
求导得,
代得,
)()( tti S
uC(0+)=0 uC(?)=R? = RC
)()1()( teRtu RC
t
C?
iC(0+)=1 iC(?)=
0
)()(S tti
)( C tei RC
t
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
)()1(
teRdtdu RC
t
C?
)()1( teR RC
t
)1 teC RC
t
)(1 te
C
RC
t
)()0()()( tfttf
)]([
C tedt
di RC t )(1)( te
RC
te RC
t
RC
t
)(1)(
te
RC
t RC
t
0
)( dtduCi?
)0(?t
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
阶跃响应冲激响应
uC
R
t0
iC
1
t0
uC
t0
C
1
iC
t
1
0
RC
1?
071106
§7-9 卷积积分卷积积分 概念,
两个时间函数 f1(t),f2(t),在 t<0时均为 0.
dftftftf t )()()()( 20 121
如果令 ddt 则,
可证,)()()()( 1221 tftftftf
意义,若 f1(t)为冲激响应 h(t),f2(t)为输入激励 e(t),则卷积积分求得 零状态响应 r(t).
§7-9 卷积积分 (续 )
【 例 6-13】 A)(2 F,1,k500 teiCR tS
设 C原无电压,求 uc(t).
+
-
Si
CuR C
(见书原图 7-35)
解,已得冲激响应为
V)(10
V
101
11
)(
26
2
6
1
te
ee
C
th
t
t
t
RC
应用 零状态响应 关系式,
dhtetr t )()()( 0
§7-9 卷积积分 (续 )
求得,
V)()(2
22
10102
)()()(
2
00
)(
26)(
0
6
0
tee
deede
dee
dhtitu
tt
t
t
t
t
t
t
t
SC
§7-10 状态方程 (略 )
基本概念 (详见课本 p.184)
状态变量,电路的一组独立动态变量,
(如电容电压 uC和电感电流 iL )
状态方程,状态变量列出的一阶微分方程,
状态方程 标准形式,BvAxx
(其中,x为状态向量,v为输入向量 )
动态电路初始条件
零输入响应和零状态响应
电路的全响应
阶跃响应和冲激响应
§7-1 动态电路的方程及其初始条件基本概念,
* 线性时不变无源元件 ---
RC电路,由一电阻和一电容组成,
RL电路,由一电阻和一电感组成,
电路方程为一阶线性常微分方程,
* 一阶动态电路 ---
含一个独立动态元件,具有过渡过程的特征,用一阶微分方程描述,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*换路,电路结构、状态变化,支路的断开或接入,电路 参数改变,
若换路在 t=0时刻进行,则,
换路前的 最终时刻 记为 t=0- ;
换路后的 最初时刻 记为 t=0+ ;
换路经历的时间为 0-到 0+,
换路后的性状用 微分方程 描述,
求通解时用 初始条件 确定 积分常数,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*跳变 (跃变 ):
0
01
)0()0( 00
dtiCuu ccc ＝
(无 跳变 )
(有 跳变 )
diCtutu tt ccc
0
1)()(
0(任何时刻 t)
若换路前后 )(tic 为有限值,积分项 =0
)0()0( cc uu则 (无 跳变 )
令?00＝t?0＝t 有,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*跳变 (跃变 ):
0
01)0()0( 0
0?
dtiLii cLL ＝
(无 跳变 )
(有 跳变 )
duLtiti tt LLL
0
)(1)()( 0(任何时刻 t)
令?00＝t?0＝t 有,
若换路前后 为有限值,积分项 =0)(tuL
)0()0( LL ii则 (无 跳变 )
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*换路定则,以能量不能突变为基础电容视为电压源电容相当于 短路
0cc )0()0( Uuu若 (无 跳变 )
0)0()0( cc uu (无 跳变 )
电感视为电流源电感相当于 开路
0LL )0()0( Iii若 (无 跳变 )
0)0()0( LL ii (无 跳变 )
071011
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*过渡过程,当动态电路状态发生改变
(换路 )后,需经历一个变化过程才能达到新的稳定状态,称电路的 过渡过程,
S
+
–
uCUS
R
C
i S
+
–
uCUS
R
C
i
(S未动作前 ) (S转换后 )
i = 0,uC = 0 i = 0,uC= US
§7-1 动态电路的方程及其初始条件过渡过程 的原因,
1,电路结构或电路参数变化 (外因 )
+
–
uCC
+
uS
R1
R3
换路 ---支路接入 /断开 ;开路 /短路,
参数变化等,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
2,电路含有储能元件 (内因 ),能量换路时不能跃变,
uC
tt
1
US
O起始状态过渡状态 新稳态储存和释放需要一定的时间来完成,
t
w
p
Δ
Δ
0Δ?tp
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
t0
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S
过渡期为零
+
-
us
R1
R2
（ t = 0）i
例 电阻电路
§7-1 动态电路的方程及其初始条件电容电路
k
+
–
uCUs
R
C
i(t = 0)
+
-
(t →?)
+
–
uCUs
R
C
i
+
-
i = 0,uC= Us
i = 0,uC = 0
k接通电源后很长时间,电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：
k未动作前,电路处于稳定状态：
前一个稳定状态 过渡状态新的稳定状态
t1
USuc
t0
iR
US
有一过渡期
§7-1 动态电路的方程及其初始条件电感电路
Lk
+
–
uLUs
R i(t = 0)
+
-
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
uL= 0,i=Us /R
i = 0,uL = 0
k接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路：
k未动作前,电路处于稳定状态：
前一个稳定状态 过渡状态新的稳定状态
t1
US/Ri
t0
uLSU
有一过渡期
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
k
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
uL= 0,i=Us /R
* k 断开瞬间 i = 0,uL =?
* k未动作前,
电路处于稳定状态,
工程实际中在切断电容或电感电路时会出现 过电压 和 过电流 现象。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
* 独立的 初始条件,
电容 和电感 的初始值,
* 非独立初始条件,其他元件上的电压或电流在? 0+”的初始值,
如,uR(0+),iR(0+),iC(0+),uL(0+)
* 非独立初始条件一般要由? 0+”等效电路和独立的初始条件来求得,
)0(c?u )0(L?i
§6-1 动态电路的方程及其初始条件确定初始条件的步骤,
1) 据换路前电路,确定,
2) 依 换路定则 确定,
3) 由 2) 画 t=0的 初始值等效电路,
再用替代定理：
电容用 值的 电压源 或 短路 替代,
电感用 值的 电流源 或 开路 替代,
得：等效电路为直流电阻网络,
)0(?cu
)0(?Li
)0(c?u )0(L?i
)0(?cu )0(?Li
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
*动态电路 的方程,分析过渡过程,根据
KCL,KVL和 R,C的微分或积分的基本关系,
以时间 t 为自变量的线性常微分方程,
RC电路,据 KVL 列方程,
)( tuuiR sc
据电容的 VCR:
dt
udCi c?
得 uC为变量 的方程,)( tuu
dt
udCR
sc
c
c
u c
R i
+
-U s ( t )
( t > 0 )
§7-1 动态电路的方程及其初始条件若以电容电流 iC为变量,
dti
C
u C 1
)(1 tudti
C
Ri S
dt
tdu
C
i
dt
diR S )(
因,
代入 KVL 方程为,
两边微分得,
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
(t >0)
+
–
uLUs(t)
R i
+
-
LC电路,据 KVL 列方程,
)( tuuRi SL
dt
diLu
L?
)( tu
dt
diLRi
S
得,
若以电感电压 uL为变量,因 dtuLi LL 1
代,)( tuudtu
L
R
SLL dt
tdu
dt
duu
L
R SL
L
)(
据电感的 VCR:
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
【 例 6-1】 在 t<0 时电路处于稳态,
求开关 打开 瞬间电容电流 iC (0+).
解,
(1) t=0-时,
电容开路,分压,
(2) uC (0＋ ) = uC (0－ ) = 8V
+
10 V
i
i C
u C
S
10 k?
40 k?
+
C
Vu 84010 4010)0(c
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
(3) 画出 0＋ 等效电路,
电容用 8V 电压源代,
mAi C 2.010 810)0(
换路瞬间 iC发生跳变,0)0()0( CC ii
换路后,除 uC (0+) 和 iL (0+) 外,其他变量都可能发生跳变,如 iC,uL,uR 和 iR等,故 其他变量 t=0+时刻的值都要由状态变量确定,
+
10 V
i (0 + )
i C (0 + )
8 V
10 k?
+
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
【 例 6-2】 开关 SW断开已久,t=0时 SW闭合,求开关 闭合 后各电压,电流的初始值,
解,在 t=0 时开关闭合前瞬间,有,
Ai L 2)0(
Vu c 122110)0(
由 换路定则 得,A2)0(=)(0 L+Lii
Vuu cc 12)0()0(
(因 iL流入 1欧,反向 )
(i1=0)
§7-1 动态电路的方程及其初始条件画出开关闭合后瞬间的
t=0+ 等效电路,
(替代见 红色 )
A=2ii L1 022)0()0(
A=ui c2 621211 )0()0(
Viiu 2LL 66102)0(110)0(1)0(
(电容放电 )
+
+
+
- -
-
)0(
L
i
)0(
L
u )0(
2?
i
)0(
c
u
V12V10
A2
1
1
1
)0(
1?
i
§7-1 动态电路的方程及其初始条件归纳,直流激励时 电容 的等效电路元件
0t
0tt
如果
0)0(?
c
u
如果
0
)0( Uu
c
0)0(
c
u
(短路 )
)0(?
c
i
0
)0( Uu
c
)0(?
c
i
0
U
＋ －
c
u
c
i
＋
q
C
0)(
c
i
(开路 )
)(?
c
u
＋ －
＋ －
§7-1 动态电路的方程及其初始条件归纳,直流激励时 电感 的等效电路元件
0t
0tt
如果
0)0(?
L
i
如果
0)0(
L
i
(开路 )
)0(?
L
u
0
)0( Ii
L
)0(?
L
u
＋ －
L
u
L
i
L
0)(
L
u
(短路 )
)(?
L
i
＋ －
0
)0( Ii
L
0
I
＋ －
§7-2 一阶电路的零输入响应零输入响应,ZIR（ Zero Input Response）
指电路在输入信号 (即激励 )为零 的情况下仅由电路 初始贮能 所产生的
(电压或电流 )响应,
即,Us = 0,Is = 0,
只由 uC (0-) = U0
或 iL (0-) = I0
产生的响应,071025
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
RC一阶电路的零输入响应,
*微分方程：
)0(0 tudtduRC cc
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*初始条件,0)0( UuA c
*电路响应形式：
*电容放电电流为,
)0()(
1
teUe0utu tRC0tRC
1
+cc
)0()
1
te0ie
R
U
dt
duC=ti tRC 1
+
t
RC0c
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*电容电压 uc和放电电流 i 按同一指数规律衰减,
t
U0 uC(t)
0
连续函数
t
I0 i
0
跃变一阶电路的 时间常数,? =RC
电容放电快慢在于?,其倒数称电路方程的特征根 (电路固有频率 )
11
RC=P
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
U0
t
uc
0?小
大
大 → 过渡过程时间长,
小 → 过渡过程时间短,
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
t 0? 2? 3? 5?
t
c eUu
0 U0 U0 e
-1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
1?,降到原电压 36.8%所需的时间,工程上认为,
3?－ 5?,过渡过程结束。
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
* 能量关系
uC R
+
－
C电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完,
设,uC(0+)=U0,电容放出能量,
R d te
R
U
R d tiW RC
t
R
0 0
2
02
0 0
2
00
22
0
22
0
2
1
2
CUeRC
R
Udte
R
U RC tRC t
电阻吸收能量,2021 CU
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
RL一阶电路的零输入响应
*微分方程：
)0(0 tRidtdiL LL
(sw合上后 )
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*初始条件,0)0( Ii L
*电路响应形式：
)0()( teI)e(0iti tL
R
0
tLR
+LL
*电感电压响应形式：
)(
t
L
R
0
L
L eIdt
dL
dt
diL=( t )u
)0()
te(0ueRI
tLR
+L
tLR
0
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*电感电流 iL和电感电压 uc 按同一指数规律衰减,
t
I0 iL
0
连续函数
-RI0
uL
t
0
跃变一阶电路的 时间常数,
过渡过程快慢在于?,其倒数称电路方程的特征根 (电路固有频率 )
RL
1
L
RP
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
电感释放能量的快慢决定于? 的大小,?具有时间的量纲,单位为秒
(S).经过 4? 时间释放,一般认为能量释放结束,
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,
大 → 过渡过程时间长,
小 → 过渡过程时间短,
RL
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
* 能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完,
设,iL(0+)=I0,电感放出能量,
i
L
+
–
uLR
2
02
1 LI
R d teIR d tiW RL
t
R
0 0
2
0
2
2
00
2
2
00
2
2
0 2
1
2
LIeRLRIdteRI RL
t
RL
t
电阻吸收能量：
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
*较复杂的一阶电路 零输入响应,
电路中除只含有一个独立动态元件外,还含有多个电阻元件,或受控源,
但其零输入响应的形式不变,
所不同的是换路后动态元件两端的电阻是个 等效电阻,要用类似戴维南定理中求等效内阻的方法求得,
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
【 例 6-3】 开关 SW闭合 已久,t=0时 SW
断开,求电流 iL(t),t?0,解,
换路前电感 uL为 零,其 ‘ 0?’等效电路如
(b)
对 (b)用分流关系得,
(b)(a)
Ai L 2
55
55
2
18
55
5
)0(?
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
据 换路定则 有,Aii LL 2)0()0(
换路后动态元件 L两端的等效电阻可用外施电源法求取,如图 (c).
000 UIU )55(2
1
等效电阻 和时间常数,
20
0
0
eq I
UR S
R
L
eq 10
1
20
2
Ae)e(0iti tt
1
+LL
102)(得,
(c)
071030
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
1）一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起,从初始值衰减为零的指数衰减函数，其一般表达式可以写为：
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比,称为零输入线性,
小结,
τ
t-
e0ftf
§7-2 一阶电路的零输入响应 (续 )
3）零输入响应的衰减快慢取决于时间常数 τ,其中 RC 电路 τ=RC,
RL 电路 τ= L/R,R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻,
4）同一电路中所有响应具有相同的时间常数,
,§7-2 工程 实例电路继电器控制交流电机
+VCC
M
220V~
LD4
K
R13
T4
c
e
b
ON
OFF
.
§7-2 实例电路 ---控制电路图继电器参数,控制信号二极管用途？
L=0.038 H
RL=58 omh
IL=0.086 AT4断路时 Rce>500k
.
+
-
c
e
v cc
dt
di
L
o ff
L
R
L
§7-2 实例电路 ---等效变换晶体管断路瞬间,电感 L
的感生电压为,
iL
感生电压 和 VCC串联,加到 c-e极两端,
脉冲低电平使
c-e断路
.§7-2 实例电路 ---等效电路
+
-c
e
vcc
L
R
L
R
ce
V
ce
+
-
i
L
tL ei 086.0
续流 二极管 D4,
保护 晶体管 T4,0)V(43000
086.05 0 0 0 0 0
t
e
iRV
t
Lcece
LLL Iii )0()0(
0 teIi tLL?
)( ceL RRL其中反向电压
§7-3 一阶电路的零状态响应
* 零状态响应,ZSR （ Zero State Response）
动态元件在 零初始状态 下 (初始储 能为零 ),t＞ 0 后由电路中外加输入激励 作用所产生的响应,
即,uC (0-)=0,iL (0-) = 0,只由激励电源 Us 或 Is 产生的响应,
.
CCC uuu
建立 非齐次线性常微分方程,
解答形式为：
LLL "' iii
电容,
电感,
§7-3 一阶电路的零状态响应
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
RC一阶电路的零状态响应,
微分方程：
)0( tUudtduRC 0cc
(sw合上后 )
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
初始条件,0)(0 +c?u
电路响应形式：
电容充电电流为,
0)(t)e(0ie
R
U
dt
dui ( t ) = C tτ1
c
t
RC
1
0c
0)(t)e)(1(u)e(1U tτ
1
c
tRC 1
0
tRC 1
00
pt
cpc eU=U+ A eu( t )u
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
电容 uc和充电电流 ic的变化曲线,
t
i
R
US
0
跃变R
U0
一阶电路的 时间常数,RC
充电快慢取决?大小,?的倒数为固有频率,又称方程的特征根 τ1RC1=P
-U0 uC‘
uC“U
0
t
uC
0
连续函数
(通解 )
(特解 )
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
电源提供能量：
2
SS0 S d CUqUtiU
CR
+
-
US
能量关系电阻消耗能量,tR
R
UtRi RC te d)(d 2
0
S
0
2
电容储存能量：
2
S2
1 CU 2
S2
1 CU?
电阻消耗一半,一半被电容储存成电场能,
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
RL一阶电路的零状态响应,
(sw合上后 )微分方程：
)0( tIidt idRL 0LL
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
初始条件,0)(0 +L?i
电路响应形式,
)0())(()( te1ie1Iti tτ
1
L
tLR
0L
电感电压响应形式,
)0()()(
te0ueRI
dt
di=Ltu tτ1
L
t
L
R
0
L
L
§7-3 一阶电路的零状态响应 (续 )
较复杂的一阶电路零状态响应,
对于较复杂的一阶电路，在直流电源作用下 电容电压 和 电感电流 的零状态响应形式不变,所不同的是 换路后 动态元件两端的电阻是个 等效电阻,
要用类似戴维南定理中求等效内阻的方法求得,
例 1 t=0时,S打开,求 t >0的 iL,uL
iL
S
+
–
uL2H
R 80?
10A
200
300
iL
+
–
uL2H10A Req
解 属 RL电路 零状态 响应问题,
Ω200300//20080eqR
s01.02 0 0/2/ eq RL?
A10)(Li
A)1(10)( 1 0 0L teti
V200010)( 100100eqL tt eeRtu
t > 0
(与 10A串联的 R省去 )
(等效于短路 )
iR
iR=10- iL,
uL=iRReq
§7-4 一阶电路的全响应
*一阶电路全响应,CR(Complete Response)
既有由 贮能 所引起的响应,
又有由 激励 所产生的响应,即,
全响应 =零输入响应 +零状态响应从 微分方程的解 (特解 +通解 )
来说,又称为,
全响应 =(强制分量 )+(自由分量 )
全响应 =(稳态分量 )+(瞬态分量 )
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
* 直流信号激励和非零初始状态下，
RC一阶电路的 全响应 为,
))(()()(
tτ1
c
tτ1
+cc e1ue0utu
(零输入响应 +零状态响应 )
tτ1
c+cc eu0u+=u
)]()([)(
(强制分量 +自由分量 )
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
* 直流信号激励和非零初始状态下，
RL一阶电路的 全响应 为,
))(()()( tτ
1
L
tτ1
+LL e1ie0iti
(零输入响应 +零状态响应 )
tτ1
L+LL ei0i+i
)]()([)(
(强制分量 +自由分量 )
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
* 一阶电路分析中,
称 f(0+),f(?),? 为? 三要素?,
)0()]()([)()( tef0f+=ftf τ
t
+
* 求一阶电路全响应的? 三要素?
法,
))(()()( τ
t
τ
t
+ e1+fe0=ftf
恒定激励下,一阶电路全响应表为,
初始值 稳态值 时间常数
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
注意,用? 三要素? 法求的全响应
f(t),可以是 电容电压 或 电感电流,也可以是电路中其他支路的电压或电流,
f(0+)应由? 0+”等效电路来求取；
f(?)应由 t=?的等效电路来求取；
时间常数?,关键用类似戴维南定理方法求 换路后 动态元件两端 等效电阻,
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
【 例 6-5】 一阶 RL电路的开关 S断开已处于稳态,在 t＝ 0时刻开关 S闭合,
求,,0,?ti L
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
解,(1) 求 iL(0+),t＝ 0_的等效电路
mA
ii LL
5
)0()0(
(2) 求 iL(?),t＝?的等效电路
mA
iii L
15
)( 21
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(3) 求时间常数?
令 Us短路,Is开路,得无源网络,求 得电感 L两端往里看的戴维南等效电阻,
S
R
L
KKR
eq
eq
5 0 0
1
,5 0 01//1
10V 10mA
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
0 1510
)1(155
)1)(()0()(
500
500500
tmAe
ee
eieiti
t
tt
t
L
t
LL
(4) 得电感电流 iL
(暂态解 ) (稳态解 )
(ZIR) (ZSR)零输入 零状态
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
【 例 6-6】 电路原无储能,开关 S在 t=0
时刻闭合,求 iL,i1,i2和 uL
解,(1) 0)0()0( LL ii
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(2) t = 0+ 时,等效电路如图
1
1
)3(6
)6( 3 0 ii?
AiiAi 2)0(,2)0( 121
Viiiu L 18963)0( 111
由得
(电感相当于 开路 )
(取右侧 )
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(3) t = 时,电感等效于 短路
Aiii
Aii
Ai
u
L
L
15)()()(
103/)(6)(
56/30)(
0)(
21
12
1
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(4) 求时间常数?,令 Us=0,用加压求流法对 (2)图求 等效电阻,
uuuiuiuiiii 65633333 6 11121
SR LiuR
eq
eq 5.0,2.1
§7-4 一阶电路的全响应 (续 )
(5) 用 三要素 求 iL,i1,i2 和 uL,t≥0
0,)1(15
)1)(()0()(
2
tAe
eieiti
t
t
L
t
LL
0,35)1(102
)1)(()0()(
222
111
tAeee
eieiti
ttt
tt
0,18
)1)(()0()(
2
tVe
eueutu
t
t
L
t
LL
§7-5 二阶电路的零输入响应
* 二阶电路,
是指用二阶微分方程来描述的动态电路,RLC串联电路和 GLC并联电路是最简单的二阶电路 ;
* 二阶电路中，给定的初始条件应有两个,由储能元件的初始值决定 ；
* 零输入响应,在输入 为零 时,仅由二阶动态元件 贮能 所产生的响应,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
二阶电路零输入响应,RLC串联电路例
1,列微分方程
(1) 以 iL为变量
scRL uuuu据 KVL:
据 VCR,sLLL udii
CRidt
diL1
两边微分,
dt
duCi
dt
diRC
dt
idLC s
L
LL
2
2
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(2) 以 uc为变量
SCL
L uuRi
dt
diL
dt
duCii C
CL
SC
CC uu
dt
duRC
dt
udLC
2
2
据 KVL:
据 KCL:
代入得,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
2,特征方程与特征根以 iL或 uc作变量,代入解的形式 (如
ptC Aeu? ),有相同的特征方程,
012 RCpL C p
LCL
R
L
R
p
1
22
2
2,1
两个特征根,
071101
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
LCL
R 1
2
2
其中 分下述三种情况,
二个不等负实根 2
C
LR?(a)
二个相等负实根 2
C
LR?(c)
二个共轭复数根 2
C
LR?(b)
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
tptp
C AAtu 21 ee)( 21
3,特征根与解的形式的关系：
[1] 非振荡放电 过程 (过阻尼放电 )
对 (a) 二个不等负实根 2
C
LR?
解的形式为,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
【 例 6-7】 知 R=3?,L=0.5H,C=0.25F，
uc(0-)=2V,iL(0-)=1A,求 uc(t),iL(t),t≥0.
＋ －
Lu
Li
L
＋ ＋ －
－
Ru
R
CCu
解 uc(t),(1) 求特征根
02
2
CCC udtduRC
dt
udLC
tt
c eAeAtu
pp
LCL
R
L
R
p
4
2
2
1
21
2
21
)(
4,2
13
1
)
2
(
2
、
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(2) 利用初始条件，求系数 A1,A2
4/1
1)0()0(
42
20
21
0
21
C
i
C
i
AA
dt
du
AA)(u
Lc
t
c
c
解得,A1=6,A2 = -4
(3) 代入得 uc(t),iL(t)
0,43)(
0,46)(
42
42
tAee
dt
du
Cti
tVeetu
ttc
c
tt
c
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(4) 过程分析
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
电感 iL对 C充电,uC上升,iL下降,磁场能转为电场能,部分被 R消耗,iL降到零,
C储能达最大 ;
此后 C放电,电流改方向,且不被再充电,因 电阻较大,转移中能量迅速消耗,呈非振荡的 过阻尼 响应,
若电阻较小,C 可能再充电放电,从而产生振荡响应,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
解,iL(t) 为变量 ＋ －
A1
)0(?Lu
＋
－
3
V2
02
2
LLL idtdiRC
dt
idLC
tttptpL eBeBeBeBti 422121 21)(得,
L
u
BB
dt
di
BBi
L
t
L
L
)0(
42
)0(
21
0
21
Vut L 523)0(,0其中,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
解得,
0,43)(
,4,3
42
21
tAeeti
BB
tt
L
0,46
)43(
4/1
1
2
1
)0()(
42
0
42
0
tVee
dee
di
C
utu
tt
t tt
t
LCC
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
[2] 振荡放电 (欠 阻尼 )
二个共轭复数根 2 CLR?对 (b)
djj
LCL
R
L
R
p
22
0
2
0
2
2
21
1
)
2
(
2
、
22
0
2
0 )2(
1,1,
2 L
R
LCLCL
R
d而,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
0
d
(关系三角形 )
衰减因子,
其中,
0 无阻尼振荡角频率,
d 固有振荡角频率
(阻尼振荡角频率 )
)ee(eee j2j121 21 ttttptpC dd AAAAu
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
解的形式为,
tBtBe
tAAjtAAe
tjAtAtjAtAe
eAeAe
eAeAeAeAtu
dd
t
dd
t
dddd
t
tjtjt
tjtjtptp
c
dd
dd
si nco s
si n)(co s)(
)si nco ssi nco s(
)(
)(
21
2121
2211
21
)(
2
)(
121
21
(可证明 A1,A2 为共轭复数,
则 B1,B2为实数 )
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(关系三角形 )
)co s (
)s i nco s()( 21
tBe
tBtBetu
d
t
dd
t
c
1
212
1
21
,si n
,c o s,
B
B
tg
B
B
B
B
BBB
其中,
tt
tt
t
t
si njc o se
si njc o se
j
j(关系式 ):
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
【 例 6-8】
.0),(t):,1)0(
,1)0(,1,1,1
ttiuAi
VuFCHLR
LCL
C
、（求解,(1) 求特征根
)
2
3
co s (
)
2
3
s i n
2
3
co s()(
2
3
2
11
)
2
(
2
2
21
2
2
21
tBe
tBtBetu
j
LCL
R
L
R
p
t
t
C
、
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(2) 由初始条件求 B1,B2,B,?,
60,231
1
)0()0(
2
3
2
1
1)0(
2
2
2
121
21
21
0
1
BBBBB
C
i
C
i
BB
BB
dt
du
Bu
LC
d
t
C
C
，，
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
0,)60
2
3
c o s(2
)1 5 0
2
3
si n (2)()(
0,)60
2
3
c o s(2)(
2
2
2
tAte
te
dt
du
Ctiti
tVtetu
o
t
o
t
C
CL
o
t
C
(3) 解得,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(4) 过程分析,
R较小时,过渡过程 uC周期性改变方向,储能元件周期性的交换能量 ;
波形呈衰减振荡放电状态,电阻较小时,
响应是振荡性的,称为 欠阻尼,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
[3] 临界 阻尼 情况二个相等负实根 2
C
LR?对 (c)
ptc etAAtu )()( 21
解的形式为,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
【 例 6-9】 R=2?,L=1H,C=1F,uc(0-)=0V,
iL(0-)=1A,求,uc(t),iL(t),t≥0.
解,(1) 求特征根
t
C
etAAtu
pp
LCL
R
L
R
p
)()(
1
1
1
)
2
(
2
21
21
2
21,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(2) 由初始条件求 A1,A2,
1
)0()0(
00
21
0
1
C
i
C
i
ApA
dt
du
A)(u
Lc
t
c
c
(3) 解得,
0,)2()(
0,)1()()(
0,)(
tVet
dt
di
Ltu
tAte
dt
du
Ctiti
tVtetu
tL
L
tc
cL
t
c
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
(4) 过程分析,
响应处于临界振荡状态,称为 临界阻尼,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
步骤归纳经典法求解二阶电路零输入响应,
1) 据 KVL,KC,VCR 列换路后的电路微分方程 (属二阶线性齐次常微分方程 )
2)由特征方程求出特征根,并判断是处于衰减放电 /振荡放电 /临界放电状态,
微分方程解的形式分为三种,
§7-5 二阶电路的零输入响应 (续 )
特征根为两个不相等的负实根,
tptp eAeAtf 21 21)( (过阻尼 状态 )
特征根 为两个相等的负实根,
ptetAAtf )()( 21 (临界阻尼 状态 )
特征根 为为共轭复根,
)c o s ()( tBetf dt(衰减 振荡 态 )
3) 据初值
dt
dyy )0(),0(?
求积分常数,得 解,
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
*二阶电路的 零状态响应,
初始储能为零,由外施激励引起的响应,++
- -
Si
LuC
u
G
C
)0(?tS
Gi
L
LiCi
因
GCL并联电路
0)0(,0)0( LC iu
t=0时 S打开,据 KVL:
SLGC iiii有,
变量 iL得 二阶非齐次 方程
SL
LL ii
dt
diGL
dt
idLC
2
2 外激励 得特解,
零状态 得通解,
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 (续 )
*二阶电路的 全响应,
具有初始储能和外施激励引起的响应,
通过解 二阶非齐次方程 的方法可求解,
以过阻尼情况为例：
)(
)(
21
21
21
21
C
tptp
cp
tptp
c
ueAeA
ueAeAtu
)( Ccp uu其中,,可用初值求通解系数
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 (续 )
【 例 6-10】 已知
V50
F100?
Cu
R
C
S
50
H5.0
+
-
+
-
L
Li
Aiu LC 2)0(,0)0(
t=0时 S闭合,求 iL(t)
解,属全响应
2
250
dt
di
LCi
R
dt
di
L
L
L
L
502
2
LLL Ri
dt
diL
dt
diR L C整理得,
(1) 列结点 KCL方程
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 (续 )
代入参数得,2 0 0 0 02 0 0 0 0200
2
2
LLL idtdi
dt
di
(2) 特解为,Ai L 1
50
50'
(3) 通解的特征方程,0200002002 pp
特征根,1 0 01 0 0 jp
通解,)100si n (1 0 0'' tAei tL (属欠阻尼 )
(共轭复根 )
(4) 全响应 )1 0 0s i n (1)( 100''' tAeiiti tLLL
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 (续 )
已知初始条件,Aiu LC 2)0(,0)0(
0)0(
0
L
u
dt
di CL
有,
0s i n1 0 0co s1 0 0
2s i n1
AA
A
解得,
o
A
45
2
全响应, A)45100s i n (21)( 0100 teti tL
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应单位阶跃函数,(有跳变点的奇异函数 )
延时的单位阶跃函数,
0)( 1
0)( 0=)(
t
ttε
0)( 1
0)( 0=)(
0 t
tttε
(在时间轴上移动 t0的结果 )
基本概念
)( t?
t0
1
)( 0tt
t0
1
0t
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
单位阶跃函数用来‘ 起始 ’任意
f(t)
)( 0
)( )(
=)()(
0
0
0 tt
tttf
ttεtf
)( tf
t0 0t
)()(
0
tttf
t0 0t
延时的 单位阶跃函数 外施函数 f(t),
则有,
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
判断例
)( tf
t
2?
3
2
1?
4
2
)4(2)2(5)1(3)( ttttf
(a) (b)
图 (a)由 (b)的三个阶跃函数组成,
)( tf
t
2?
3
2
1?
4
2
5?
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
单位阶跃响应,
激励为单位阶跃函数时,电路中的零状态 响应。
单位阶跃响应与直流激励响应相同,
例如,)(ts --单位 阶跃响应
)()( 0 tUtu S
)()( 0 tIti S
(恒定激励 )
则有 )(0 tsU
)(0 tsI
(零状态响应 )
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
i
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
)( t?
注意两式的区别,(0-前必为 0)
0 tei RC
t
)( tei RC
t
)()1()( tetu RC
t
C?
)(
1
)( te
R
ti RC
t
C?
)( dtduCi?
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
uC
t
1
0
t0
1
i
t0
1
i
)( tei RC
t
0 tei RCt
t小于 0
i必为 0
t小于 0
i未必 0
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
iC
(t -t0) C
+
–
uC
R
激励在 t = t0 时加入,
则响应从 t =t0开始,
t
iC
0
R
1
t0
)(1 0
0
tte
R
i RC
tt
C
)(1 0tte
R
i RC
t
C
不要写成,
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
SU
R
S
+
-
1
2
Cu C
+
-
【 例 6-11】 S在 1时已稳定,
时打向 2,
时回向 1,求,)(,0 tut C?
RCt0?t
解,用阶跃函数表激励,求阶跃响应,用矩形脉冲 (a)表开关动作,
(a) (b)
)( tu S
t0
SU
)( tu
S
t0
S
U
S
U?
)( tU
S
)( tU
S
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 (续 )
由图 (b)得矩形脉冲,
)()()( tUtUtu SSS
RC中单位 阶跃响应,
)()1()( tets
t
得,
)(1)()1()(
)(
teUteUtu
t
S
t
SC
(阶跃响应 ) (延时阶跃响应 )
)( tu
S
t0
S
U
S
U632.0
C
u
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应基本概念 单位冲激函数 (δ函数 )(属有跳变点的奇异函数 )
0)( 0)(
1 )(δ
-
tt
dtt
)( tp
t0
1
(单位矩形脉冲函数 )
11保证面积,时,
1,0 的极限,
记为,)()(lim
0 ttp
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 ))( t?
1
0 t
)( tK?
K
0 t
)( 0tt
1
0 t
0t
δ函数 K强度 δ函数 延时 δ函数单位冲激响应,
单位冲激函数 激励 的 零状态 响应,
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
单位冲激函数的 主要性质,
(1) 积分关系,
求导关系,
)()( tdt
)()( tdt td
(2) ‘筛 分’ (取样 )性质,*对 t=0 时的连续函数 f(t),有
)()0()()( tfttf 0)(,0 tt 时因
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
*对 t=t0 时的连续函数 f(t),有
)()()()( 000 tttftttf也有,
)0()()( fdtttf
)()()( 00 tfdttttf
)( tf
1
0
t0t
1
)(
0
tf
)0(f
冲激函数能 ‘ 筛 ’
出 函数某一时刻值,
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
(3) 当 i(t)=?i(t)安,加到 uc(0-)=0,
C=1F 的电容上时,uc为,
V11)(1 00
C
dtt
C
u iC?
物理意义,
单位冲激电流瞬时把电荷转移到电容上,使电容电压从零 跳变 到 1V.
uC
t
0
C
1
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
(4) 当 u(t)=?u(t)伏,加到 iL(0-)=0,
L=1H 的电感上时,iL为,
A11)(1 00
L
dttLi UL?
物理意义,
单位冲激电流瞬时在电感内建立了电流,使电感电流从零 跳变 到 1A.
iL
t
0
L
1
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
例 1 求单位 冲激电流 激励下的 RC电路的零状态响应,
解 分二个时间段考虑冲激响应,
(t)
uC(0－ )=0
iC
R C
+
-
uC
(1) t 在 0－ → 0+间电容充电,方程为,
)( tRudtduC cc
注,uc不是冲激函数,否则 KCL不成立,
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
1)(d 0000 C00 C
dttdtRutdtduC?
1)]0()0([ CC uuC
)0(1)0( CC uCu
0
iC
R C
+
uC
－
Cu
1)0(
C
(2) t > 0+ 为零输入响应 (RC放电 )
01
C teCu
RC
t
电容电压跃变
01
C
C teRCR
ui RC t
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
)(
1
)(
)(
1
C
C
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
RC
t
uC
t
0
C
1
iC
t
1
RC
1?
0
RC
1?
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
例 2 求单位 冲激电压 激励下的 RL电路的零状态响应,
解 分二时间段考虑冲激响应,
(1) t 在 0－ → 0+间方程为,
)( tdtdiLRi LL
1)(000000
dttdtdtdiLdtRi LL?
L
+
-
iLR +
-
uL
0)0(Li
)(t?
1)0()0( LL iiL )0(1)0( LL iLi
注,iL不是冲激函数,否则 KVL不成立,
0
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
)0(1)0( LL iLi 电感的冲激电压使电感电流跃变
L
iLR +
-
uL
(2) t > 0+ RL放电
R
L
Li L
1)0(?
01
te
L
i
t
L
0
te
L
RRiu t
LL
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
)(
1
te
L
i
t
L?
)()(
te
L
Rtu t
L
iL
t
0
L
1
L
1
R
L?
uL
t
1
0
R
L?
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
附,单位 斜坡函数 r(t),单位 阶跃函数 ε(t),
和单位 冲激函数?(t)之间的关系,)( tr
t0
1t
1t
)( t?
t0
1
)( t?
1
0 t
0
00)(
tt
ttr
t
d
dt
tdr
t
)(
)(
)(
dt
tdt )()(
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
附,单位 阶跃响应 和单位 冲激响应 关系零状态)(te激励 响应)t )(tR
单位阶跃? (t) 单位阶跃响应 s(t)
单位冲激? (t) 单位冲激响应 h(t)
dt
tdt )()( )()( ts
dt
dth?
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
【 例 6-11】 求单位冲激响应 uc(t),ic(t)
V)()1()1)(()()( teeutStu RC
t
RC
t
CC?
(1)令 作用,
得 单位 阶跃 响应 S(t).
V)()( ttu S
解法思路,
Su
R
+
-
Cu C
+
-
V)( t?
从 阶跃响应 求导,可得 冲激响应,
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
A)(
1
)(
1)(
)(
V)(
1)(
)()(
)/(
2
t
R
te
CRdt
tdu
Cti
te
RCdt
tdS
thtu
RCtC
C
RC
t
C
(2) 令 作用得 单位 冲激 响应 h(t).
V)()( ttu S
对 阶跃响应 取微分得,
(图中电容电压跳变,产生冲激电流 )
C
u
t0
C
i
RC
1
R
1
CR
2
1?
(只 t=0)
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
例 求,is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t).
uC(0－ )=0
iC
R
iS(t)
C
+
-
uC
解 先求单位 阶跃 响应：
令再求单位 冲激 响应,令,
得,
求导得,
代得,
)()( tti S
uC(0+)=0 uC(?)=R? = RC
)()1()( teRtu RC
t
C?
iC(0+)=1 iC(?)=
0
)()(S tti
)( C tei RC
t
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
)()1(
teRdtdu RC
t
C?
)()1( teR RC
t
)1 teC RC
t
)(1 te
C
RC
t
)()0()()( tfttf
)]([
C tedt
di RC t )(1)( te
RC
te RC
t
RC
t
)(1)(
te
RC
t RC
t
0
)( dtduCi?
)0(?t
§7-8 一阶电路和二阶电路的冲击响应 (续 )
阶跃响应冲激响应
uC
R
t0
iC
1
t0
uC
t0
C
1
iC
t
1
0
RC
1?
071106
§7-9 卷积积分卷积积分 概念,
两个时间函数 f1(t),f2(t),在 t<0时均为 0.
dftftftf t )()()()( 20 121
如果令 ddt 则,
可证,)()()()( 1221 tftftftf
意义,若 f1(t)为冲激响应 h(t),f2(t)为输入激励 e(t),则卷积积分求得 零状态响应 r(t).
§7-9 卷积积分 (续 )
【 例 6-13】 A)(2 F,1,k500 teiCR tS
设 C原无电压,求 uc(t).
+
-
Si
CuR C
(见书原图 7-35)
解,已得冲激响应为
V)(10
V
101
11
)(
26
2
6
1
te
ee
C
th
t
t
t
RC
应用 零状态响应 关系式,
dhtetr t )()()( 0
§7-9 卷积积分 (续 )
求得,
V)()(2
22
10102
)()()(
2
00
)(
26)(
0
6
0
tee
deede
dee
dhtitu
tt
t
t
t
t
t
t
t
SC
§7-10 状态方程 (略 )
基本概念 (详见课本 p.184)
状态变量,电路的一组独立动态变量,
(如电容电压 uC和电感电流 iL )
状态方程,状态变量列出的一阶微分方程,
状态方程 标准形式,BvAxx
(其中,x为状态向量,v为输入向量 )
