一、数域二、数域的性质三、数学归纳法
§ 1.1 数域一、数域设 P是由一些复数组成的集合，其中包括数不为 0）仍是 P中的数，则称 P为一个数域．
0与 1，如果 P中任意两个数的和、差、积、商（除例,复数集 C、实数集 R、有理数集 Q都是数域。
注：自然数集 N，整数集 Z都不是数域．
.Def
Remark:
1,若数集 P中任意两个数作某一运算的结果仍在 P
中，则说数集 P对这个运算是封闭的．
2,数域的等价定义：如果一个包含 0,1在内的数集 P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为 0）
是封闭的，则称集 P为一个数域．
是一个数域．
例 1．证明：数集( 2 ) 2 |,Q a b a b Q
证,0 0 0 2,1 1 0 2,
,( 2 ),x y Q又对 2,2,x a b y c d设则有
( 2 ) ( ) 2 ( 2 )x y ac bd ad bc Q
0,1 ( 2 )Q
,,,,a b c d Q?
( ) ( ) 2 ( 2 ),x y a c b d Q
设 2 0,ab于是 也不为 0．2ab?
或 0,0ab 矛盾）
（否则，若 2 0,ab则 2,ab?
2,a Qb于是有
2 0,ab
2 ( 2 ) ( 2 )
2 ( 2 ) ( 2 )
c d c d a b
a b a b a b
2 2 2 2
2 2.
22
a c b d a d b c Q
a b a b
为数域．( 2 )Q?
,( 1),a b i aQi b Q i是数域,类似可证例 2．设 P是至少含两个数的数集，证明：若 P中任意两个数的差与商（除数 ≠ 0）仍属于 P，则 P为一一个数域．
有证：由题设任取,,a b P?
0,a a P1 ( 0 ),b Pbb
( 0 ),a b a b P
,a b P
( 0 ),a Pbb
所以,P是一个数域．
110,bb a b P时,0 0,b ab P时,
二、数域的性质定理,任意数域 P都包括有理数域 Q．
即，有理数域为最小数域．
证明,设 P为任意一个数域．由定义可知，
于是有 0 1,,PP
,1 1 1m Z m P
进而 有
,,,mm n Z Pn
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
.QP
0.mm Pnn
设 P为非空数集，若则称 P为一个数环．
Remark
,,,a b P a b P a b P
例如，整数集 Z 就作成一个数环．
数环,
三、数学归纳法
1）当 时,S成立第一数学归纳法设 S是一个与自然数有关的命题，且满足．
2）假设当 时,S成立，则
0nn?
0,) (k k N k nn
当 时,S成立。1kn
1）当 时,S成立第二数学归纳法设 S是一个与自然数有关的命题，且满足．
2）假设 S对一切大于或等于 而小于 的自然数成立，则 S对 成立。
0nn?
则 S对当 的一切自然数都成立。0n?
0n n
n
作业
S是数域吗？
２．证明：集合 是一个数环．,2 nmS m n Z
1．若 为数域，证明,也为数域．12,PP 12PP
§ 1.1 数域一、数域设 P是由一些复数组成的集合，其中包括数不为 0）仍是 P中的数，则称 P为一个数域．
0与 1，如果 P中任意两个数的和、差、积、商（除例,复数集 C、实数集 R、有理数集 Q都是数域。
注：自然数集 N，整数集 Z都不是数域．
.Def
Remark:
1,若数集 P中任意两个数作某一运算的结果仍在 P
中，则说数集 P对这个运算是封闭的．
2,数域的等价定义：如果一个包含 0,1在内的数集 P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为 0）
是封闭的，则称集 P为一个数域．
是一个数域．
例 1．证明：数集( 2 ) 2 |,Q a b a b Q
证,0 0 0 2,1 1 0 2,
,( 2 ),x y Q又对 2,2,x a b y c d设则有
( 2 ) ( ) 2 ( 2 )x y ac bd ad bc Q
0,1 ( 2 )Q
,,,,a b c d Q?
( ) ( ) 2 ( 2 ),x y a c b d Q
设 2 0,ab于是 也不为 0．2ab?
或 0,0ab 矛盾）
（否则，若 2 0,ab则 2,ab?
2,a Qb于是有
2 0,ab
2 ( 2 ) ( 2 )
2 ( 2 ) ( 2 )
c d c d a b
a b a b a b
2 2 2 2
2 2.
22
a c b d a d b c Q
a b a b
为数域．( 2 )Q?
,( 1),a b i aQi b Q i是数域,类似可证例 2．设 P是至少含两个数的数集，证明：若 P中任意两个数的差与商（除数 ≠ 0）仍属于 P，则 P为一一个数域．
有证：由题设任取,,a b P?
0,a a P1 ( 0 ),b Pbb
( 0 ),a b a b P
,a b P
( 0 ),a Pbb
所以,P是一个数域．
110,bb a b P时,0 0,b ab P时,
二、数域的性质定理,任意数域 P都包括有理数域 Q．
即，有理数域为最小数域．
证明,设 P为任意一个数域．由定义可知，
于是有 0 1,,PP
,1 1 1m Z m P
进而 有
,,,mm n Z Pn
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
.QP
0.mm Pnn
设 P为非空数集，若则称 P为一个数环．
Remark
,,,a b P a b P a b P
例如，整数集 Z 就作成一个数环．
数环,
三、数学归纳法
1）当 时,S成立第一数学归纳法设 S是一个与自然数有关的命题，且满足．
2）假设当 时,S成立，则
0nn?
0,) (k k N k nn
当 时,S成立。1kn
1）当 时,S成立第二数学归纳法设 S是一个与自然数有关的命题，且满足．
2）假设 S对一切大于或等于 而小于 的自然数成立，则 S对 成立。
0nn?
则 S对当 的一切自然数都成立。0n?
0n n
n
作业
S是数域吗？
２．证明：集合 是一个数环．,2 nmS m n Z
1．若 为数域，证明,也为数域．12,PP 12PP
