第十章 含有耦合电感的 电路内容提要,
互感
含有耦合电感电路的计算
耦合电感的功率
变压器原理
理想变压器
§10-1 互感耦合电感元件属于 多端元件,
在实际电路中,如收音机,电视机中的中周线圈,振荡线圈,整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件,熟悉这类多端元件的特性,
掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的,
§10-1 互感 (续 )
变压器
§10-1 互感 (续 )
有载调压变压器
§10-1 互感 (续 )
调压器整流器牵引电磁铁电流互感器
§10-1 互感 (续 )
1,互感线圈 1中通入电流 i1时,在线圈 1中产生磁通,
同时,有部分磁通穿过临近线圈 2,这部分磁通称为互感磁通,两线圈间有磁的耦合,
21
+ –u11 + –u21
i1
11
N1 N2
定义?,磁链,? =N?
§10-1 互感 (续 )
空心线圈,?与 i 成正比,当只有一个线圈时,
当两个线圈都有电流时,每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和,
* M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关,与电流无关,满足 M12=M21.
* L 总为正值,M 值有正有负。
注意
.H)( 111111 单位亨为自感系数,LiL
1212221222 iMiL
2121112111 iMiL
.H)( 2112 单位亨为互感系数、称,MM
§10-1 互感 (续 )
2,耦合系数用耦合系数 k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度,
1
21
d e f
LL
Mk
k=1 称全耦合,漏磁 F s1 =Fs2=0
11=?21,?22 =?12满足：
耦合系数 k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关,
注意
1))((
2211
2112
2211
21
21
2
21
iLiL
MiMi
LL
M
LL
Mk
§10-1 互感 (续 )
互感现象利用 —变压器,
信号、功率传递避免 —干扰克服,合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用,
电抗器
§10-1 互感 (续 )
电抗器磁场 铁磁材料屏蔽磁场
§10-1 互感 (续 )
自感电压互感电压
3,耦合电感上的电压、电流关系
t
iM
t
Ψu
d
d
d
d 121
21
dddd 111111 tiLtΨu
当 i1为时变电流时,磁通也将随时间变化,
从而在线圈两端产生感应电压,
当 i1,u11,u21方向与?符合右手螺旋时,
根据电磁感应定律和楞次定律,
当两个线圈同时通以电流时,每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压,
§10-1 互感 (续 )
在正弦交流电路中,其相量形式的方程为,
t
i
L
t
i
Muuu
t
i
M
t
i
Luuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
22212
21
112111
2121112111 iMiL
1212221222 iMiL
2212
2111
jj
jj
ILIMU
IMILU
§10-1 互感 (续 )
两线圈的自磁链和互磁链相助,
互感电压取正,否则取负,表明互感电压的正、负,
(1)与电流的参考方向有关 ;
(2)与线圈的相对位置和绕向有关,
注意
§10-1 互感 (续 )
4,互感线圈的同名端上式说明,对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的,只要参考方向确定了,其数学描述便可容易地写出,可不用考虑线圈绕向,
i1
u11
对自感电压,当 u,i 取关联参考方向,
u,i与? 符合右螺旋定则,其表达式为,
dddd dd 111111111 tiLtΦNtΨu
§10-1 互感 (续 )
对互感电压,因产生该电压的电流在另一线圈上,要确定其符号就必须知道两个线圈的绕向,这很不便于电路分析,
为解决这个问题便引入同名端的概念,
同名端当两个电流分别从两个线圈的对应端子 同时流入或流出,若所产生的 磁通相互加强,则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端,
§10-1 互感 (续 )
线圈的同名端必须 两两确定,注意,
* *i1 i2 i3△ △
+ –u11 + –u21
11
0
N1 N2
+ –u31
N3
s
t
iMu
t
iMu
d
d
d
d 1
3131
1
2121
§10-1 互感 (续 )
确定同名端的方法,
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时,两个电流产生的磁场相互增强,
i
1
1'
2
2'
* *
例 1
1'
2
2' 3'
3*
*?
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时,将会引起另一线圈相应同名端的电位升高,
§10-1 互感 (续 )
同名端的实验测定,
电压表正偏,
如图电路,当闭合开关 S 时,i 增加,
两组线圈装在黑盒里,只引出四个端线,就可以利用上面的结论来判断,确定其同名端,
+
–
V
i1
1'
2
2'
* *
R S
+
-
i
0 dd,0 dd '22 tiMuti
§10-1 互感 (续 )
由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程,
有了同名端,两个线圈相互作用不需考虑实际绕向,只需画出同名端及 u,i参考方向,
i1
* *
u21+ –
M
i1
* *
u21– +
M
t
iMu
d
d 1
21?
t
iMu
d
d 1
21
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
212
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
212
§10-1 互感 (续 )
例 写出电压
、
电流关系式
i1
**
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M i1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
i1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M i1
*
*
L1 L2
+
_u1 +
_
u2
i2M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 +
+
(a) (b)
(c) (d)
§10-1 互感 (续 )
例
210
10
i1/A
t/s解
M
R1 R2i1 **
L1 L2
+
_u
+
_u2
)(),(,1,2,5,10,2211 tutuHMHLHLR 求已知
t
t
t
t
iMtu
2 0
s21V 10
s10V 10
d
d)( 1
2
t
tt
tt
i
2 0
s21 1020
s10 10
1
t
tt
tt
t
i
LiRtu
2 0
s21V 150 100
s10 V 50 100
d
d
)( 111
§10-2 含有耦合电感电路的计算
1,耦合电感的串联
(1) 顺接串联去耦等效电路
R2i
M
* * u2+ –
R1 L1 L2
u1 +–
u+ –
i R
L
u
+
–
iRtiMtiLtiMtiLiRu 2211 dddddddd
tiMLLiRR dd)2()( 2121
MLLLRRR 2 2121
t
iLRi
d
d
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
(2) 反接串联
R2
i
M
* * u2+ –
R1 L1 L2
u1 +–
u+ –
i R
L
u
+
–
注意
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
02 21 MLLL )(21 21 LLM
MLLLRRR 2 2121
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
顺接一次,反接一次,就可以测出互感,
全耦合时 当 L1=L2 时,M=L
4M 顺接
0 反接
L=
互感的测量方法：
21 LLM?
2
21
2121
21
)(
2
2
LL
LLLL
MLLL
4
反顺 LLM
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
在正弦激励下,
* *
j? L1 j? L2
j? M
I? + –
R1
+–
+ – U?1
U?
2
U?
R2
)2(j)( 2121 IMLLωIRRU
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
相量图,
(a) 顺接 (b) 反接
* *?
j? L1 j? L2
j? M
+ –
R1
+–
+ –
R2
1
U?
2
U?
U?
I?
j IM?
U
2?U? 2j IL?
2IR
j IM?
1j IL?
1?U
1IR? I
1j IL?
1IR
1?U
j IM?
U
2?U
2IR
I
2j IL?
j IM?
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
同名端的实验测定,思考题,
两互感线圈装在黑盒子里,只引出四个端子,现在手头有一台交流信号源及一只万用表,试用试验的方法判别两互感线圈的同名端,
黑盒子
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
(1)同侧并联
i = i1 +i2
解得 u,i 的关系,
2,耦合电感的并联
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– tiMtiLu dddd 211
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
如全耦合,L1L2=M2
当 L1?L2,Leq=0 (短路 )
当 L1=L2 =L,Leq=L
(相当于导线加粗,电感不变 )
等效电感,
去耦等效电路
Lequ
i
+
–
0 2 )(
21
2
21?
MLL
MLLL
eq
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
(2) 异侧并联
i = i1 +i2
解得 u,i 的关系,
等效电感,
*
*
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
0 2 )(
21
2
21?
MLL
MLLL
eq
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
3,耦合电感的 T型等效
(1)同名端为共端的 T型去耦等效
**j?L
1
1 2
3
j?L2
j? M1 I? 2 I?
I?
3
1 2
j?(L1-M) j?(L2-M)
j?MI?
1
I?
2
I?
21113
jj IMILU
j)(j
22 IMIMLω?
21
III
12223
jj IMILU
j)(j
11 IMIMLω?
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
(2)异名端为共端的 T型去耦等效
*
*j?L
1
1 2
3
j?L2
j? M1 I? 2 I?
I?
1 2
j?(L1+M) j?(L2+M)
-j?M
3
I?
1
I? 2
I?
21113
jj IMILU j)(j
11 IMIMLω?
12223
jj IMILU j)(j
22 IMIMLω?
21
III
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
(L1－ M)
M
(L2－ M)
i2i1
u
i
+
–
(L1－ M)
M
(L2－ M)
1i 2i
* *
M i2i1
L1 L2u1
+
–
u2
+
–
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
4,受控源等效电路
* *
M i2i1
L1 L2u1
+
–
u2
+
–
j? L1 j? L2
+
– –
+
+
–
+
–
1
I?
2
I?
1U?
2j IM 1
j IM
2U?
2111
jj
IMILU
1222
jj
IMILU
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
例
abL 求等效电感解
M=3H
6H
2H
0.5H
4H
a
b
Lab=5H
9H7H
-3H
2H
0.5H
a
b
M=4H
6H
2H 3H
5Ha
b
M=1H
Lab=6H
4H3H
2H1Ha
b
3H
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
5,有互感电路的计算
(1) 在正弦稳态情况下,有互感的电路的计算仍应用前面介绍的相量分析方法,
(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外,还应包含互感电压,
(3) 一般采用支路法和回路法计算,
例 1 列写电路的回路电流方程,
M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
解
21
3 M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
13132222 )(jj)j( IkIIMILILR
SUIIMILILR )(jj)j( 3231111
0)(j)(j
jj)
1
jjj(
2313
2211321
IIMIIM
ILILI
C
LL
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
例 2 求图示电路的开路电压,
解 1
M12
+
_
+
_
*
*
M23M31
L1 L2
L3
R11I?
SU? ocU?
)2( 313111
MLLjR
UI S
)2(j
)(j
jjjj
31311
3123123
131`311231120
MLLR
UMMML
ILIMIMIMU
S
c
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
作出去耦等效电路,(一对一对消 ):解 2
M12
*
*
M23M31
L1 L2
L3 *
*
M23M31
L1–M12 L2–M12
L3+M12
M31
L1–M12 +M23 L2–M12 –M23
L3+M12 –M23
L1–M12
+M23 –M13
L2–M12
–M23 +M13
L3+M12
–M23 –M13
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13 +
_
+
_
R1 1I?
ocU?
SU?
)2(j 313111
MLLR
UI S
)2(j
)(
31311
3123123
o MLLR
UMMMLjU S
c
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
例 3 要使 i=0,问电源的角频率为多少？
解
Z
R
C－
L
1
L
2
M
i
uS+
CM
1?当
MC
1
0?I?
L1 L2
C
R
+
–
M
Z
* *
SU?
I?
L1－ M L2－ M
M
C
R
+
–
ZSU?
I?
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
图示互感电路已处于稳态,t = 0 时开关打开,求 t >0+时开路电压 u2(t).例 4
解 副边开路,对原边回路无影响,开路电压 u2(t)
只有互感电压,先应用三要素法求电流 i(t).
* *0.2H 0.4H
M=0.1H
+
–
10?
40V u2
+
－
10?
5?
10? i
A1211510//10 40)0()0( ii
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
* *0.2H 0.4
H
M=0.1H10?
u2
+
－
10?
s01.020 2.00?t
t 0)(i
A)]()0([)()( 1 0 0 t
t
eeiiiti?
V10)(dd1.0dd)( 1001002 tt eettiMtu
§10-3 耦合电感的功率当耦合电感中的施感电流变化时,将出现变化的磁场,从而产生电场 (互感电压 ),
耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输,电磁能从耦合电感一边传输到另一边,
S
U?
求图示电路的复功率
* *
j? L1 j? L2
j? M
+
–
R1 R21 I? 2?I
S
U?
例
§10-3 耦合电感的功率 (续 )
0)j(j 2221 ILωRIM?
* *
j? L1 j? L2
j? M
+
–
R1 R21 I?
2
I
S
U?
S2111
j) j( UIMILωR?
0)j(j 2221 ILωRIM?
*.1,22111*.1.1 )( IIMjILjRIUS S
2122*.2.12 )(0 ILjRIIMjS
§10-3 耦合电感的功率 (续 )
线圈 1中互感电压耦合的复功率线圈 2中互感电压耦合的复功率注意
(1)两个互感电压耦合的复功率为虚部同号,
而实部异号,这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的 ;
(2)耦合功率中的有功功率相互异号,表明有功功率从一个端口进入,必从另一端口输出,这是互感 M非耗能特性的体现,
*12j IIM
*21j IIM
§10-3 耦合电感的功率 (续 )
(3) 耦合功率中的无功功率同号,表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响,性质是相同的,
即,当 M起同向耦合作用时,它的储能特性与电感相同,将使耦合电感中的磁能增加 ;当 M起反向耦合作用时,它的储能特性与电容相同,将使耦合电感的储能减少,
§10-4 变压器原理变压器由两个具有互感的线圈构成,一个接向电源,另一个接向负载,是利用互感从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件,当其线圈的芯子为非铁磁材料时,称空心变压器,
1,变压器电路（工作在线性段）
原边回路副边回路
* *
j? L1 j? L2
j? M
+
–
R1 R2
Z=R+jX
1
I?
S
U?
2
I
§10-4 变压器原理 (续 )
2,分析方法
(1) 方程法分析令,Z11=R1+j? L1,Z22=(R2+R)+j(?L2+X)
回路方程,
S2111
j UIMIZ?
* *
j?L1 j?L2
j? M
+
–
R1 R2
Z=R
+jXS U?
1
I?
2
I?
0)j(j 2221 IZLωRIM?
S2111
j) j( UIMILωR?
S2111
j UIMIZ?
0j 2221 IZIM?
§10-4 变压器原理 (续 )
(2) 等效电路法分析原边等效电路 副边等效电路据以上表示式得等效电路,
+
–
Z111
I?
S
U?
22
2)(
Z
ωM
+
–
Z22oc U?
11
2)(
Z
M?
2
I?
)(
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
22
2
11
1
S
in
)(
Z
M
Z
I
U
Z
11
2
22
11
S
22
22
2
11
S
2
)(
1j
)
)(
(
j
Z
M
Z
Z
UM
Z
Z
M
Z
UM
I
§10-4 变压器原理 (续 )
副边对原边的引入阻抗,
引入电阻,恒为正,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的,
引入电抗,负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反,
原边等效电路注意
+
–
Z11
S
U?
1
I?
22
2)(
Z
ωM
ll
l
XR
XR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
M
Z
jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
lZ
lR
lX
11in,ZZ?当副边开路
§10-4 变压器原理 (续 )
引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响,原副边虽然没有电的联接,但互感的作用使副边产生电流,这电流又影响原边电流电压,
能量分析 电源发出有功 P= I12(R1+Rl)
I12R1 消耗在原边 ; I12Rl 消耗在付边证明
2221j IZIM 22222222212 )()( IXRIM
2
2
222
2
12
22
2
22
22
2)(
PIRI
XR
RM
§10-4 变压器原理 (续 )
原边对副边的引入阻抗,
利用戴维宁定理可以求得变压器副边的等效电路,
副边开路时,原边电流在副边产生的互感电压,副边等效电路注意
(3) 去耦等效法分析对含互感的电路进行去耦等效,再进行分析,
+
–
Z22oc U? 11
2)(
Z
M? 2
I?
1
11
S
oc j
j
IM
Z
UMU
11
2)(
Z
M?
§10-4 变压器原理 (续 )
已知 US=20 V,原边引入阻抗 Zl=10–j10?.
求,ZX 并求负载获得的有功功率,
负载获得功率,
实际是最佳匹配,
例 1
解
ZX* *j10? j10?
j2
+
–
10?
S
U?
2
I?
10+j10?
Zl
+
–
S
U?
10j1010j4
22
22
Xl ZZ MωZ Ω 8.9j2.0XZ
W101010 20 2 lR RPP ）（引
W104,
2
S11*
R
UPZZ
l
§10-4 变压器原理 (续 )
L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,
R2=0.08?,RL=42?,314rad/s,
应用原边等效电路例 2
解 1
V0115 osU?
.,,21 II求
* *j? L
1 j? L2
j? M
+
–
R1 R2
RL
1
I?
2
I?
SU?
+
–
Z11
S
U?
22
2)(
Z
ωM1
I?
Ω4.1 1 3 0j20
j 1111
ωLRZ
Ω 85.1808.42
j 2222
j
ωLRRZ L
81 8 8j4 2 21.2411.46 1 4 6
2
22
2
.ZXZ Ml?
§10-4 变压器原理 (续 )
+
–
Z11
S
U?
22
2)(
Z
ωM1
I?
A)9.64(111.0
8.188j4224.1130j20
0115
o
11
S
1
lZZ
U
I
A1351.0
1.2411.46
1.252.16
85.18j08.42
9.64111.0146jj
22
1
2
Z
IM
I
§10-4 变压器原理 (续 )
应用副边等效电路解 2 +
–
Z22oc U? 11
2)(
Z
M? 2
I?
V085.14
4.1130j20
0115
146j
j
jj
11
1OC
LR
U
MIMU S
A03 5 3.085.18j08.425.18j OC2 UI
85.18j4.1 1 3 0j20 1 4 6)(
2
11
2
Z
M?
§10-4 变压器原理 (续 )
例 3 全耦合电路如图,求初级端 ab的等效阻抗,
解 1
解 2 画出去耦等效电路
b
* *
L1
a M+
–
L2S U?
L1－ M L2－ M
+
–
M
a
b
SU?
222 j LZ
111 j LZ
2
2
22
2
j)( LMZMZ l
)1(j)1(j
jj
2
1
21
2
1
2
2
111
kL
LL
M
L
L
M
LZZZ lab
)1(
)1(
)
)(
2
1
21
2
1
2
2
21
2
2
1
kL
LL
M
L
L
MLL
L
MLM
MLL ab
§10-4 变压器原理 (续 )
例 4
L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10?,C1=C2=0.01?F
问,R2=？ 能吸收最大功率,求最大功率,
解 1
106rad/s,
j? L1 j? L2
j? M
R1 R2
* *+
–
S
U?
1/j? C21/j? C1
V 010 osU?
1 0 021 LL
20M?
2
2
2222 )
1 j( R
CLRZ
1 0 011
21 CC
10)1 j(
1
1111 CLRZ
§10-4 变压器原理 (续 )
应用原边等效电路当
R2=40? 时吸收最大功率
10?+
–
S
U?
2
400
R
1
I?
222
2 400)(
RZ
MZ
l
2
11
40010
RZZ l
W5.2)104(10 2ma xP
§10-4 变压器原理 (续 )
R2
+
–
oc
U?
40)(
11
2
ZM?
2
I?
解 2 应用副边等效电路当 时吸收最大功率
40104 0 0)(
11
2
Z
MZ
l
V20j10 1020jj
11
OC?
Z
UMU S
402RZ l
W5.2)404(20 2ma xP
§10-4 变压器原理 (续 )
解例 5
问 Z为何值时获得最大功率,求出最大功率,
(1)判定互感线圈的同名端
* *
＋
－
uS(t) Z
100?
C
L1 L2M
ttu
C
ML
S?
co s21 0 0)(
,20
1
,1 2 02
以知
j?L1
R
+
–
M
Z
* *j?L
2
1/j?CSU?
I?
§10-4 变压器原理 (续 )
(2) 作去耦等效电路
+
– Z
j100?
－ j20?
j20?
100?
j(?L-20)?
00100?
j?L1
R
+
–
M
Z
* *j?L
2
1/j?CSU?
I?
+
– Z
j100?
100?
j(?L-20)?
001 0 0?
§10-4 变压器原理 (续 )
j100?
100?
j(?L-20)?
Zeq＋
－
uoc+
–
j100?
100?
j(?L-20)?
00100?
V45250100j100 100100j100j100 100j 0 Soc UU
50j501 0 0j//1 0 0eqZ
50j50*eqZZ
W25504 )250(4
2
m a x
eq
oc
R
UP
§10-5 理想 变压器
1,理想变压器的三个理想化条件
(2) 全耦合
(1) 无损耗 线圈导线无电阻,做芯子的铁磁材料的磁导率无限大,
(3) 参数无限大理想变压器是实际变压器的理想化模型,是对互感元件的理想科学抽象,是极限情况下的耦合电感,
nNNLLMLL
2
1
2
1
,2,1,但
1 21 LLMk
§10-5 理想 变压器 (续 )
以上三个条件在工程实际中不可能满足,但在一些实际工程概算中,在误差允许的范围内,把实际变压器当理想变压器对待,可使计算过程简化,
注意
2.理想变压器的主要性能
i1
1'
2
2'
N1 N2(1) 变压关系
1?k 221121
dt
dN
dt
du
1
1
1 dt
dN
dtu
2
2
2
§10-5 理想 变压器 (续 )
若,理想变压器模型
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
注意
*
*
n:1
+
_u1
+
_u2
n
N
N
u
u
2
1
2
1
n
N
N
u
u
2
1
2
1
§10-5 理想 变压器 (续 )
(2) 变流关系考虑理想化条件,
0
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
)()(1)( 2
1
0 1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
i1 i2
理想变压器模型
1 21 LLMk
nLLL 21211 NN,
nL
L
L
M 1
1
2
1
)(1)(
21 tinti
§10-5 理想 变压器 (续 )
若 i1,i2一个从同名端流入,一个从同名端流出,则有,注意
(3) 变阻抗关系注意 理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大小,不改变阻抗的性质,
* *
n:1
+
_
+
_ Z
1
I?
2
I?
1
U?
2
U?
)(1)( 21 tinti?
ZnIUnInUnIU 2
2
22
2
2
1
1 )(
/1
n2Z
+
–1
U?
§10-5 理想 变压器 (续 )
b) 理想变压器的特性方程为代数关系,
因此它是无记忆的多端元件,
a) 理想变压器既不储能,也不耗能,在电路中只起传递信号和能量的作用,
(4) 功率性质
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
i1 i2
表明
21 1 ini
21 nuu?
0)(1 11112211 niuniuiuiup
§10-5 理想 变压器 (续 )
例 1 已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。为使 R
L获得最大功率,求理想变压器的变比 n.
当 n2RL=RS 时匹配,即 10n2=1000
n2=100,n=10,
RLuS
RS
* *
n:1
+
_
n2RL
+
–
uS
RS
解 应用变阻抗性质
§10-5 理想 变压器 (续 )
例 2
方法 1,列方程解得,
解
,2 U?求电压
+
–
1,10
50?
1?
* *+
_
1
I?
2
I?
V010 o? 2 U?
101 21 UU
o11 0101 UI
050 22 UI
21 10 II
V033.33 o2U?
§10-5 理想 变压器 (续 )
方法 2,阻抗变换方法 3,戴维宁等效
1
I?
+
–
1?
n2RL
+
–
V010 o? 1
U
Ω2150)101( 2L2Rn
V 0310212/11 010 o
o
1
U?
V033.33 101 o112 UUnU
+
–
1,101?
* *+
_
1
I?
2
I?
V010 o? oc U?
:ocU?求
0,0 12 II
V01 0 0 1010 oS1oc UUU
§10-5 理想 变压器 (续 )
求 Req,
Req=102?1=100?
戴维宁等效电路,
Req
1,101?
* *
+
–
100?
50?
+
–
V01 0 0 o? 2 U?
5050100 0100
o
2
U?
V033.33 o
§10-5 理想 变压器 (续 )
例 3 已知图示电路的等效阻抗 Zab=0.25?,求理想变压器的变比 n.
解 应用阻抗变换外加电源得,
n=0.5
n=0.25 130
105.125.0 2
ab?
n
n
I
UZ
130
10
2 n
InU
21 UnU
10)3( 221 nUIU
)105.1()3( 22 nUIU
1.5?
－
++
–U
3 2U? 1U? 2 10n
I?
Zab
n,1
1.5?
10?
－
+* *
2U?
3 2U?
§10-5 理想 变压器 (续 )
例 5 求电阻 R 吸收的功率 解 应用回路法解得,
1 2
3* * +
–
+
–1
U?
1,10+
–
1?
1? R=1?
1?
SU? 2 U?
2
I?
1
I?
11
UUI
S
2322 UII
SUII 32 2
21 UnU
21
1 I
nI
32 III
2RIP?
nn
nnUI S
23
)121(
3?
nn
nUI S
12/3
)2/1(
2?
(end)
互感
含有耦合电感电路的计算
耦合电感的功率
变压器原理
理想变压器
§10-1 互感耦合电感元件属于 多端元件,
在实际电路中,如收音机,电视机中的中周线圈,振荡线圈,整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件,熟悉这类多端元件的特性,
掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的,
§10-1 互感 (续 )
变压器
§10-1 互感 (续 )
有载调压变压器
§10-1 互感 (续 )
调压器整流器牵引电磁铁电流互感器
§10-1 互感 (续 )
1,互感线圈 1中通入电流 i1时,在线圈 1中产生磁通,
同时,有部分磁通穿过临近线圈 2,这部分磁通称为互感磁通,两线圈间有磁的耦合,
21
+ –u11 + –u21
i1
11
N1 N2
定义?,磁链,? =N?
§10-1 互感 (续 )
空心线圈,?与 i 成正比,当只有一个线圈时,
当两个线圈都有电流时,每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和,
* M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关,与电流无关,满足 M12=M21.
* L 总为正值,M 值有正有负。
注意
.H)( 111111 单位亨为自感系数,LiL
1212221222 iMiL
2121112111 iMiL
.H)( 2112 单位亨为互感系数、称,MM
§10-1 互感 (续 )
2,耦合系数用耦合系数 k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度,
1
21
d e f
LL
Mk
k=1 称全耦合,漏磁 F s1 =Fs2=0
11=?21,?22 =?12满足：
耦合系数 k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关,
注意
1))((
2211
2112
2211
21
21
2
21
iLiL
MiMi
LL
M
LL
Mk
§10-1 互感 (续 )
互感现象利用 —变压器,
信号、功率传递避免 —干扰克服,合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用,
电抗器
§10-1 互感 (续 )
电抗器磁场 铁磁材料屏蔽磁场
§10-1 互感 (续 )
自感电压互感电压
3,耦合电感上的电压、电流关系
t
iM
t
Ψu
d
d
d
d 121
21
dddd 111111 tiLtΨu
当 i1为时变电流时,磁通也将随时间变化,
从而在线圈两端产生感应电压,
当 i1,u11,u21方向与?符合右手螺旋时,
根据电磁感应定律和楞次定律,
当两个线圈同时通以电流时,每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压,
§10-1 互感 (续 )
在正弦交流电路中,其相量形式的方程为,
t
i
L
t
i
Muuu
t
i
M
t
i
Luuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
22212
21
112111
2121112111 iMiL
1212221222 iMiL
2212
2111
jj
jj
ILIMU
IMILU
§10-1 互感 (续 )
两线圈的自磁链和互磁链相助,
互感电压取正,否则取负,表明互感电压的正、负,
(1)与电流的参考方向有关 ;
(2)与线圈的相对位置和绕向有关,
注意
§10-1 互感 (续 )
4,互感线圈的同名端上式说明,对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的,只要参考方向确定了,其数学描述便可容易地写出,可不用考虑线圈绕向,
i1
u11
对自感电压,当 u,i 取关联参考方向,
u,i与? 符合右螺旋定则,其表达式为,
dddd dd 111111111 tiLtΦNtΨu
§10-1 互感 (续 )
对互感电压,因产生该电压的电流在另一线圈上,要确定其符号就必须知道两个线圈的绕向,这很不便于电路分析,
为解决这个问题便引入同名端的概念,
同名端当两个电流分别从两个线圈的对应端子 同时流入或流出,若所产生的 磁通相互加强,则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端,
§10-1 互感 (续 )
线圈的同名端必须 两两确定,注意,
* *i1 i2 i3△ △
+ –u11 + –u21
11
0
N1 N2
+ –u31
N3
s
t
iMu
t
iMu
d
d
d
d 1
3131
1
2121
§10-1 互感 (续 )
确定同名端的方法,
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时,两个电流产生的磁场相互增强,
i
1
1'
2
2'
* *
例 1
1'
2
2' 3'
3*
*?
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时,将会引起另一线圈相应同名端的电位升高,
§10-1 互感 (续 )
同名端的实验测定,
电压表正偏,
如图电路,当闭合开关 S 时,i 增加,
两组线圈装在黑盒里,只引出四个端线,就可以利用上面的结论来判断,确定其同名端,
+
–
V
i1
1'
2
2'
* *
R S
+
-
i
0 dd,0 dd '22 tiMuti
§10-1 互感 (续 )
由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程,
有了同名端,两个线圈相互作用不需考虑实际绕向,只需画出同名端及 u,i参考方向,
i1
* *
u21+ –
M
i1
* *
u21– +
M
t
iMu
d
d 1
21?
t
iMu
d
d 1
21
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
212
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
212
§10-1 互感 (续 )
例 写出电压
、
电流关系式
i1
**
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M i1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
i1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M i1
*
*
L1 L2
+
_u1 +
_
u2
i2M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 +
+
(a) (b)
(c) (d)
§10-1 互感 (续 )
例
210
10
i1/A
t/s解
M
R1 R2i1 **
L1 L2
+
_u
+
_u2
)(),(,1,2,5,10,2211 tutuHMHLHLR 求已知
t
t
t
t
iMtu
2 0
s21V 10
s10V 10
d
d)( 1
2
t
tt
tt
i
2 0
s21 1020
s10 10
1
t
tt
tt
t
i
LiRtu
2 0
s21V 150 100
s10 V 50 100
d
d
)( 111
§10-2 含有耦合电感电路的计算
1,耦合电感的串联
(1) 顺接串联去耦等效电路
R2i
M
* * u2+ –
R1 L1 L2
u1 +–
u+ –
i R
L
u
+
–
iRtiMtiLtiMtiLiRu 2211 dddddddd
tiMLLiRR dd)2()( 2121
MLLLRRR 2 2121
t
iLRi
d
d
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
(2) 反接串联
R2
i
M
* * u2+ –
R1 L1 L2
u1 +–
u+ –
i R
L
u
+
–
注意
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
02 21 MLLL )(21 21 LLM
MLLLRRR 2 2121
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
顺接一次,反接一次,就可以测出互感,
全耦合时 当 L1=L2 时,M=L
4M 顺接
0 反接
L=
互感的测量方法：
21 LLM?
2
21
2121
21
)(
2
2
LL
LLLL
MLLL
4
反顺 LLM
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
在正弦激励下,
* *
j? L1 j? L2
j? M
I? + –
R1
+–
+ – U?1
U?
2
U?
R2
)2(j)( 2121 IMLLωIRRU
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
相量图,
(a) 顺接 (b) 反接
* *?
j? L1 j? L2
j? M
+ –
R1
+–
+ –
R2
1
U?
2
U?
U?
I?
j IM?
U
2?U? 2j IL?
2IR
j IM?
1j IL?
1?U
1IR? I
1j IL?
1IR
1?U
j IM?
U
2?U
2IR
I
2j IL?
j IM?
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
同名端的实验测定,思考题,
两互感线圈装在黑盒子里,只引出四个端子,现在手头有一台交流信号源及一只万用表,试用试验的方法判别两互感线圈的同名端,
黑盒子
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
(1)同侧并联
i = i1 +i2
解得 u,i 的关系,
2,耦合电感的并联
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– tiMtiLu dddd 211
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
如全耦合,L1L2=M2
当 L1?L2,Leq=0 (短路 )
当 L1=L2 =L,Leq=L
(相当于导线加粗,电感不变 )
等效电感,
去耦等效电路
Lequ
i
+
–
0 2 )(
21
2
21?
MLL
MLLL
eq
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
(2) 异侧并联
i = i1 +i2
解得 u,i 的关系,
等效电感,
*
*
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
0 2 )(
21
2
21?
MLL
MLLL
eq
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
3,耦合电感的 T型等效
(1)同名端为共端的 T型去耦等效
**j?L
1
1 2
3
j?L2
j? M1 I? 2 I?
I?
3
1 2
j?(L1-M) j?(L2-M)
j?MI?
1
I?
2
I?
21113
jj IMILU
j)(j
22 IMIMLω?
21
III
12223
jj IMILU
j)(j
11 IMIMLω?
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
(2)异名端为共端的 T型去耦等效
*
*j?L
1
1 2
3
j?L2
j? M1 I? 2 I?
I?
1 2
j?(L1+M) j?(L2+M)
-j?M
3
I?
1
I? 2
I?
21113
jj IMILU j)(j
11 IMIMLω?
12223
jj IMILU j)(j
22 IMIMLω?
21
III
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
(L1－ M)
M
(L2－ M)
i2i1
u
i
+
–
(L1－ M)
M
(L2－ M)
1i 2i
* *
M i2i1
L1 L2u1
+
–
u2
+
–
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
4,受控源等效电路
* *
M i2i1
L1 L2u1
+
–
u2
+
–
j? L1 j? L2
+
– –
+
+
–
+
–
1
I?
2
I?
1U?
2j IM 1
j IM
2U?
2111
jj
IMILU
1222
jj
IMILU
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
例
abL 求等效电感解
M=3H
6H
2H
0.5H
4H
a
b
Lab=5H
9H7H
-3H
2H
0.5H
a
b
M=4H
6H
2H 3H
5Ha
b
M=1H
Lab=6H
4H3H
2H1Ha
b
3H
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
5,有互感电路的计算
(1) 在正弦稳态情况下,有互感的电路的计算仍应用前面介绍的相量分析方法,
(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外,还应包含互感电压,
(3) 一般采用支路法和回路法计算,
例 1 列写电路的回路电流方程,
M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
解
21
3 M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
13132222 )(jj)j( IkIIMILILR
SUIIMILILR )(jj)j( 3231111
0)(j)(j
jj)
1
jjj(
2313
2211321
IIMIIM
ILILI
C
LL
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
例 2 求图示电路的开路电压,
解 1
M12
+
_
+
_
*
*
M23M31
L1 L2
L3
R11I?
SU? ocU?
)2( 313111
MLLjR
UI S
)2(j
)(j
jjjj
31311
3123123
131`311231120
MLLR
UMMML
ILIMIMIMU
S
c
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
作出去耦等效电路,(一对一对消 ):解 2
M12
*
*
M23M31
L1 L2
L3 *
*
M23M31
L1–M12 L2–M12
L3+M12
M31
L1–M12 +M23 L2–M12 –M23
L3+M12 –M23
L1–M12
+M23 –M13
L2–M12
–M23 +M13
L3+M12
–M23 –M13
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13 +
_
+
_
R1 1I?
ocU?
SU?
)2(j 313111
MLLR
UI S
)2(j
)(
31311
3123123
o MLLR
UMMMLjU S
c
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
例 3 要使 i=0,问电源的角频率为多少？
解
Z
R
C－
L
1
L
2
M
i
uS+
CM
1?当
MC
1
0?I?
L1 L2
C
R
+
–
M
Z
* *
SU?
I?
L1－ M L2－ M
M
C
R
+
–
ZSU?
I?
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
图示互感电路已处于稳态,t = 0 时开关打开,求 t >0+时开路电压 u2(t).例 4
解 副边开路,对原边回路无影响,开路电压 u2(t)
只有互感电压,先应用三要素法求电流 i(t).
* *0.2H 0.4H
M=0.1H
+
–
10?
40V u2
+
－
10?
5?
10? i
A1211510//10 40)0()0( ii
§10-2 含有耦合电感电路的计算 (续 )
* *0.2H 0.4
H
M=0.1H10?
u2
+
－
10?
s01.020 2.00?t
t 0)(i
A)]()0([)()( 1 0 0 t
t
eeiiiti?
V10)(dd1.0dd)( 1001002 tt eettiMtu
§10-3 耦合电感的功率当耦合电感中的施感电流变化时,将出现变化的磁场,从而产生电场 (互感电压 ),
耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输,电磁能从耦合电感一边传输到另一边,
S
U?
求图示电路的复功率
* *
j? L1 j? L2
j? M
+
–
R1 R21 I? 2?I
S
U?
例
§10-3 耦合电感的功率 (续 )
0)j(j 2221 ILωRIM?
* *
j? L1 j? L2
j? M
+
–
R1 R21 I?
2
I
S
U?
S2111
j) j( UIMILωR?
0)j(j 2221 ILωRIM?
*.1,22111*.1.1 )( IIMjILjRIUS S
2122*.2.12 )(0 ILjRIIMjS
§10-3 耦合电感的功率 (续 )
线圈 1中互感电压耦合的复功率线圈 2中互感电压耦合的复功率注意
(1)两个互感电压耦合的复功率为虚部同号,
而实部异号,这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的 ;
(2)耦合功率中的有功功率相互异号,表明有功功率从一个端口进入,必从另一端口输出,这是互感 M非耗能特性的体现,
*12j IIM
*21j IIM
§10-3 耦合电感的功率 (续 )
(3) 耦合功率中的无功功率同号,表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响,性质是相同的,
即,当 M起同向耦合作用时,它的储能特性与电感相同,将使耦合电感中的磁能增加 ;当 M起反向耦合作用时,它的储能特性与电容相同,将使耦合电感的储能减少,
§10-4 变压器原理变压器由两个具有互感的线圈构成,一个接向电源,另一个接向负载,是利用互感从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件,当其线圈的芯子为非铁磁材料时,称空心变压器,
1,变压器电路（工作在线性段）
原边回路副边回路
* *
j? L1 j? L2
j? M
+
–
R1 R2
Z=R+jX
1
I?
S
U?
2
I
§10-4 变压器原理 (续 )
2,分析方法
(1) 方程法分析令,Z11=R1+j? L1,Z22=(R2+R)+j(?L2+X)
回路方程,
S2111
j UIMIZ?
* *
j?L1 j?L2
j? M
+
–
R1 R2
Z=R
+jXS U?
1
I?
2
I?
0)j(j 2221 IZLωRIM?
S2111
j) j( UIMILωR?
S2111
j UIMIZ?
0j 2221 IZIM?
§10-4 变压器原理 (续 )
(2) 等效电路法分析原边等效电路 副边等效电路据以上表示式得等效电路,
+
–
Z111
I?
S
U?
22
2)(
Z
ωM
+
–
Z22oc U?
11
2)(
Z
M?
2
I?
)(
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
22
2
11
1
S
in
)(
Z
M
Z
I
U
Z
11
2
22
11
S
22
22
2
11
S
2
)(
1j
)
)(
(
j
Z
M
Z
Z
UM
Z
Z
M
Z
UM
I
§10-4 变压器原理 (续 )
副边对原边的引入阻抗,
引入电阻,恒为正,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的,
引入电抗,负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反,
原边等效电路注意
+
–
Z11
S
U?
1
I?
22
2)(
Z
ωM
ll
l
XR
XR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
M
Z
jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
lZ
lR
lX
11in,ZZ?当副边开路
§10-4 变压器原理 (续 )
引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响,原副边虽然没有电的联接,但互感的作用使副边产生电流,这电流又影响原边电流电压,
能量分析 电源发出有功 P= I12(R1+Rl)
I12R1 消耗在原边 ; I12Rl 消耗在付边证明
2221j IZIM 22222222212 )()( IXRIM
2
2
222
2
12
22
2
22
22
2)(
PIRI
XR
RM
§10-4 变压器原理 (续 )
原边对副边的引入阻抗,
利用戴维宁定理可以求得变压器副边的等效电路,
副边开路时,原边电流在副边产生的互感电压,副边等效电路注意
(3) 去耦等效法分析对含互感的电路进行去耦等效,再进行分析,
+
–
Z22oc U? 11
2)(
Z
M? 2
I?
1
11
S
oc j
j
IM
Z
UMU
11
2)(
Z
M?
§10-4 变压器原理 (续 )
已知 US=20 V,原边引入阻抗 Zl=10–j10?.
求,ZX 并求负载获得的有功功率,
负载获得功率,
实际是最佳匹配,
例 1
解
ZX* *j10? j10?
j2
+
–
10?
S
U?
2
I?
10+j10?
Zl
+
–
S
U?
10j1010j4
22
22
Xl ZZ MωZ Ω 8.9j2.0XZ
W101010 20 2 lR RPP ）（引
W104,
2
S11*
R
UPZZ
l
§10-4 变压器原理 (续 )
L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,
R2=0.08?,RL=42?,314rad/s,
应用原边等效电路例 2
解 1
V0115 osU?
.,,21 II求
* *j? L
1 j? L2
j? M
+
–
R1 R2
RL
1
I?
2
I?
SU?
+
–
Z11
S
U?
22
2)(
Z
ωM1
I?
Ω4.1 1 3 0j20
j 1111
ωLRZ
Ω 85.1808.42
j 2222
j
ωLRRZ L
81 8 8j4 2 21.2411.46 1 4 6
2
22
2
.ZXZ Ml?
§10-4 变压器原理 (续 )
+
–
Z11
S
U?
22
2)(
Z
ωM1
I?
A)9.64(111.0
8.188j4224.1130j20
0115
o
11
S
1
lZZ
U
I
A1351.0
1.2411.46
1.252.16
85.18j08.42
9.64111.0146jj
22
1
2
Z
IM
I
§10-4 变压器原理 (续 )
应用副边等效电路解 2 +
–
Z22oc U? 11
2)(
Z
M? 2
I?
V085.14
4.1130j20
0115
146j
j
jj
11
1OC
LR
U
MIMU S
A03 5 3.085.18j08.425.18j OC2 UI
85.18j4.1 1 3 0j20 1 4 6)(
2
11
2
Z
M?
§10-4 变压器原理 (续 )
例 3 全耦合电路如图,求初级端 ab的等效阻抗,
解 1
解 2 画出去耦等效电路
b
* *
L1
a M+
–
L2S U?
L1－ M L2－ M
+
–
M
a
b
SU?
222 j LZ
111 j LZ
2
2
22
2
j)( LMZMZ l
)1(j)1(j
jj
2
1
21
2
1
2
2
111
kL
LL
M
L
L
M
LZZZ lab
)1(
)1(
)
)(
2
1
21
2
1
2
2
21
2
2
1
kL
LL
M
L
L
MLL
L
MLM
MLL ab
§10-4 变压器原理 (续 )
例 4
L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10?,C1=C2=0.01?F
问,R2=？ 能吸收最大功率,求最大功率,
解 1
106rad/s,
j? L1 j? L2
j? M
R1 R2
* *+
–
S
U?
1/j? C21/j? C1
V 010 osU?
1 0 021 LL
20M?
2
2
2222 )
1 j( R
CLRZ
1 0 011
21 CC
10)1 j(
1
1111 CLRZ
§10-4 变压器原理 (续 )
应用原边等效电路当
R2=40? 时吸收最大功率
10?+
–
S
U?
2
400
R
1
I?
222
2 400)(
RZ
MZ
l
2
11
40010
RZZ l
W5.2)104(10 2ma xP
§10-4 变压器原理 (续 )
R2
+
–
oc
U?
40)(
11
2
ZM?
2
I?
解 2 应用副边等效电路当 时吸收最大功率
40104 0 0)(
11
2
Z
MZ
l
V20j10 1020jj
11
OC?
Z
UMU S
402RZ l
W5.2)404(20 2ma xP
§10-4 变压器原理 (续 )
解例 5
问 Z为何值时获得最大功率,求出最大功率,
(1)判定互感线圈的同名端
* *
＋
－
uS(t) Z
100?
C
L1 L2M
ttu
C
ML
S?
co s21 0 0)(
,20
1
,1 2 02
以知
j?L1
R
+
–
M
Z
* *j?L
2
1/j?CSU?
I?
§10-4 变压器原理 (续 )
(2) 作去耦等效电路
+
– Z
j100?
－ j20?
j20?
100?
j(?L-20)?
00100?
j?L1
R
+
–
M
Z
* *j?L
2
1/j?CSU?
I?
+
– Z
j100?
100?
j(?L-20)?
001 0 0?
§10-4 变压器原理 (续 )
j100?
100?
j(?L-20)?
Zeq＋
－
uoc+
–
j100?
100?
j(?L-20)?
00100?
V45250100j100 100100j100j100 100j 0 Soc UU
50j501 0 0j//1 0 0eqZ
50j50*eqZZ
W25504 )250(4
2
m a x
eq
oc
R
UP
§10-5 理想 变压器
1,理想变压器的三个理想化条件
(2) 全耦合
(1) 无损耗 线圈导线无电阻,做芯子的铁磁材料的磁导率无限大,
(3) 参数无限大理想变压器是实际变压器的理想化模型,是对互感元件的理想科学抽象,是极限情况下的耦合电感,
nNNLLMLL
2
1
2
1
,2,1,但
1 21 LLMk
§10-5 理想 变压器 (续 )
以上三个条件在工程实际中不可能满足,但在一些实际工程概算中,在误差允许的范围内,把实际变压器当理想变压器对待,可使计算过程简化,
注意
2.理想变压器的主要性能
i1
1'
2
2'
N1 N2(1) 变压关系
1?k 221121
dt
dN
dt
du
1
1
1 dt
dN
dtu
2
2
2
§10-5 理想 变压器 (续 )
若,理想变压器模型
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
注意
*
*
n:1
+
_u1
+
_u2
n
N
N
u
u
2
1
2
1
n
N
N
u
u
2
1
2
1
§10-5 理想 变压器 (续 )
(2) 变流关系考虑理想化条件,
0
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
)()(1)( 2
1
0 1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
i1 i2
理想变压器模型
1 21 LLMk
nLLL 21211 NN,
nL
L
L
M 1
1
2
1
)(1)(
21 tinti
§10-5 理想 变压器 (续 )
若 i1,i2一个从同名端流入,一个从同名端流出,则有,注意
(3) 变阻抗关系注意 理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大小,不改变阻抗的性质,
* *
n:1
+
_
+
_ Z
1
I?
2
I?
1
U?
2
U?
)(1)( 21 tinti?
ZnIUnInUnIU 2
2
22
2
2
1
1 )(
/1
n2Z
+
–1
U?
§10-5 理想 变压器 (续 )
b) 理想变压器的特性方程为代数关系,
因此它是无记忆的多端元件,
a) 理想变压器既不储能,也不耗能,在电路中只起传递信号和能量的作用,
(4) 功率性质
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
i1 i2
表明
21 1 ini
21 nuu?
0)(1 11112211 niuniuiuiup
§10-5 理想 变压器 (续 )
例 1 已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。为使 R
L获得最大功率,求理想变压器的变比 n.
当 n2RL=RS 时匹配,即 10n2=1000
n2=100,n=10,
RLuS
RS
* *
n:1
+
_
n2RL
+
–
uS
RS
解 应用变阻抗性质
§10-5 理想 变压器 (续 )
例 2
方法 1,列方程解得,
解
,2 U?求电压
+
–
1,10
50?
1?
* *+
_
1
I?
2
I?
V010 o? 2 U?
101 21 UU
o11 0101 UI
050 22 UI
21 10 II
V033.33 o2U?
§10-5 理想 变压器 (续 )
方法 2,阻抗变换方法 3,戴维宁等效
1
I?
+
–
1?
n2RL
+
–
V010 o? 1
U
Ω2150)101( 2L2Rn
V 0310212/11 010 o
o
1
U?
V033.33 101 o112 UUnU
+
–
1,101?
* *+
_
1
I?
2
I?
V010 o? oc U?
:ocU?求
0,0 12 II
V01 0 0 1010 oS1oc UUU
§10-5 理想 变压器 (续 )
求 Req,
Req=102?1=100?
戴维宁等效电路,
Req
1,101?
* *
+
–
100?
50?
+
–
V01 0 0 o? 2 U?
5050100 0100
o
2
U?
V033.33 o
§10-5 理想 变压器 (续 )
例 3 已知图示电路的等效阻抗 Zab=0.25?,求理想变压器的变比 n.
解 应用阻抗变换外加电源得,
n=0.5
n=0.25 130
105.125.0 2
ab?
n
n
I
UZ
130
10
2 n
InU
21 UnU
10)3( 221 nUIU
)105.1()3( 22 nUIU
1.5?
－
++
–U
3 2U? 1U? 2 10n
I?
Zab
n,1
1.5?
10?
－
+* *
2U?
3 2U?
§10-5 理想 变压器 (续 )
例 5 求电阻 R 吸收的功率 解 应用回路法解得,
1 2
3* * +
–
+
–1
U?
1,10+
–
1?
1? R=1?
1?
SU? 2 U?
2
I?
1
I?
11
UUI
S
2322 UII
SUII 32 2
21 UnU
21
1 I
nI
32 III
2RIP?
nn
nnUI S
23
)121(
3?
nn
nUI S
12/3
)2/1(
2?
(end)
