第八章 相量法内容提要,
复数
正弦量
相量法的基础
电路定律的相量形式
§8-1 复数复数 的表示形式模,22 baF +? )a r c t a n (
a
b,辐角,
指数型, jeFF
三角型,)s i n( co s?+ jFF
极坐标型, FF
实部,,虚部, cosFa s i nFb
代数型,jbaF +?
e
R
b
a0
F
m
I
§8-1 复数 (续 )
复数 的另一些概念取实部, aF?Re
取虚部, bF?Im
共轭复数,jbaF*
* FF或,
§8-1 复数 (续 )
复数 的四则运算
11111+? jeFjbaF
22222+? jeFjbaF
设,
(1) 加减 运算必须用 代数 型,
)()(
)()(
2121
221121
bbjaa
jbajbaFF
+
+?+
§8-1 复数 (续 )
图解法
F1
F2
Re
Im
o
F1+F2
-F2
F1
Re
Im
o
F1-F2
F1+F2
F2
§8-1 复数 (续 )
(2) 乘除 运算,用 极坐标 式若 F1=|F1|? 1,F2=|F2|? 2
则,
模相乘,
角相加模相除,
角相减
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
||
||
||
||
21
1
θθ
||F
||F
e
F
F
eF
eF
θF
θF
F
F θθ
θ
θ
2121
)(j
21
j
2
j
121
2121
+?
+
FF
eFFeFeFF
§8-1 复数 (续 )
或,乘除 运算用 指数 型
)(212121 2121?+ jjj eFFeFeFFF
je注,称旋转因子,
je
j
2 逆钟向 900,je j
2 顺钟向 900.
)( 21
2
1)(
2
1
2
1
2
1 21
2
1
F
F
e
F
F
eF
eF
F
F j
j
j
§8-1 复数 (续 )
旋转因子复数 ej?=cos? +jsin? =1∠?
F? ej?
旋转因子 F
Re
Im
0
F? ej?
+j,–j,-1 都可以看成旋转因子,
§8-2 正弦量
*瞬时值表达式
i(t)=Imcos(w t+y)
*正弦量为 周期函数
f(t)=f ( t+kT )
*周期 T,重复变化一次所需的时间,秒 (s)。
*频率 f,每秒重复变化的次数,赫 (Hz)
t
i
0
T
波形
Tf
1?
§8-2 正弦量
*正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 (正弦稳态 电路 )
* 周期正弦函数加、减、求导、积分运算后仍是 同频率 的正弦函数,
* 正弦信号是一种 基本信号,任何非正弦周期信号可分解为按正弦规律变化的分量,
)c o s()( k
n
1k
k?w +
tkAtf
§8-2 正弦量正弦量,(本书用 cosine函数描述 )
按正弦规律变化的电压或电流,
正弦量三要素,
)co s (
)co s (
im
im
tUu
tIi
w
w
+?
+?
(1) mm UI,正弦量振幅 (最大值 )
(2) w 正弦量角频率 ( )f?w 2?
(3) i? 正弦量初相位 ( 时 )0?t
§8-2 正弦量同一个正弦量,
计时起点不同,初相位不同一般规定,
|y |i
o wty
y =0
y =?/2
y =－?/2
§8-2 正弦量例 已知正弦电流波形如图,w＝ 10
3rad/s，
1.写出 i(t) 表达式； 2.求最大值发生的时间 t1
解 )10c o s(100)( 3 y+? tti
yc o s1 0 0500t
3πy 3πy
因最大值在计时起点右侧
)3π10c o s(1 0 0)( 3 tti
ms047.110 3π 31 ＝＝t
t
i
o
100
50
t1
有最大值当 3π10 13?t
§8-2 正弦量 (续 )
正弦量 的相位概念,
相位,)(),( iu tt?w?w ++
相位差,iuiu ttw?w+?+? )()(
w角频率 单位,弧度 /秒 ( )sr a d /
(即,同频 时,相位差等于其 初相 之差 )
正弦量周期 T与频率 f关系,
TffT 1,2,2w?w
§8-2 正弦量 (续 )
若,0 iu (电压 u超前电流 i角度 )?
电压超前电流
§8-2 正弦量 (续 )
若,(电压 u滞后电流 i角度 )0 iu
电流超前电压
§8-2 正弦量 (续 )
电压电流同相
0 iu
电压电流反相
iu
2
iu* 电压电流正交,
§8-2 正弦量 (续 )
正弦量 相位差 相比较的条件,
同 频率,同 函数,同 符号,且在主值范围
)2π π100co s (10)(
)4π3 π100co s (10)( )1(
2
1
+?
tti
tti
04/5)2/(4/3
4/324/5
解,
)45 π200co s (10)(
)30 π100co s (10)( )2(
0
2
0
1
+?
+?
ttu
ttu 两角频率不同,不能比较相位化为主值
§8-2 正弦量 (续 )
* 周期电流、电压 有效值 定义均方根值,
T ttiTI 0 2
d e f
d)(1 T ttuTU 0 2
d e f
d)(1
R直流 I R交流 i物理意义
(能量 ) ttiRW
T d)(2
0TRIW
2?
§8-2 正弦量 (续 )
* 正弦电流、电压的 有效值设,i(t)=Imcos(w t+? )
tΨtI
T
I T d ) (c o s1 0 22m? +? w
Tt
t
Ψt
tΨt
T
TT
2
1
2
1
d
2
) (2c o s1
d ) (c o s
0
00
2
++
+
w
w?
(工程上一般指 有效值 )
§8-2 正弦量 (续 )
m
m2
m 707.022
1 IITI
TI
II 2 m?得 最大值,
) c o s(2) c o s()( m ΨtIΨtIti +?+? ww
得正弦电压 有效值 与 最大值 的关系,
UUUU 2 21 mm 或
§8-3 相量法的基础
R L
C
+
-
uCiLu
+
-
电路的微分方程,
)(dddd
2
tuutuRCtuLC CCC?++
两个同频正弦量的相加,
) co s (2 222 yw +? tIi
) c o s(2 111 yw +? tIi
w t
u,i
i1
i2
o
i1+i2?i3
仍为同频的正弦量,
只需确定 初相位 和有效值,采用 复数,
§8-3 相量法的基础 (续 )
*正弦量的相量表示设复函数,) j(2)( ΨtIetF +? w
) si n (2j) c o s(2 ΨtIΨtI +++? ww
取实部,)() c o s(2)](R e [ tiΨtItF?+? w
正弦时间函数都与其 复数函数 唯一对应,
) j(2)( ) c o s (2 ΨtIetFΨtIi ++? ww
(无物理意义 )
(正弦量,有物理意义 )
§8-3 相量法的基础 (续 )
F(t) 还可以写成,
tt eIeIetF wwy jj 22)( j
(复常数 )含两要素,I,?(含三要素 )
(正弦量对应的 相量 )
) c o s (2)( ΨIIΨtIti+w
同理,正弦电压对应相量,
) c o s (2)( θUUθtUtu+w
相量的 模 表示 有效值,幅角 表示 初相位,
§8-3 相量法的基础 (续 )
例 1,已知
)V6014t3 1 1,1 c o s( 3
A)30314c o s(4.141
o
o
+?
u
ti
试用相量表示 i,u
解 V602 2 0 A,301 0 0 oo UI
例 2 5 0 H z A,1550 fI?已知试写出电流的瞬时值表达式解 A)153 1 4c o s (250?+? ti
§8-3 相量法的基础 (续 )
*相量图,复平面上用 向量 表示 相量 的图,
ΨIIΨtωIti+) c o s(2)(
θUUθtUtu+) c o s(2)( w+j
+1
+j?U
I
§8-3 相量法的基础 (续 )
*相量法的应用同频率正弦量的 加减,对应相量的加减
)2R e () c o s (2)(
)2R e () c o s (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUΨtUtu
eUΨtUtu
w
w
w
w
+?
+?
jj
1212
j j j
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) R e ( 2 ) R e ( 2 )
R e ( 2 2 ) R e ( 2 ( ) )
tt
t t t
u t u t u t U e U e
U e U e U U e
ww
w w w
+? +
+? +
相量关系为,21 UUU +?
§8-3 相量法的基础 (续 )
例
V )603 1 4co s (24)(
V )303 1 4co s (26)(
o
2
1
+?
+?
ttu
ttu?
V604
V 306
o
2
o
1
U
U
60430621?++? UUU
46.3j23j19.5 +++? 46.6j19.7 +?
V 9.4164.9 o
)()()( 21 tututu +
V )9.41314c o s (264.9 o+? t
cosFa
s inFb
化代数式
§8-3 相量法的基础 (续 )
正弦量的 微积分 运算,复数方程 运算
) c o s(2 ii IItIi yyw+
tt eIeItti j j j2Re 2Redddd ww w
tt e
IteIti j j
j
2Re d 2Red ww
w
2π jd
d +
iIIt
i yww?
2
π
jd i
IIti y
ww
微分运算积分运算
§8-3 相量法的基础 (续 )
例
R
i(t)
u(t) L
+
- C
) c o s(2)( itIti yw +?
d1dd)(?++? tiCtiLRitu
j
j
C
IILIRU
w
w
++?
用相量运算：
相量法的优点,
把 时域问题 变为 复数问题,微积分方程的运算变为复数方程运算,可把直流电路的分析方法直接用于交流电路,
§8-4 电路定律的相量形式
*电阻元件 VCR的相量形式
uR(t)
i(t)
R
+
-
R
+
-
I
RU?
时域形式,)co s (2)( iΨtIti +? w
)c o s(2)()( R iΨtRItRitu + w
相量形式,ii ΨRIUΨII R
相量关系,IRUR
UR=RI
u=?i
有效值关系相位关系(相量模型 )
UR?u
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
波形图及相量图
i
w to
uR
pRU
RI
u=?i
同相位
RU?
I?
瞬时功率,iup RR?
) (c o s22 2R iΨtωIU +?
)] (2c o s1[R iΨtωIU ++?
以 2w交变,始终大于零,即电阻始终吸收功率,
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
*电感元件 VCR的相量形式
-
i(t)
uL(t) L
+
时域形式,) c o s(2)( iψtIti +? w
) si n (2d )(d)( iL ΨtILt tiLtu + ww
)2 c o s( 2 π++? iΨtIL ww
相量形式：
2π + iLi ΨLIUΨII w
jw L
+
-
I?
LU?
(相量模型 )
相量关系,IXILU LL jj w
U=w L I
u=?i
+90
有效值关系相位关系
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
感抗和感纳
XL=wL=2?fL,称为感抗,单位为? (欧姆 )
BL=-1/wL =-1/2?fL,称为 感纳,单位为 S
感抗的性质,限制电流的能力,和频率成正比
w
XL
相量表达式,
,jj ILIXU L w
ULULUBI L ww j 11jj;
)(
开路短路直流
,,;,0,0
L
L
X
X
w
w
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
波形图及相量图
w t
i
o
uL pL
2?
i
电压超前电流 900
I?
LU?
功率,
) (2s i n
) s i n ()co s (
L
mLmLL
i
ii
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
+?
++
w
ww
以 2w正负交变,互相抵消,电感只储能不耗能,
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
*电容元件 VCR的相量形式
+
-
iC(t)
u(t) C
-
+
C
I?
ωCj
1
U?
时域形式：
(相量模型 )
)co s (2)( uΨtUtu +? w
) si n (2d )(d)(C uΨtCUt tuCti + ww
)2 c o s(2 π++? uΨtCU ww
相量形式：
2π + uCu ΨCUIΨUU w
相量关系,IXI
CU C
j1j
wI
C=w CU
i=?u+9
0
有效值关系相位关系
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
容抗与容纳
XC=-1/w C,称为容抗,单位为?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳,单位为 S
w
|XC| 容抗和频率成反比
w?0,|XC|直流开路 (隔直 )
w,|XC|?0 高频短路相量表达式,
1jj C ICIXU w
Cjj,.C,UUBI w
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
波形图及相量图
w t
iC
o
u
pC
2u
电流超前电压 900
CI?
U?
功率,
)(2s i n
)s i n ()co s (2
C
CC
u
uuC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUIuip
+?
++
瞬时功率以 2w正负 交变,周期内互相抵消,表明电容只储能不耗能,
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
*基尔霍夫定律的相量形式正弦电流电路中 KCL和 KVL可用相量形式表示
0)( ti
++? 0 2Re)( j21 teIIti w
0.I
0)( tu 0U?
流入结点的正弦电流,相量表示仍满足 KCL；
回路所有支路正弦电压,相量表示仍满足 KVL.
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
)(:),5c o s(2120)( titt u 求已知?
i
+
_
15?
u
4H
0.02F
j20?
-j10?+
_
15?I?
U?
1I? 2I? 3I?
解 001 2 0U?
20j54jj LX
Ω10j02.05 1jjCX
相量模型例 1
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
j20?
-j10?+
_
15?I?
U?
1I? 2I? 3I?
A9.3610681268
10
1
20
1
15
1
1 2 0
0+?+
+?
jjj
jj
A)9.365c o s (210)( 0+? tt i
CLR IIII ++?
CL jj X
U
X
U
R
U ++?
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
)(:),1510c o s (25)( 06 tutti S求已知 +?
i+
_
5?
uS
0.2?F
+
_
5?
-j5?U?
I?
相量模型解 0155I?
CU?
SU?
R,UI
Ω5j102.010 1jj 66CX
( )
V302254525155
5j5155
000
0
CRS
+? UUU
例 2
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
例 3?,V78,V50 BCACAB UUU 问：已知
j40?
jXL
30?
C
BA
I?
解 IIIU 50)40()30( 22AB?+?
V40,V30,A1 R LUUI
2BC2AC )40()30(78 UU ++
V3240)30()78( 22BCU
I?40j
BCU?
ACU?
ABU?
I?30
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
例 4 阻容移相装置,要求电容电压滞后于电源电压?/3,选择 R,C.
jXC
+
_
R +
-
U?
I?
CU?
RU?
I?
CU?
060
SU?
解 1 IXIRU CS j+?
C
S
CC
C j
j,j XR UXUXR UI S +?+?
1j
C
S +? CR
U
U w
360t a n 0CRw
解 2 画相量图计算
CRCI RIUU
C
R w
w /360t a n
0
§8-4 电路定律的相量形式 (end)
复数
正弦量
相量法的基础
电路定律的相量形式
§8-1 复数复数 的表示形式模,22 baF +? )a r c t a n (
a
b,辐角,
指数型, jeFF
三角型,)s i n( co s?+ jFF
极坐标型, FF
实部,,虚部, cosFa s i nFb
代数型,jbaF +?
e
R
b
a0
F
m
I
§8-1 复数 (续 )
复数 的另一些概念取实部, aF?Re
取虚部, bF?Im
共轭复数,jbaF*
* FF或,
§8-1 复数 (续 )
复数 的四则运算
11111+? jeFjbaF
22222+? jeFjbaF
设,
(1) 加减 运算必须用 代数 型,
)()(
)()(
2121
221121
bbjaa
jbajbaFF
+
+?+
§8-1 复数 (续 )
图解法
F1
F2
Re
Im
o
F1+F2
-F2
F1
Re
Im
o
F1-F2
F1+F2
F2
§8-1 复数 (续 )
(2) 乘除 运算,用 极坐标 式若 F1=|F1|? 1,F2=|F2|? 2
则,
模相乘,
角相加模相除,
角相减
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
||
||
||
||
21
1
θθ
||F
||F
e
F
F
eF
eF
θF
θF
F
F θθ
θ
θ
2121
)(j
21
j
2
j
121
2121
+?
+
FF
eFFeFeFF
§8-1 复数 (续 )
或,乘除 运算用 指数 型
)(212121 2121?+ jjj eFFeFeFFF
je注,称旋转因子,
je
j
2 逆钟向 900,je j
2 顺钟向 900.
)( 21
2
1)(
2
1
2
1
2
1 21
2
1
F
F
e
F
F
eF
eF
F
F j
j
j
§8-1 复数 (续 )
旋转因子复数 ej?=cos? +jsin? =1∠?
F? ej?
旋转因子 F
Re
Im
0
F? ej?
+j,–j,-1 都可以看成旋转因子,
§8-2 正弦量
*瞬时值表达式
i(t)=Imcos(w t+y)
*正弦量为 周期函数
f(t)=f ( t+kT )
*周期 T,重复变化一次所需的时间,秒 (s)。
*频率 f,每秒重复变化的次数,赫 (Hz)
t
i
0
T
波形
Tf
1?
§8-2 正弦量
*正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 (正弦稳态 电路 )
* 周期正弦函数加、减、求导、积分运算后仍是 同频率 的正弦函数,
* 正弦信号是一种 基本信号,任何非正弦周期信号可分解为按正弦规律变化的分量,
)c o s()( k
n
1k
k?w +
tkAtf
§8-2 正弦量正弦量,(本书用 cosine函数描述 )
按正弦规律变化的电压或电流,
正弦量三要素,
)co s (
)co s (
im
im
tUu
tIi
w
w
+?
+?
(1) mm UI,正弦量振幅 (最大值 )
(2) w 正弦量角频率 ( )f?w 2?
(3) i? 正弦量初相位 ( 时 )0?t
§8-2 正弦量同一个正弦量,
计时起点不同,初相位不同一般规定,
|y |i
o wty
y =0
y =?/2
y =－?/2
§8-2 正弦量例 已知正弦电流波形如图,w＝ 10
3rad/s，
1.写出 i(t) 表达式； 2.求最大值发生的时间 t1
解 )10c o s(100)( 3 y+? tti
yc o s1 0 0500t
3πy 3πy
因最大值在计时起点右侧
)3π10c o s(1 0 0)( 3 tti
ms047.110 3π 31 ＝＝t
t
i
o
100
50
t1
有最大值当 3π10 13?t
§8-2 正弦量 (续 )
正弦量 的相位概念,
相位,)(),( iu tt?w?w ++
相位差,iuiu ttw?w+?+? )()(
w角频率 单位,弧度 /秒 ( )sr a d /
(即,同频 时,相位差等于其 初相 之差 )
正弦量周期 T与频率 f关系,
TffT 1,2,2w?w
§8-2 正弦量 (续 )
若,0 iu (电压 u超前电流 i角度 )?
电压超前电流
§8-2 正弦量 (续 )
若,(电压 u滞后电流 i角度 )0 iu
电流超前电压
§8-2 正弦量 (续 )
电压电流同相
0 iu
电压电流反相
iu
2
iu* 电压电流正交,
§8-2 正弦量 (续 )
正弦量 相位差 相比较的条件,
同 频率,同 函数,同 符号,且在主值范围
)2π π100co s (10)(
)4π3 π100co s (10)( )1(
2
1
+?
tti
tti
04/5)2/(4/3
4/324/5
解,
)45 π200co s (10)(
)30 π100co s (10)( )2(
0
2
0
1
+?
+?
ttu
ttu 两角频率不同,不能比较相位化为主值
§8-2 正弦量 (续 )
* 周期电流、电压 有效值 定义均方根值,
T ttiTI 0 2
d e f
d)(1 T ttuTU 0 2
d e f
d)(1
R直流 I R交流 i物理意义
(能量 ) ttiRW
T d)(2
0TRIW
2?
§8-2 正弦量 (续 )
* 正弦电流、电压的 有效值设,i(t)=Imcos(w t+? )
tΨtI
T
I T d ) (c o s1 0 22m? +? w
Tt
t
Ψt
tΨt
T
TT
2
1
2
1
d
2
) (2c o s1
d ) (c o s
0
00
2
++
+
w
w?
(工程上一般指 有效值 )
§8-2 正弦量 (续 )
m
m2
m 707.022
1 IITI
TI
II 2 m?得 最大值,
) c o s(2) c o s()( m ΨtIΨtIti +?+? ww
得正弦电压 有效值 与 最大值 的关系,
UUUU 2 21 mm 或
§8-3 相量法的基础
R L
C
+
-
uCiLu
+
-
电路的微分方程,
)(dddd
2
tuutuRCtuLC CCC?++
两个同频正弦量的相加,
) co s (2 222 yw +? tIi
) c o s(2 111 yw +? tIi
w t
u,i
i1
i2
o
i1+i2?i3
仍为同频的正弦量,
只需确定 初相位 和有效值,采用 复数,
§8-3 相量法的基础 (续 )
*正弦量的相量表示设复函数,) j(2)( ΨtIetF +? w
) si n (2j) c o s(2 ΨtIΨtI +++? ww
取实部,)() c o s(2)](R e [ tiΨtItF?+? w
正弦时间函数都与其 复数函数 唯一对应,
) j(2)( ) c o s (2 ΨtIetFΨtIi ++? ww
(无物理意义 )
(正弦量,有物理意义 )
§8-3 相量法的基础 (续 )
F(t) 还可以写成,
tt eIeIetF wwy jj 22)( j
(复常数 )含两要素,I,?(含三要素 )
(正弦量对应的 相量 )
) c o s (2)( ΨIIΨtIti+w
同理,正弦电压对应相量,
) c o s (2)( θUUθtUtu+w
相量的 模 表示 有效值,幅角 表示 初相位,
§8-3 相量法的基础 (续 )
例 1,已知
)V6014t3 1 1,1 c o s( 3
A)30314c o s(4.141
o
o
+?
u
ti
试用相量表示 i,u
解 V602 2 0 A,301 0 0 oo UI
例 2 5 0 H z A,1550 fI?已知试写出电流的瞬时值表达式解 A)153 1 4c o s (250?+? ti
§8-3 相量法的基础 (续 )
*相量图,复平面上用 向量 表示 相量 的图,
ΨIIΨtωIti+) c o s(2)(
θUUθtUtu+) c o s(2)( w+j
+1
+j?U
I
§8-3 相量法的基础 (续 )
*相量法的应用同频率正弦量的 加减,对应相量的加减
)2R e () c o s (2)(
)2R e () c o s (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUΨtUtu
eUΨtUtu
w
w
w
w
+?
+?
jj
1212
j j j
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) R e ( 2 ) R e ( 2 )
R e ( 2 2 ) R e ( 2 ( ) )
tt
t t t
u t u t u t U e U e
U e U e U U e
ww
w w w
+? +
+? +
相量关系为,21 UUU +?
§8-3 相量法的基础 (续 )
例
V )603 1 4co s (24)(
V )303 1 4co s (26)(
o
2
1
+?
+?
ttu
ttu?
V604
V 306
o
2
o
1
U
U
60430621?++? UUU
46.3j23j19.5 +++? 46.6j19.7 +?
V 9.4164.9 o
)()()( 21 tututu +
V )9.41314c o s (264.9 o+? t
cosFa
s inFb
化代数式
§8-3 相量法的基础 (续 )
正弦量的 微积分 运算,复数方程 运算
) c o s(2 ii IItIi yyw+
tt eIeItti j j j2Re 2Redddd ww w
tt e
IteIti j j
j
2Re d 2Red ww
w
2π jd
d +
iIIt
i yww?
2
π
jd i
IIti y
ww
微分运算积分运算
§8-3 相量法的基础 (续 )
例
R
i(t)
u(t) L
+
- C
) c o s(2)( itIti yw +?
d1dd)(?++? tiCtiLRitu
j
j
C
IILIRU
w
w
++?
用相量运算：
相量法的优点,
把 时域问题 变为 复数问题,微积分方程的运算变为复数方程运算,可把直流电路的分析方法直接用于交流电路,
§8-4 电路定律的相量形式
*电阻元件 VCR的相量形式
uR(t)
i(t)
R
+
-
R
+
-
I
RU?
时域形式,)co s (2)( iΨtIti +? w
)c o s(2)()( R iΨtRItRitu + w
相量形式,ii ΨRIUΨII R
相量关系,IRUR
UR=RI
u=?i
有效值关系相位关系(相量模型 )
UR?u
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
波形图及相量图
i
w to
uR
pRU
RI
u=?i
同相位
RU?
I?
瞬时功率,iup RR?
) (c o s22 2R iΨtωIU +?
)] (2c o s1[R iΨtωIU ++?
以 2w交变,始终大于零,即电阻始终吸收功率,
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
*电感元件 VCR的相量形式
-
i(t)
uL(t) L
+
时域形式,) c o s(2)( iψtIti +? w
) si n (2d )(d)( iL ΨtILt tiLtu + ww
)2 c o s( 2 π++? iΨtIL ww
相量形式：
2π + iLi ΨLIUΨII w
jw L
+
-
I?
LU?
(相量模型 )
相量关系,IXILU LL jj w
U=w L I
u=?i
+90
有效值关系相位关系
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
感抗和感纳
XL=wL=2?fL,称为感抗,单位为? (欧姆 )
BL=-1/wL =-1/2?fL,称为 感纳,单位为 S
感抗的性质,限制电流的能力,和频率成正比
w
XL
相量表达式,
,jj ILIXU L w
ULULUBI L ww j 11jj;
)(
开路短路直流
,,;,0,0
L
L
X
X
w
w
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
波形图及相量图
w t
i
o
uL pL
2?
i
电压超前电流 900
I?
LU?
功率,
) (2s i n
) s i n ()co s (
L
mLmLL
i
ii
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
+?
++
w
ww
以 2w正负交变,互相抵消,电感只储能不耗能,
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
*电容元件 VCR的相量形式
+
-
iC(t)
u(t) C
-
+
C
I?
ωCj
1
U?
时域形式：
(相量模型 )
)co s (2)( uΨtUtu +? w
) si n (2d )(d)(C uΨtCUt tuCti + ww
)2 c o s(2 π++? uΨtCU ww
相量形式：
2π + uCu ΨCUIΨUU w
相量关系,IXI
CU C
j1j
wI
C=w CU
i=?u+9
0
有效值关系相位关系
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
容抗与容纳
XC=-1/w C,称为容抗,单位为?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳,单位为 S
w
|XC| 容抗和频率成反比
w?0,|XC|直流开路 (隔直 )
w,|XC|?0 高频短路相量表达式,
1jj C ICIXU w
Cjj,.C,UUBI w
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
波形图及相量图
w t
iC
o
u
pC
2u
电流超前电压 900
CI?
U?
功率,
)(2s i n
)s i n ()co s (2
C
CC
u
uuC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUIuip
+?
++
瞬时功率以 2w正负 交变,周期内互相抵消,表明电容只储能不耗能,
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
*基尔霍夫定律的相量形式正弦电流电路中 KCL和 KVL可用相量形式表示
0)( ti
++? 0 2Re)( j21 teIIti w
0.I
0)( tu 0U?
流入结点的正弦电流,相量表示仍满足 KCL；
回路所有支路正弦电压,相量表示仍满足 KVL.
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
)(:),5c o s(2120)( titt u 求已知?
i
+
_
15?
u
4H
0.02F
j20?
-j10?+
_
15?I?
U?
1I? 2I? 3I?
解 001 2 0U?
20j54jj LX
Ω10j02.05 1jjCX
相量模型例 1
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
j20?
-j10?+
_
15?I?
U?
1I? 2I? 3I?
A9.3610681268
10
1
20
1
15
1
1 2 0
0+?+
+?
jjj
jj
A)9.365c o s (210)( 0+? tt i
CLR IIII ++?
CL jj X
U
X
U
R
U ++?
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
)(:),1510c o s (25)( 06 tutti S求已知 +?
i+
_
5?
uS
0.2?F
+
_
5?
-j5?U?
I?
相量模型解 0155I?
CU?
SU?
R,UI
Ω5j102.010 1jj 66CX
( )
V302254525155
5j5155
000
0
CRS
+? UUU
例 2
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
例 3?,V78,V50 BCACAB UUU 问：已知
j40?
jXL
30?
C
BA
I?
解 IIIU 50)40()30( 22AB?+?
V40,V30,A1 R LUUI
2BC2AC )40()30(78 UU ++
V3240)30()78( 22BCU
I?40j
BCU?
ACU?
ABU?
I?30
§8-4 电路定律的相量形式 (续 )
例 4 阻容移相装置,要求电容电压滞后于电源电压?/3,选择 R,C.
jXC
+
_
R +
-
U?
I?
CU?
RU?
I?
CU?
060
SU?
解 1 IXIRU CS j+?
C
S
CC
C j
j,j XR UXUXR UI S +?+?
1j
C
S +? CR
U
U w
360t a n 0CRw
解 2 画相量图计算
CRCI RIUU
C
R w
w /360t a n
0
§8-4 电路定律的相量形式 (end)
