一,k 重因式二、重因式的判别和求法一、重因式设 为数域 P的不可约多项式,( ) P [ ],f x x?()px
则称 为 的 重因式,()fx k()px
若 >1,则称 为 的 重因式,k ()fx()px
（若 =0,不是 的因式 )k ()fx()px
若,但( ) | ( )kp x f x 1 ( ) | ( ),kp x f x?
定义若 ＝ 1,则称 为 的 单因式,k ()fx()px
1,若 的标准分解式为：()fx
1211( ) ( ) ( ) ( )srrr sf x c p x p x p x
则 为 的 重因式,ir 1,2,is()ipx ()fx
时,为单因式 ;1ir? ()ipx
时,为重因式,1ir? ()ipx
二、重因式的判别和求法
2,定理 6
若不可约多项式 是 的 重因式()fx k()px ( 1 ),k?
证,假设 可分解为()fx
( ) ( ) ( ),kf x p x g x?
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kf x p x k g x p x p x g x
1 ( ) | ( ),kp x f x
其中 ( ) | ( ),p x g x
则它是 的微商 的 重因式,1k?()fx?()fx
令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),h x k g x p x p x g x
是 的 重因式()px? ()fx? 1k?
且,( ) | ( )p x g x( ) | ( )p x p x?
( ) | ( ) ( ),p x k g x p x ( ) | ( )p x h x?
( ) | ( )kp x f x
为 的 重因式，但 未必是()px ()fx? 1k? ()px ()fx
的 重因式,k
注意 定理 6的逆命题不成立,即推论 1
若不可约多项式 是 的 重因式则 是 的因式,但不是的因式,
()px
()()kfx
()fx ( 1),k?
()px ( 1 )( ),( ),,( )kf x f x f x
k
推论 2
不可约多项式 是 的重因式()px ()fx
是 与 的公因式,()fx()px? ()fx?
推论 3
推论 4
多项式 没有重因式()fx ( ( ),( ) ) 1,f x f x
,若其中 为不可约多项式,则 为的 重因式,
()fx
( ) P [ ]f x x? 11( ( ),( ) ) ( ) ( ),srr sf x f x p x p x
()ipx ()ipx
1ir?
根据推论 3,4可用辗转相除法,求出 ( ( ),( ) )f x f x?
说明来判别 是否有重因式．若有重因式,还可由()fx
的结果写出来,( ( ),( ) )f x f x?
5 3 2( ) 1 0 2 0 1 5 4f x x x x x
例 1,判别多项式 有无重因式,()fx
推论 5
注,
不可约多项式 为 的 重因式为 的 重因式,
()fx
()px?
()px k
( ( ),( ) )f x f x?1k?
与 有完全相同的不可约因式，()fx
()
( ( ),( ) )
fx
f x f x?
()
( ( ),( ) )
fx
f x f x?且 的因式皆为单因式,