1
第四节 矩阵的秩定义 15 所谓矩阵的 行秩 就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的 列秩 就是指矩阵的列向量组的秩,
例 1,
0000
5000
4120
1311
的秩求矩阵
A
解 矩阵 A的行向量

0000 5000
41-20 1311
43
21




2
可以证明 是 的一个极大线性
321,, 4321,,,
无关组,
由
0332211 kkk
即

054,3,2,
5,0,0,00,2,- 1,41,3,1,1
32121211
321


kkkkkkkk
kkk
可得
0 321 kkk
线性无关性得证,
又因为 是零向量，因此 线性相关,4? 4321,,,
证明了 是 的极大无关组,
321,, 4321,,,
矩阵 A的行秩为 3,
3
如果齐次线性方程组引理
( 1 )
0
0
0
2211
2222121
1212111



nsnss
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

的系数矩阵
)1(
21
22221
11211
snss
n
n
aaa
aaa
aaa
A

的行秩 r<n，那么方程组 有非零解,
4
证明 以 代表矩阵 A的行向量组,
s,,,21?
不妨设 是一个极大线性无关组，那么
r,,,21?
向量组 与 等价,
s,,,21? r
,,,21?
从而方程组（ 1）等价于
( 2 )
0
0
0
2211
2222121
1212111



nrnrr
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

所以，方程组 (1)与方程组 (2)同解,
方程组 (2)有非零解,
5
定理 4 矩阵的行秩与列秩相等,
证明 )1(?设矩阵 的行秩 =r,列秩 =r1,先证,
1rr?
矩阵 的行向量组为 s,,,21?)1(?,不妨设
r,,,21?
是它的极大线性无关组，如果有
( 3 ) 02211 rrxxx
那么，它只有零解,
注意向量方程（ 3）表示的齐次线性方程组
6
0
0
0
2211
2222112
1221111



rrnnn
rr
rr
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

只有零解,对应的系数矩阵
,r?
rnnn
r
r
aaa
aaa
aaa

21
22212
12111
的行秩 向量组中存在 r个线性无关的向量，
不妨设为
7
),,,(,),,,,(),,,,( 212221212111 rrrrrr aaaaaaaaa
将其扩成矩阵（ 2）的列向量
),,,,(,
),,,,,,(),,,,,(
21
222212112111
srrrrr
srsr
aaa
aaaaaa



仍线性无关,从而有矩阵 A的列秩
.1 rr?
用同样的方法可以证明,
1rr?
定理得证,
矩阵的行秩和列秩都称为 矩阵的秩,
8
定理 5 矩阵nn?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A

21
22221
11211
的行列式为零的充分必要条件是矩阵 A的秩小于 n.
证明 充分性因为 A的秩小于 n,所以 A的行向量线性相关,
当 n=1时,A只有一个数，由相关性知,011?a
从而,00 A
9
当 n >1时,A中有一行可以表为其它行的线性组合，据此，这行可以被消成 0,
由行列式性质知,0?A
证明必要性 对 n 作数学归纳法当 n =1时，由 知 A的仅有的一个元素为 0,0?A
因而 A的秩为 0,
假设 A的第一列非零（否则，得证）,011?a不妨设有
nnn
n
nnn
n
n
aa
aa
a
aa
aa
aaa
A






2
222
11
2
222
11211
0
0
10
0
~
111
2
222
11


n
nnn
n
Aa
aa
aa
aA

由
0~ 1nA有由归纳法假设，矩阵 的行向量组线性相关,1~?nA
注意线性相关向量组的性质和初等变换的可逆性,
必要性得证,
A的行向量组线性相关,A的秩小于 n,
11
推论 齐次线性方程组
0
0
0
2211
2222121
1212111



nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A

21
22221
11211
的行列式等于零,
12
.
,
,
2
阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在
kA
kA
knk
mkkkAnm

2、矩阵的子式定义 16
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm
13
.0
10
）全等于阶子式（如果存在的话阶子式，且所有的中有一个不等于阵的充分必要条件是矩的秩是矩阵
rrA
rA
定理 6
证明 先证明必要性设矩阵 A的秩是 r,矩阵 A中任意 r+1个行向量都线性相关,矩阵 A的任意一个 r+1阶子式都为 0.
因为矩阵 A的秩是 r,矩阵 A中存在 r 个线性无关的行向量,nrA?不妨是 A的前 r 个向量，记作
nrA?矩阵 的列秩为 r,确定 A的一个不等于 0的 r阶子式
14
再证充分性设 A的秩为 t,下证 t=r.
首先,t 不小于 r,否则 A中所有 r 阶子式均等于 0；
t 不大于 r,否则 A中存在不等于 0 的 r+1 阶子式，
这是不可能的；
所以 t=r,得证,
15
例 1
.
174
532
321
的秩求矩阵
A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21?
，且 0?A
.2)( AR
16
例 2
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵



B
解 行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312

而
.3)( BR
17
例 3
，求该矩阵的秩．已知
5102
3120
2231
A
,0220 31
102
120
231
502
320
231
解 计算 A的 3阶子式，
,0?,0?
510
312
223
512
310
221
,0?,0?
.0,2 AR
18
做初等变换，对矩阵
5102
3120
2231
A
另解
,
0000
3120
2231
~
5102
3120
2231
显然，非零行的行数为 2，
,2 AR 此方法简单！
19
3、矩阵秩的求法初等变换不改变矩阵的秩,
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
.
,
梯形等行变换把它变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵 nmA?
).()(,BRARBA?也有经初等列变换变为设
20
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,
例 4
．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设
A
AA,
41461
35102
16323
05023


阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对 A解
21




41461
35102
16323
05023
A




05023
35102
16323
41461
41 rr?
22




41461
35102
16323
05023
A




05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
23






12812160
1179120
11340
41461




41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
14
13
3
2
rr
rr
24




84000
84000
11340
41461



00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)(?AR
23 3rr?
24 4rr?
34 rr?
25
,的一个最高阶子式求 A
,3)(?AR?,3 阶的最高阶非零子式为知 A
阶子式共有的 3A,403534 个 CC
阶梯形矩阵为的行则矩阵记 ),,(),,,,,( 42154321 aaaBaaaaaA
的行阶梯形矩阵，考察 A


000
400
140
161
,3)(?BR?
26
的前三行构成的子式计算 B
,3 阶非零子式中必有故 B,4 个且共有
623
502
523
110
502
523
116
522
.016
则这个子式便是 的一个最高阶非零子式,A
27
例 5






4
3
2
1
,
6063
3242
0842
1221
bA设
,)( 的秩及矩阵求矩阵 bABA?
解 ),~,~(~ bABB?的行阶梯形矩阵为设分析：
的行阶梯形矩阵，就是则 AA~
).()()~,~(~ BRARbAB 及中可同时看出故从?
28





46063
33242
20842
11221
B




13600
51200
02400
11221
13
12
2
2
rr
rr
14 3rr?
29



10000
50000
01200
11221



00000
10000
01200
11221
23
2 2
rr
r
24 3rr?
53?r
34 rr?
.3)(,2)( BRAR
30
三、小结
(3)初等变换法
1,矩阵秩的概念
2,求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 ).
(2)寻找矩阵中非零子式的最高阶数 ;
31
思考题
)()(,是否相等与为任一实矩阵设 ARAARA T
32
思考题解答答 相等,
,0?x因为对于任一实向量,0时当?Ax
,0?AxA T必有 有时反之当,0?AxA T 0?AxAx TT
即 0?AxAx T ;0 Ax
由此可知,00 同解与 AxAAx T
.ARAAR T?故