第二章 行列式习题课一,复习本章内容二,典型例题二、三阶行列式推广
（对角线法则） 逆序数 对换阶行列式n
定义 性质 展开 解方程组
（利用代数余子式）
（ Cramer法则）
逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
在一个排列 中，若数,
则称这两个数组成一个 逆序,
nst iiiii21 st ii?
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数,
逆序数定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，
叫做相邻对换．
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
对 换
nppp
ppp
t
nnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
21
21
22221
11211
21
21
1
n 阶行列式的定义
.
,,2,1;;,,2,1
21
21
取和的所有排列表示对个排列的逆序数为这的一个排列为自然数其中
n
tnppp
ppp
n
n
.
,
21
21
21
21
)1(
的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式
pppt
D
Dn
n
nppp
ppp
t
aaa
n
n
.,
)()4
.
,)()3
.),()2
.
乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列
,1)
kk
DD
T
:阶行列式的性质 n
.,)(
,)()8
.
,)()7
.
,)()6
.
)()5
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
１）余子式与代数余子式
.
,)1(
1
的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在
ijij
ij
ji
ij
ij
ij
ij
aA
MA
M
anj
ian
行列式按行（列）展开：
２）关于代数余子式的重要性质
.,0;,1
.,0;,
.,0;,
1
1
ji
ji
ji
jiD
D
ji
jiD
D
ij
ijjk
n
k
ik
ijkj
n
k
ki
Aa
Aa
当当其中
当当或当当
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
,2211 ininiiii AaAaAaDni,,2,1
3 ) 行列式按行（列）展开法则
Cramer 法则
.,
,,2,1
.,,2,1,
,0
.
,
,
1
2211
22222121
11212111
所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有唯一解的系数行列式如果线性方程组
２ bbb
x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
n
j
j
j
nnnnnn
nn
nn
jDnjD
nj
D
D
D
Cramer 法则的理论价值
.,0
.
,
,
2211
22222121
11212111
唯一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
.必为零解，则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理定理
.,0
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组
D
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnnn
nn
nn
.它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程定理定理典 型 例 题
１ 用定义计算（证明）
例 用行列式定义计算
000
000
000
5352
4342
3534333231
2524232221
1312
5
aa
aa
aaaaa
aaaaa
aa
D?
的非零元素分别得到行可能中第那么，由行的元素分别为中第设
5,4,3,2,1,,,
,,5,4,3,2,1
5543
215
543
21
D
D
aaa
aa
ppp
pp
解
.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,2
543
21
ppp
pp
.0
5
,,,,,
5
54321
D
ppppp
故元排列也不能组成，一个在上述可能取的代码中因为评注 本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，
讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
.
2
则此行列式必等于零还多，素比阶行列式中等于零的元如果一个 nnn?
注意
２ 利用范德蒙行列式计算例 计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
.333
222
111
2
2
2
nnn
D
n
n
n
n
，于是得到增至幂次数便从则方若提取各行的公因子，递升至而是由变到序排列，但不是从次数自左至右按递升次方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个
10
.1,1
0
,
n
nn
D n
解
.
1
3331
2221
1111
!
12
12
12
nnn
nD
n
n
n
n
上面等式右端行列式为 n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知
!.1!2)!2()!1(!
)]1([)2()24)(23(
)1()13)(12(!
)(!
1
nnn
nnn
nn
xxnD
jin
jin
n
n
n
nnn
n
nn
n
n
n
n
nnnnn
nnnnn
bbababaa
bbababaa
bbababaa
n
1
1
111
2
11
1
11
2
1
222
2
22
1
22
1
1
111
2
11
1
11
1 ( 1 )
阶 行 列 式计算例
4
3
4
2
3
3
3
2
2
3
2
2
1
3
1
2
4
2
43
2
32
2
21
2
1
4321
s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n
s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n
s i n1s i n1s i n1s i n1
1111
)2(
D
计算提示
11
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
121
)(
1
1
1
,)1(
nij
ijji
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
nn
n
n
i
baab
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
aaa
ai
,eV a n d e r m o n d
1
即行列式便可以化为行除以将第
41
).s i n( s i n
...
1)2(
ij
ji
答案为行列式可得二行加到第三行，
行列式的第倍加到第二行，再将新将第一行的
.eV a n d e r m o n d,
评注 本例所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．
３ 用化三角形行列式计算例 计算
.
4321
321
321
321
1
xaaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D n
n
n
n
解 列都加到第一列，得将第 1,,3,2?n?
xaaax
axaax
aaxax
aaaax
D
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
32
1
2
1
2
1
21
1
1
提取第一列的公因子，得
.
1
1
1
1
)(
32
2
2
21
1
1
xaa
axa
aax
aaa
axD n
n
n
n
i
in
后一列，得倍加到最列的将第列，倍加到第列的列，将第倍加到第列的将第
２ )(1,3)(
12)(1 1
aa
a
n
.)()(
11
n
i i
n
i i
axax
axaaaa
axaa
ax
axD
n
n
i
in
2312
212
1
1
1
1
01
001
0001
)(
评注 本题利用行列式的性质，采用,化零,
的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．
化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．
，得提取公因子行中行，并从第行都加到第、、的第将
dcba
D
114324
４ 用降阶法计算例 计算,4
abcd
badc
cdab
dcba
D?
解
,
1111
)(4
abcd
badc
cdab
dcbaD
列，得列都减去第、、再将第 1432,
0001
)(4
dadbdcd
cbcacdc
bcbdbab
dcbaD
行展开，得按第 1,)(
4
dadbdc
cbcacd
bcbdba
dcbaD
，得中提取公因子行行，再从第行加到第把上面右端行列式第
dcba
112
,
011
))((
dadbdc
cbcacd
dcbadcbaD
４
列，得列减去第再将第 12
行展开，得按第 1
])()([))(( 22 cbdadcbadcba
))((
))((
dcbadcba
dcbadcba
,
001
))((4
dacbdc
cbdacd
dcbadcbaD
dacb
cbdadcbadcba
D
))((
４
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
5 升阶法
,
21
21
21
maaa
amaa
aama
n
n
n
n
阶行列式计算例
.
001
001
001
1
)1(
.
0
0
0
1
21
21
21
21
21
m
m
m
aaa
maaa
amaa
aama
aaa
n
n
n
n
n
一行得分别加到第二行至最后再将第一行乘以添加一行一列得解：
.))(
1
1(
1
0
.00
21
n
n
maaa
m
m
im
m
倍加至第一列得列的时，将第当时知当评注 升阶法适用于某一行（列）有一个相同字母的行列式,
6 用拆成行列式之和（积）计算例 证明
.0
2s in)s in ()s in (
)s in (2s in)s in (
)s in ()s in (2s in
证,0
000
s ins ins in
c o sc o sc o s
0c o ss in
0c o ss in
0c o ss in
左边
7 用递推法计算例 计算,2
1
xaaa
axaa
aaxa
D
n
n
解 拆成两个行列式之和列把依第
nDn
aaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
D
n
n
1
2
1
.
0
0
0
1
2
1
xaaa
xaaa
axaa
aaxa
n
n
.1121 DxaxxxD nnnn从而得列展开第右端的第二个行列式按列加到第倍分别列的将第右端的第一个行列式
,
,1,,2,1
)1(,
nn
n
,
000
00
00
00
1
1
2
1
Dx
a
ax
ax
ax
D nn
n
n?
由此递推，得
.
,
21
22121
212211
Dxx
xaxxxaxxxD
DxaxxxD
nnn
nnnn
nnnn
１
于是如此继续下去，可得
Dxxxxxaxx
xaxxxaxxxD
nnn
nnnn
231421
22121
１
)( 212131
421
22121
xxxaxaxxx
xxaxx
xaxxxaxxx
nn
n
nnn
１
).
(
3231
12121
xxxxxx
xxxaxxx
nn
nn
时，还可改写成当 021?xxx n?
) ],111(1[
21
21 xxxaxxxD
n
nn
,
000
000
000
00
000
ac
ba
ac
bac
ba
n
n
阶三对角行列式计算例提示
.
),()(
,
211
21
bckl
alk
klk
bca
nnnn
nnn
其中再划为评注
.
11
.1
,1
1
的递推关系列式更低阶行列式之间阶行，建立比阶更低阶的行列式表示比用同样形式的阶行列式时，还可以把给定的有之间的递推关系阶行列式与建立了阶行列式表示出来用同样形式的行列式阶质把所给的本题是利用行列式的性
nn
Dn
DnD
nD
n
n
nn
n
8 用数学归纳法例９ 证明
.co s
co s21000
1000
00co s210
001co s21
0001co s
n
D n
证 对阶数 n用数学归纳法
.,2,1,
,2co s1co s2
2co s1
1co s
,co s
2
2
1
结论成立时当所以因为
nn
D
D
得展开按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于下证对的行列式结论成立假设对阶数小于
,
.
,
Dn
n
n
.co s2 21 DDD nnn
,)2co s (
,)1co s (,
2
1
nD
nD
n
n由归纳假设;co s
)2co s (])2co s ([ co s
)2co s ()1co s (co s2
n
nnn
nnD n
.结论成立所以对一切自然数 n
评注
.
,)1(
1,)(,
,
21
同型的行列式不是与否则所得的低阶行列式展开列或第行不能按第展开列或第行本例必须按第表示展开成能用其同型的为了将
D
nn
DDD
n
nnn
.
,,.
,
,,
其猜想结果成立然后用数学归纳法证明也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、
且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解．
Cramer法则证
..
0
,0
,0
1,,
),,(
00
00
从而有系数行列式的非零解可视为齐次线性方程组则点设所给三条直线交于一必要性
bzaycx
azcybx
czbyax
zyyxx
yxM
.0
0,0,0
cba
baycxacybxcbyax
条件是相交于一点的充分必要直线证明平面上三条不同的 例
.0])()()([))(
2
1
( 222 accbbacba
bac
acb
cba
（１）
baycx
acybx
cbyax
,
,
.0
,,,,
cba
cba
故也不全相同所以因为三条直线互不相同将方程组如果充分性,0 cba
.
.00
,
,
唯一解下证此方程组（２）有
（２）
到第三个方程，得的第一、二两个方程加
acybx
cbyax
.00)(
2)]([)(
00
22
222
22
accaac
cacacaaccab
bacbac
cb
ba
，从而有
，于是得
。由，则如果
.)1(
.)2(
.0
.0
0.0,0
2
直线交于一点有唯一解，即三条不同方程组从而知有唯一解组由克莱姆法则知，方程故，与题设矛盾得再由得由不妨设
cb
ba
c
cbabacba
（对角线法则） 逆序数 对换阶行列式n
定义 性质 展开 解方程组
（利用代数余子式）
（ Cramer法则）
逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
在一个排列 中，若数,
则称这两个数组成一个 逆序,
nst iiiii21 st ii?
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数,
逆序数定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，
叫做相邻对换．
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
对 换
nppp
ppp
t
nnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
21
21
22221
11211
21
21
1
n 阶行列式的定义
.
,,2,1;;,,2,1
21
21
取和的所有排列表示对个排列的逆序数为这的一个排列为自然数其中
n
tnppp
ppp
n
n
.
,
21
21
21
21
)1(
的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式
pppt
D
Dn
n
nppp
ppp
t
aaa
n
n
.,
)()4
.
,)()3
.),()2
.
乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列
,1)
kk
DD
T
:阶行列式的性质 n
.,)(
,)()8
.
,)()7
.
,)()6
.
)()5
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
１）余子式与代数余子式
.
,)1(
1
的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在
ijij
ij
ji
ij
ij
ij
ij
aA
MA
M
anj
ian
行列式按行（列）展开：
２）关于代数余子式的重要性质
.,0;,1
.,0;,
.,0;,
1
1
ji
ji
ji
jiD
D
ji
jiD
D
ij
ijjk
n
k
ik
ijkj
n
k
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Aa
Aa
当当其中
当当或当当
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
,2211 ininiiii AaAaAaDni,,2,1
3 ) 行列式按行（列）展开法则
Cramer 法则
.,
,,2,1
.,,2,1,
,0
.
,
,
1
2211
22222121
11212111
所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有唯一解的系数行列式如果线性方程组
２ bbb
x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
n
j
j
j
nnnnnn
nn
nn
jDnjD
nj
D
D
D
Cramer 法则的理论价值
.,0
.
,
,
2211
22222121
11212111
唯一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
.必为零解，则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理定理
.,0
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组
D
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnnn
nn
nn
.它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程定理定理典 型 例 题
１ 用定义计算（证明）
例 用行列式定义计算
000
000
000
5352
4342
3534333231
2524232221
1312
5
aa
aa
aaaaa
aaaaa
aa
D?
的非零元素分别得到行可能中第那么，由行的元素分别为中第设
5,4,3,2,1,,,
,,5,4,3,2,1
5543
215
543
21
D
D
aaa
aa
ppp
pp
解
.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,2
543
21
ppp
pp
.0
5
,,,,,
5
54321
D
ppppp
故元排列也不能组成，一个在上述可能取的代码中因为评注 本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，
讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
.
2
则此行列式必等于零还多，素比阶行列式中等于零的元如果一个 nnn?
注意
２ 利用范德蒙行列式计算例 计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
.333
222
111
2
2
2
nnn
D
n
n
n
n
，于是得到增至幂次数便从则方若提取各行的公因子，递升至而是由变到序排列，但不是从次数自左至右按递升次方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个
10
.1,1
0
,
n
nn
D n
解
.
1
3331
2221
1111
!
12
12
12
nnn
nD
n
n
n
n
上面等式右端行列式为 n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知
!.1!2)!2()!1(!
)]1([)2()24)(23(
)1()13)(12(!
)(!
1
nnn
nnn
nn
xxnD
jin
jin
n
n
n
nnn
n
nn
n
n
n
n
nnnnn
nnnnn
bbababaa
bbababaa
bbababaa
n
1
1
111
2
11
1
11
2
1
222
2
22
1
22
1
1
111
2
11
1
11
1 ( 1 )
阶 行 列 式计算例
4
3
4
2
3
3
3
2
2
3
2
2
1
3
1
2
4
2
43
2
32
2
21
2
1
4321
s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n
s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n
s i n1s i n1s i n1s i n1
1111
)2(
D
计算提示
11
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
121
)(
1
1
1
,)1(
nij
ijji
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
nn
n
n
i
baab
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
aaa
ai
,eV a n d e r m o n d
1
即行列式便可以化为行除以将第
41
).s i n( s i n
...
1)2(
ij
ji
答案为行列式可得二行加到第三行，
行列式的第倍加到第二行，再将新将第一行的
.eV a n d e r m o n d,
评注 本例所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．
３ 用化三角形行列式计算例 计算
.
4321
321
321
321
1
xaaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D n
n
n
n
解 列都加到第一列，得将第 1,,3,2?n?
xaaax
axaax
aaxax
aaaax
D
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
32
1
2
1
2
1
21
1
1
提取第一列的公因子，得
.
1
1
1
1
)(
32
2
2
21
1
1
xaa
axa
aax
aaa
axD n
n
n
n
i
in
后一列，得倍加到最列的将第列，倍加到第列的列，将第倍加到第列的将第
２ )(1,3)(
12)(1 1
aa
a
n
.)()(
11
n
i i
n
i i
axax
axaaaa
axaa
ax
axD
n
n
i
in
2312
212
1
1
1
1
01
001
0001
)(
评注 本题利用行列式的性质，采用,化零,
的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．
化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．
，得提取公因子行中行，并从第行都加到第、、的第将
dcba
D
114324
４ 用降阶法计算例 计算,4
abcd
badc
cdab
dcba
D?
解
,
1111
)(4
abcd
badc
cdab
dcbaD
列，得列都减去第、、再将第 1432,
0001
)(4
dadbdcd
cbcacdc
bcbdbab
dcbaD
行展开，得按第 1,)(
4
dadbdc
cbcacd
bcbdba
dcbaD
，得中提取公因子行行，再从第行加到第把上面右端行列式第
dcba
112
,
011
))((
dadbdc
cbcacd
dcbadcbaD
４
列，得列减去第再将第 12
行展开，得按第 1
])()([))(( 22 cbdadcbadcba
))((
))((
dcbadcba
dcbadcba
,
001
))((4
dacbdc
cbdacd
dcbadcbaD
dacb
cbdadcbadcba
D
))((
４
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
5 升阶法
,
21
21
21
maaa
amaa
aama
n
n
n
n
阶行列式计算例
.
001
001
001
1
)1(
.
0
0
0
1
21
21
21
21
21
m
m
m
aaa
maaa
amaa
aama
aaa
n
n
n
n
n
一行得分别加到第二行至最后再将第一行乘以添加一行一列得解：
.))(
1
1(
1
0
.00
21
n
n
maaa
m
m
im
m
倍加至第一列得列的时，将第当时知当评注 升阶法适用于某一行（列）有一个相同字母的行列式,
6 用拆成行列式之和（积）计算例 证明
.0
2s in)s in ()s in (
)s in (2s in)s in (
)s in ()s in (2s in
证,0
000
s ins ins in
c o sc o sc o s
0c o ss in
0c o ss in
0c o ss in
左边
7 用递推法计算例 计算,2
1
xaaa
axaa
aaxa
D
n
n
解 拆成两个行列式之和列把依第
nDn
aaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
D
n
n
1
2
1
.
0
0
0
1
2
1
xaaa
xaaa
axaa
aaxa
n
n
.1121 DxaxxxD nnnn从而得列展开第右端的第二个行列式按列加到第倍分别列的将第右端的第一个行列式
,
,1,,2,1
)1(,
nn
n
,
000
00
00
00
1
1
2
1
Dx
a
ax
ax
ax
D nn
n
n?
由此递推，得
.
,
21
22121
212211
Dxx
xaxxxaxxxD
DxaxxxD
nnn
nnnn
nnnn
１
于是如此继续下去，可得
Dxxxxxaxx
xaxxxaxxxD
nnn
nnnn
231421
22121
１
)( 212131
421
22121
xxxaxaxxx
xxaxx
xaxxxaxxx
nn
n
nnn
１
).
(
3231
12121
xxxxxx
xxxaxxx
nn
nn
时，还可改写成当 021?xxx n?
) ],111(1[
21
21 xxxaxxxD
n
nn
,
000
000
000
00
000
ac
ba
ac
bac
ba
n
n
阶三对角行列式计算例提示
.
),()(
,
211
21
bckl
alk
klk
bca
nnnn
nnn
其中再划为评注
.
11
.1
,1
1
的递推关系列式更低阶行列式之间阶行，建立比阶更低阶的行列式表示比用同样形式的阶行列式时，还可以把给定的有之间的递推关系阶行列式与建立了阶行列式表示出来用同样形式的行列式阶质把所给的本题是利用行列式的性
nn
Dn
DnD
nD
n
n
nn
n
8 用数学归纳法例９ 证明
.co s
co s21000
1000
00co s210
001co s21
0001co s
n
D n
证 对阶数 n用数学归纳法
.,2,1,
,2co s1co s2
2co s1
1co s
,co s
2
2
1
结论成立时当所以因为
nn
D
D
得展开按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于下证对的行列式结论成立假设对阶数小于
,
.
,
Dn
n
n
.co s2 21 DDD nnn
,)2co s (
,)1co s (,
2
1
nD
nD
n
n由归纳假设;co s
)2co s (])2co s ([ co s
)2co s ()1co s (co s2
n
nnn
nnD n
.结论成立所以对一切自然数 n
评注
.
,)1(
1,)(,
,
21
同型的行列式不是与否则所得的低阶行列式展开列或第行不能按第展开列或第行本例必须按第表示展开成能用其同型的为了将
D
nn
DDD
n
nnn
.
,,.
,
,,
其猜想结果成立然后用数学归纳法证明也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、
且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解．
Cramer法则证
..
0
,0
,0
1,,
),,(
00
00
从而有系数行列式的非零解可视为齐次线性方程组则点设所给三条直线交于一必要性
bzaycx
azcybx
czbyax
zyyxx
yxM
.0
0,0,0
cba
baycxacybxcbyax
条件是相交于一点的充分必要直线证明平面上三条不同的 例
.0])()()([))(
2
1
( 222 accbbacba
bac
acb
cba
（１）
baycx
acybx
cbyax
,
,
.0
,,,,
cba
cba
故也不全相同所以因为三条直线互不相同将方程组如果充分性,0 cba
.
.00
,
,
唯一解下证此方程组（２）有
（２）
到第三个方程，得的第一、二两个方程加
acybx
cbyax
.00)(
2)]([)(
00
22
222
22
accaac
cacacaaccab
bacbac
cb
ba
，从而有
，于是得
。由，则如果
.)1(
.)2(
.0
.0
0.0,0
2
直线交于一点有唯一解，即三条不同方程组从而知有唯一解组由克莱姆法则知，方程故，与题设矛盾得再由得由不妨设
cb
ba
c
cbabacba
