1
高等代数
2
高等代数的重要性,
(1) 高等代数课程中体现了近代数学的一个重要思想,结构,
(2) 诸多工程计算中涉及的矩阵、行列式和大规模线性方程组等可以通过该课程有所了解,
(3) 高等代数及其后续课程近世代数是现代信息安全领域研究必备的理论基础,
(4) 考研必考课程之一,
3
对于每一本值得阅读的数学书，必需,前后往返,
地去阅读（ Lagrange）。现在我对这句话稍作修饰并阐明如下：,继续不断往下读，但又不时地返回到已读过的那些内容中去，以增强你的信心。另外，当您在研读时，一旦陷入难懂而又枯燥的内容中时，不妨暂且越过继续往前读，等到你在下文中发现被越过部分的重要性和必要性时，再回过头来研读它。,
—— Chrystal George
Algebra,Part 2
（ Edinburgh 1889）
4
参考书籍：
(1),高等代数,导教 · 导学 · 导考,2004，
西北工大出版社,
(2) 张贤科,许甫华,高等代数学 (第二版 ),
清华大学出版社,2004.
考试方法,平时成绩 30分期末闭卷考试 70分平时成绩含作业、出勤情况和期中考试。
作业、出勤缺 三 次以上者平时成绩 0 分。
5
第二章 行列式一 引言用消元法解二元线性方程组



.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 2.
21122211
211211
2 aaaa
abbax

由方程组的四个系数确定,
(1)
6
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)3(2221
1211
aa
aa
定义
)4(
3
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式?
即
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
D
7
考察三元线性方程组
)3(
.
,
,
3333232131
2323222121
1313212111



bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
运用消元法，可以推知当三阶行列式
，0312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa
8
312213332112322311322113312312332211
213121312221132122132311211223
3
312213332112322311322113312312332211
331213112323113132131233133112
2
312213332112322311322113312312332211
332121322332213133223231233221
1
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
ababaabaaaabbaaaab
x
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
ababaabaaaabbaaaab
x
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
ababaabaaaabbaaaab
x






9
定义
333231
232221
131211
)6(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )7(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa


333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 7）式称为数表（ 6）所确定的 三阶行列式,
列标行标
10
11a 12a
22a21a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?



.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
11



.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?



.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x,
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
12
例


.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
13
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
对角线法则说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa?
三阶行列式的计算
2 三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
14
例 求解三阶行列式
.
2-43-
122-
4-21
D?
解 按对角线法则有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
15
如果三元线性方程组?


;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,0?
利用三阶行列式求解三元线性方程组
16


;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
若记
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?,
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D?
则三元线性方程组的解为,
,11 DDx?,22 DDx?,33 DDx?
17
例 解线性方程组



.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121

D
111132
121111122 131
5,0?
18
同理可得
110
311
122
1

D
,5
101
312
121
2

D
,10
011
112
221
3

D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
19
在自然科学研究中，我们会遇到许多 n 元一次方程组
( * )



nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111
对于形如（ *）的方程组，其解是否也与二阶、
三阶方程组的解类似呢？
答案是肯定的,
20
本章将依次解决如下问题：
（ 1） n 阶行列式如何定义？
（ 2） n 阶行列式的性质和计算,
（ 3）方程组（ *）何时有解？若有解，如何表示?
21
以上为二、三阶行列式的定义。下面我们将定义的思想推广到 阶行列式，给出 阶行列式的定义。
在给出 阶行列式的定义之前，还需用到逆序数的概念。
n n
n
22
定义
.,,2,1 级排列为一个组成的一个有序数组称由 nn?
例 写出所有的 3 级排列,
注 所有不同的 n 级排列共有 n！ 个,
定义
.序数总数称为这个排列的逆序的个逆序；一个排列中逆相反，则称这对数为一顺序对数的前后位置与大小在一个排列中，如果一
).( 2121 nn jjjjjj的逆序数记为排列
23
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
逆序数为偶数的排列称为 偶排列 ；
排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为 奇排列,
24
例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性,
3 2 1211 nnn
kkkkkk 132322212122
解 （ 1） 12
,
2
1 nn
当 时为偶排列； 14,4 kkn
当 时为奇排列,34,24 kkn
1 nt2 n
25
(2) 提示：
0?t
kkk
2
1112,2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列,k
1? 1? 2 kkk 112?
kkkkkk 13232221212
0?1?1?2?2k
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定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
ml bbbaaa 11
例如
ba
ml bbabaa 11 ab
nml ccbbbaaa 111
nml ccabbbaa 111
b
a
a
b
定理 1 对换改变排列的奇偶性,即经过一次对换，奇排列变成偶排列；偶排列变成奇排列,
27
推论
.2 ! 个半，均为级排列中，奇偶排列各 nn
定理 2 任何一个排列与自然序排列都可经过一系列对换互换，并且对换的个数和该排列的逆序数的奇偶性相同,