第三章 电阻电路的一般分析内容提要
支路电流法
网孔电流法
回路电流法
结点电压法
§3-1 电路的图
* 图 Graph,是 节点与支路的集合,
* 任何一条支路必须终止在结点上,
* 有向图,箭头方向是 u和 i的参考方向,
* 子图,是图 G的一部分,
* 连通图,从一节点出发,可沿支路到达任一节点,
注,移去一结点,该点 所有支路 应移去,
(有向图 )
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
* 回路,起点和终点重合的闭合路径,
* 网孔,回路的最小单位,内部无支路,
* 树 T,连接全部节点所需支路最少的集合,树应满足的条件,
(1)属连通图 G 的一个子图,
(2)含 G的全部结点和部分支路,
(3)本身连通但不含回路,
注,树的详尽解释见 p.53~54.
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
* 构成树的支路称 树支 ( t )；
* 对应树的其它支路称 连支 ( link )
平面图 G 树 T 树 T 不属树
n个节点 b条支路的连通图 G,其任何一个树的 树支数 为 n-1,连支数 b-(n-1)
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
* 基本回路,
只含单连支,其余为树支的回路,
基本回路数 =连支数 =b-(n-1)
图中 b=8,n=5,
基本回路数 (mesh)＝ 4
如,Ⅰ (8,4,7),Ⅱ (5,7,4,3)
III (6,7,4,3,1),Ⅳ (2,4,3,1)
连支 ( 8,5,6,2 )方向为回路电流方向
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
* 树选的不同,对应不同的基本回路组,
* 因每个 基本回路 需含一条 新连支,所以 基本回路组 是 独立 回路组,
基本回路数 = KVL 独立方程数
=b-(n-1),
树支数 ＝基本割集数 (略 )
=KCL 独立方程数＝ n-1
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
1,KCL的 独立方程数列出图中 4个结点上的
KCL方程,(流 出结点为正 )
结 1:
结 2:
结 3:
结 4:
(满足,4方程相加 =0)
* 只需选 n－ 1个结点来列 KCL方程,
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
2,KVL的 独立方程数取支路 (1,4,5)为树,
则基本回路为,
(1,3,4),(1,2,5,4),(4,5,6)
回路 1:
回路 2:
回路 3:
* 只需列选 b-n+1 个 KVL 方程,
§3-3 支路电流法定义,选 支路电流作变量列解方程
*标定各支路电流 ( i1 ~ i6)、
电压 (u1 ~ u6)
的下标编号及方向图中,b=6,n=4,m=3,t=3,link=3
§3-3 支路电流法 (续 )
*据 KCL列 (n – 1)个 独立 节点电流方程
1
2
3
4
1 2
3
* 据 KVL列 b-(n – 1)个独立 回路电压方程
(1)
(2) (平面图 )
§3-3 支路电流法 (续 )
*据 VCR列支路方程 (电流表示电压 )
【 支路电流法 —1b法 】
将 (3)代入 (2)联立求解 (1)和 (2),共 b=6
个方程,可解出 6 个支路电流 i1~i6,
(3)
§3-3 支路电流法 (续 )
支路电流法 点评,
列写的是 KCL和 KVL 方程,所以方程列写方便、直观,但方程数较多,适宜于利用计算机求解,适用于支路数不多的电路,
注,联立 (1),(2),(3)称为 2b法,可解出支路电流和支路电压,共 2b个未知量,
§3-3 支路电流法 (续 )
【 例 3-1】 列电路方程
§3-4 网孔电流法定义,选 网孔电流 作变量列解方程 (只适于平面电路 ).
网孔电流,沿着网孔流动的 假想电流 (是一组完备的独立量 ).
网孔方程,以 ia,ib 为电路变量,
按 KVL 对全部网孔列出的电路方程,
§3-4 网孔电流法 (续 )
完备性,
独立性,即 线性独立
2323
1331
)(
)(
Sba
Sba
uiRRiR
uiRiRR
baba iiiiiii 321,,
,0 ba ii ba ii,
§3-4 网孔电流法 (续 )
一般形式,
式中,;
规律,
(某网孔电流 × 该网孔的自电阻 )
+ (相邻网孔电流 × 互电阻 )
=该网孔所有 电压源 的代数和,
222221
111211
Sba
Sba
uiRiR
uiRiR;
§3-4 网孔电流法 (续 )
网孔电流法 分析电路的步骤,
1,设定网孔电流 (方向 /下标 ) ia,ib,ic
§3-4 网孔电流法 (续 )
2,按照规律列写网孔电流方程
3,联解方程得,ia,ib,ic
4,设定各支路电流 i1～ i6,则可得,
cbbacacba iiiiiiiiiiiiiii 4,3,2,6,5,1
§3-4 网孔电流法 (续 )
注 1,互电阻项正号负号如何确定？
自电阻项总为正,互电阻的正负,当两网孔电流在共有支路上参考方向相同时为正,方向相反时为负。
§3-4 网孔电流法 (续 )
注 2,电压源的正号负号如何确定？
电压源方向与网孔电流方向一致者取 负号,方向相反取正号,
§3-4 网孔电流法 (续 )
注 3,理想电流源支路的处理
(1)电流源属于边界 (无伴 )支路，
则该网孔电流 = 电流源的电流,
且不用列写该网孔方程,
§3-4 网孔电流法 (续 )
(2)电流源支路为公共支路则补加电压源,u,,
补一个方程,
§3-4 网孔电流法 (续 )
【 例 3-2】 列写图中网孔电流方程
2,5
444322
1221
)(
)(
SabSc
Scba
Sba
iiiii
uuiRiRRRiR
uuiRiRR
§3-4 网孔电流法 (续 )
注 3,电路中含有受控源的处理
* 先把受控电压源当作独立电压源看待,按基本结构列写方程,最后则补充控制量与回路电流关系的方程式,
* 先把受控电流源当作独立电流源看待,参照上述电路中含有电流源支路的情况处理,最后则补充控制量与回路电流关系的方程式,
§3-4 网孔电流法 (续 )
【 例 3-2】 列写图中网孔电流方程,
(有 受控电压源 )2uμ
)(
)(
)(
)(
22
24655
4322
252521
ba
Sca
Sba
cba
iiRu
uuiRRiR
uiRRiR
uiRiRiRRR
§3-5 回路电流法定义,选 回路电流 作变量列方程,
回路电流,
在回路中流动的假想电流 (i11,i12,i13).
基本回路,
选作独立回路,回路电流是相应的连支 (1,2,3)电流,表达了树支 (4,5,6)电流,
§3-5 回路电流法 (续 )
基本步骤,
* 标定独立回路电流的符号和方向,
* 写 b-(n-1) 个回路电流方程,结构为,
(自电阻?本回路电流 )?
(互电阻?相邻回路电流 )
=本回路电压源之代数和,
* 解联立方程,求出回路电流,
* 按需要据 KCL求支路电流,或其它量,
§3-5 回路电流法 (续 )
【 例 】 列写回路电流方程
53
4134243111
21
)(
Sl
SSlll
Sl
ii
uuiRiRRRiR
ii
无伴理想电流源 is5
§3-5 回路电流法 (续 )
网孔法 <比较 > 回路法
* 网孔电流为变量
* 属回路法特例
* 只能解平面电路
* 理想电流源加‘ u’
* 支路电流最多两个网孔电流迭加
* 方程数多,但简单直观,不易出错
* 回路电流为变量
* 普遍性应用广泛
* 可解非平面电路
* 可避开加‘ u’
* 支路电流可两个以上回路电流迭加
* 方程数少但复杂,易出错,常借助树概念
§3-5 回路电流法 (续 )
练习,
§3-5 回路电流法 (续 )
练习,
§3-5 回路电流法 (续 )
练习,
§3-6 结点电压法定义,选 结点电压 作变量列解方程 (适于 结点较少的 电路 ).
结点电压,结点与任选 零 电位参考结点间的电压,
结点电压极性,参考结点为负,其余为正,
§3-6 结点电压法 (续 )
图示为 8条支路 4个结点,选结点 4为参考结点,其余 1,2,3结点电压极性指向结点 4,解法过程如下,
§3-6 结点电压法 (续 )
1,选零电位参考节点,设定 (n – 1) 个独立节点电压,
2.各支路电流均可用节点电压来表示,
§3-6 结点电压法 (续 )
3,据 KCL列 (n – 1)个独立节点电流方程
4,整理?和?得节点电压方程?
§3-6 结点电压法 (续 )
5,联解得 结点电压
6,利用式?可求得支路电流共可列出 (n－ 1)个节点电压方程,
节点电压自动满足 KVL,仅列写 KCL
方程就可以求解电路,
§3-6 结点电压法 (续 )
一般列解规律,
33333232131
22313222121
11313212111
s
s
s
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
6655233
22
6611111
0
ssss
s
ssss
uGuGii
i
uGuGii
结点 电流源 代数和,
(前述图例 )
§3-6 结点电压法 (续 )
G
G
G
65433
43222
62111
GGG
GGG
GGG
61331
43223
22112
GGG
GGG
GGG
自电导互电导分别为进出结点
1,2,3 的电流源的代数和 (包括独立和受控电流源,也包括由独立或受控的实际电压源变换出来的电流源 )
332211 SSS iii,、
§3-6 结点电压法 (续 )
注 1,电流源的符号流入节点的电流源移到方程右边取
‘ +’,(正端靠近节点的实际电压源 ),
流出节点的电流源移到方程右边取
‘ – ’,(负端靠近节点的实际电压源 ).
注 2,与电流源串接的电阻或其它元件不参与列方程,
§3-6 结点电压法 (续 )
+i 6
u s 6R
6
u n1 u
n3-
+
-u
13
1 3
R
6
u
n3u n1
G
6
u
s6
1 3
注 3,理想电压源支路的处理
(有伴电压源：变换为电流源 )
规律,(某节点电压 )× (该节点的自电导 ) — (相邻节点电压 )× (互电导 ) =流进流出该节点的 电流源 的代数和,
§3-6 结点电压法 (续 )
【 例 3-5】 列出图示的节点电压方程
241)4121( n2n1 uu
3
17
1
1)
1
1
3
1
4
1(
4
1 n3n2n1 uuu
2)5111(11 3n2 uu
§3-6 结点电压法 (续 )
【 例 3-6】 用节点法求电压 Ux
111)2111( n2n1 uu
1?n2u
1)1111(11 n3n2 uu
§3-6 结点电压法 (续 )
【 例 3-7】 用节点法求图示电压 u23
sn2n1 iuu 2)23(
1n2u
sn3n2 iuu )64(4
6.313 nn uu
(图中 S为电导单位 )
§3-6 结点电压法 (续 )
【 例 3-8】 用节点法求图示的电压 u2
uiu xn1 21711
xn3n2 iu)u2
1+
2
1
1
1(
uuu n3n2 2)2121(21
如含受控电压源,列写时先当作独立电压源看待,最后补充控制量与节点电压关系的方程式,
§3-6 结点电压法 (续 )
需补充的方程,
n2u=u
2n2n1 iuu 3
05.1
05.1
75.05.0
n3n2n1
n3n2
n3n2n1
uuu
uu
uuu
n32 ui )21(
整理后得,
§3-6 结点电压法 (续 )
网孔法 <比较 > 结点法
* 解题基本思路,
选网孔电流,据 KVL,
VCR列写 b-n+1个方程,解得网孔电流,
进而求得 i,u,p等,
* 只适平面电路,
* 时机,网孔数小于独立结点数,
*解题基本思路,
选结点电位,据 KCL,
VCR列写 n-1个方程,
解得结点电位,
进而求得 i,u,p等,
* 平面,非平面均可,
* 时机,独立结点数小于独立网孔数,
小结 （ 第三章 电阻电路的一般分析 ）
基本要求,
*了解电路 KCL独立方程,KVL独立方程与电路节点数和支路数的关系,
*掌握支路电流法解题的步骤,
*掌握回路电流法,能正确处理电路中含电流源支路情况和含受控源情况,
*掌握掌握节点电压法,能正确处理电路中含电压源支路和含受控源情况,
支路电流法
网孔电流法
回路电流法
结点电压法
§3-1 电路的图
* 图 Graph,是 节点与支路的集合,
* 任何一条支路必须终止在结点上,
* 有向图,箭头方向是 u和 i的参考方向,
* 子图,是图 G的一部分,
* 连通图,从一节点出发,可沿支路到达任一节点,
注,移去一结点,该点 所有支路 应移去,
(有向图 )
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
* 回路,起点和终点重合的闭合路径,
* 网孔,回路的最小单位,内部无支路,
* 树 T,连接全部节点所需支路最少的集合,树应满足的条件,
(1)属连通图 G 的一个子图,
(2)含 G的全部结点和部分支路,
(3)本身连通但不含回路,
注,树的详尽解释见 p.53~54.
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
* 构成树的支路称 树支 ( t )；
* 对应树的其它支路称 连支 ( link )
平面图 G 树 T 树 T 不属树
n个节点 b条支路的连通图 G,其任何一个树的 树支数 为 n-1,连支数 b-(n-1)
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
* 基本回路,
只含单连支,其余为树支的回路,
基本回路数 =连支数 =b-(n-1)
图中 b=8,n=5,
基本回路数 (mesh)＝ 4
如,Ⅰ (8,4,7),Ⅱ (5,7,4,3)
III (6,7,4,3,1),Ⅳ (2,4,3,1)
连支 ( 8,5,6,2 )方向为回路电流方向
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
* 树选的不同,对应不同的基本回路组,
* 因每个 基本回路 需含一条 新连支,所以 基本回路组 是 独立 回路组,
基本回路数 = KVL 独立方程数
=b-(n-1),
树支数 ＝基本割集数 (略 )
=KCL 独立方程数＝ n-1
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
1,KCL的 独立方程数列出图中 4个结点上的
KCL方程,(流 出结点为正 )
结 1:
结 2:
结 3:
结 4:
(满足,4方程相加 =0)
* 只需选 n－ 1个结点来列 KCL方程,
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
2,KVL的 独立方程数取支路 (1,4,5)为树,
则基本回路为,
(1,3,4),(1,2,5,4),(4,5,6)
回路 1:
回路 2:
回路 3:
* 只需列选 b-n+1 个 KVL 方程,
§3-3 支路电流法定义,选 支路电流作变量列解方程
*标定各支路电流 ( i1 ~ i6)、
电压 (u1 ~ u6)
的下标编号及方向图中,b=6,n=4,m=3,t=3,link=3
§3-3 支路电流法 (续 )
*据 KCL列 (n – 1)个 独立 节点电流方程
1
2
3
4
1 2
3
* 据 KVL列 b-(n – 1)个独立 回路电压方程
(1)
(2) (平面图 )
§3-3 支路电流法 (续 )
*据 VCR列支路方程 (电流表示电压 )
【 支路电流法 —1b法 】
将 (3)代入 (2)联立求解 (1)和 (2),共 b=6
个方程,可解出 6 个支路电流 i1~i6,
(3)
§3-3 支路电流法 (续 )
支路电流法 点评,
列写的是 KCL和 KVL 方程,所以方程列写方便、直观,但方程数较多,适宜于利用计算机求解,适用于支路数不多的电路,
注,联立 (1),(2),(3)称为 2b法,可解出支路电流和支路电压,共 2b个未知量,
§3-3 支路电流法 (续 )
【 例 3-1】 列电路方程
§3-4 网孔电流法定义,选 网孔电流 作变量列解方程 (只适于平面电路 ).
网孔电流,沿着网孔流动的 假想电流 (是一组完备的独立量 ).
网孔方程,以 ia,ib 为电路变量,
按 KVL 对全部网孔列出的电路方程,
§3-4 网孔电流法 (续 )
完备性,
独立性,即 线性独立
2323
1331
)(
)(
Sba
Sba
uiRRiR
uiRiRR
baba iiiiiii 321,,
,0 ba ii ba ii,
§3-4 网孔电流法 (续 )
一般形式,
式中,;
规律,
(某网孔电流 × 该网孔的自电阻 )
+ (相邻网孔电流 × 互电阻 )
=该网孔所有 电压源 的代数和,
222221
111211
Sba
Sba
uiRiR
uiRiR;
§3-4 网孔电流法 (续 )
网孔电流法 分析电路的步骤,
1,设定网孔电流 (方向 /下标 ) ia,ib,ic
§3-4 网孔电流法 (续 )
2,按照规律列写网孔电流方程
3,联解方程得,ia,ib,ic
4,设定各支路电流 i1～ i6,则可得,
cbbacacba iiiiiiiiiiiiiii 4,3,2,6,5,1
§3-4 网孔电流法 (续 )
注 1,互电阻项正号负号如何确定？
自电阻项总为正,互电阻的正负,当两网孔电流在共有支路上参考方向相同时为正,方向相反时为负。
§3-4 网孔电流法 (续 )
注 2,电压源的正号负号如何确定？
电压源方向与网孔电流方向一致者取 负号,方向相反取正号,
§3-4 网孔电流法 (续 )
注 3,理想电流源支路的处理
(1)电流源属于边界 (无伴 )支路，
则该网孔电流 = 电流源的电流,
且不用列写该网孔方程,
§3-4 网孔电流法 (续 )
(2)电流源支路为公共支路则补加电压源,u,,
补一个方程,
§3-4 网孔电流法 (续 )
【 例 3-2】 列写图中网孔电流方程
2,5
444322
1221
)(
)(
SabSc
Scba
Sba
iiiii
uuiRiRRRiR
uuiRiRR
§3-4 网孔电流法 (续 )
注 3,电路中含有受控源的处理
* 先把受控电压源当作独立电压源看待,按基本结构列写方程,最后则补充控制量与回路电流关系的方程式,
* 先把受控电流源当作独立电流源看待,参照上述电路中含有电流源支路的情况处理,最后则补充控制量与回路电流关系的方程式,
§3-4 网孔电流法 (续 )
【 例 3-2】 列写图中网孔电流方程,
(有 受控电压源 )2uμ
)(
)(
)(
)(
22
24655
4322
252521
ba
Sca
Sba
cba
iiRu
uuiRRiR
uiRRiR
uiRiRiRRR
§3-5 回路电流法定义,选 回路电流 作变量列方程,
回路电流,
在回路中流动的假想电流 (i11,i12,i13).
基本回路,
选作独立回路,回路电流是相应的连支 (1,2,3)电流,表达了树支 (4,5,6)电流,
§3-5 回路电流法 (续 )
基本步骤,
* 标定独立回路电流的符号和方向,
* 写 b-(n-1) 个回路电流方程,结构为,
(自电阻?本回路电流 )?
(互电阻?相邻回路电流 )
=本回路电压源之代数和,
* 解联立方程,求出回路电流,
* 按需要据 KCL求支路电流,或其它量,
§3-5 回路电流法 (续 )
【 例 】 列写回路电流方程
53
4134243111
21
)(
Sl
SSlll
Sl
ii
uuiRiRRRiR
ii
无伴理想电流源 is5
§3-5 回路电流法 (续 )
网孔法 <比较 > 回路法
* 网孔电流为变量
* 属回路法特例
* 只能解平面电路
* 理想电流源加‘ u’
* 支路电流最多两个网孔电流迭加
* 方程数多,但简单直观,不易出错
* 回路电流为变量
* 普遍性应用广泛
* 可解非平面电路
* 可避开加‘ u’
* 支路电流可两个以上回路电流迭加
* 方程数少但复杂,易出错,常借助树概念
§3-5 回路电流法 (续 )
练习,
§3-5 回路电流法 (续 )
练习,
§3-5 回路电流法 (续 )
练习,
§3-6 结点电压法定义,选 结点电压 作变量列解方程 (适于 结点较少的 电路 ).
结点电压,结点与任选 零 电位参考结点间的电压,
结点电压极性,参考结点为负,其余为正,
§3-6 结点电压法 (续 )
图示为 8条支路 4个结点,选结点 4为参考结点,其余 1,2,3结点电压极性指向结点 4,解法过程如下,
§3-6 结点电压法 (续 )
1,选零电位参考节点,设定 (n – 1) 个独立节点电压,
2.各支路电流均可用节点电压来表示,
§3-6 结点电压法 (续 )
3,据 KCL列 (n – 1)个独立节点电流方程
4,整理?和?得节点电压方程?
§3-6 结点电压法 (续 )
5,联解得 结点电压
6,利用式?可求得支路电流共可列出 (n－ 1)个节点电压方程,
节点电压自动满足 KVL,仅列写 KCL
方程就可以求解电路,
§3-6 结点电压法 (续 )
一般列解规律,
33333232131
22313222121
11313212111
s
s
s
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
6655233
22
6611111
0
ssss
s
ssss
uGuGii
i
uGuGii
结点 电流源 代数和,
(前述图例 )
§3-6 结点电压法 (续 )
G
G
G
65433
43222
62111
GGG
GGG
GGG
61331
43223
22112
GGG
GGG
GGG
自电导互电导分别为进出结点
1,2,3 的电流源的代数和 (包括独立和受控电流源,也包括由独立或受控的实际电压源变换出来的电流源 )
332211 SSS iii,、
§3-6 结点电压法 (续 )
注 1,电流源的符号流入节点的电流源移到方程右边取
‘ +’,(正端靠近节点的实际电压源 ),
流出节点的电流源移到方程右边取
‘ – ’,(负端靠近节点的实际电压源 ).
注 2,与电流源串接的电阻或其它元件不参与列方程,
§3-6 结点电压法 (续 )
+i 6
u s 6R
6
u n1 u
n3-
+
-u
13
1 3
R
6
u
n3u n1
G
6
u
s6
1 3
注 3,理想电压源支路的处理
(有伴电压源：变换为电流源 )
规律,(某节点电压 )× (该节点的自电导 ) — (相邻节点电压 )× (互电导 ) =流进流出该节点的 电流源 的代数和,
§3-6 结点电压法 (续 )
【 例 3-5】 列出图示的节点电压方程
241)4121( n2n1 uu
3
17
1
1)
1
1
3
1
4
1(
4
1 n3n2n1 uuu
2)5111(11 3n2 uu
§3-6 结点电压法 (续 )
【 例 3-6】 用节点法求电压 Ux
111)2111( n2n1 uu
1?n2u
1)1111(11 n3n2 uu
§3-6 结点电压法 (续 )
【 例 3-7】 用节点法求图示电压 u23
sn2n1 iuu 2)23(
1n2u
sn3n2 iuu )64(4
6.313 nn uu
(图中 S为电导单位 )
§3-6 结点电压法 (续 )
【 例 3-8】 用节点法求图示的电压 u2
uiu xn1 21711
xn3n2 iu)u2
1+
2
1
1
1(
uuu n3n2 2)2121(21
如含受控电压源,列写时先当作独立电压源看待,最后补充控制量与节点电压关系的方程式,
§3-6 结点电压法 (续 )
需补充的方程,
n2u=u
2n2n1 iuu 3
05.1
05.1
75.05.0
n3n2n1
n3n2
n3n2n1
uuu
uu
uuu
n32 ui )21(
整理后得,
§3-6 结点电压法 (续 )
网孔法 <比较 > 结点法
* 解题基本思路,
选网孔电流,据 KVL,
VCR列写 b-n+1个方程,解得网孔电流,
进而求得 i,u,p等,
* 只适平面电路,
* 时机,网孔数小于独立结点数,
*解题基本思路,
选结点电位,据 KCL,
VCR列写 n-1个方程,
解得结点电位,
进而求得 i,u,p等,
* 平面,非平面均可,
* 时机,独立结点数小于独立网孔数,
小结 （ 第三章 电阻电路的一般分析 ）
基本要求,
*了解电路 KCL独立方程,KVL独立方程与电路节点数和支路数的关系,
*掌握支路电流法解题的步骤,
*掌握回路电流法,能正确处理电路中含电流源支路情况和含受控源情况,
*掌握掌握节点电压法,能正确处理电路中含电压源支路和含受控源情况,
