第七节 分块乘法的初等变换及应用本节介绍矩阵运算中，矩阵的分块乘法与初等变换的结合使用将单位矩阵做如下分块
n
m
E
E
0
0
实施三种初等变换，得到如下类型矩阵
P
E
E
P
E
E m
nm
n
0
0
,
0
0
,
0
0
.
0
,
0
n
m
n
m
EP
E
E
PE
用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
DC
BA
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换。
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换
BA
DC
DC
BA
E
E
m
n
0
0
DC
PBPA
DC
BA
E
P
n0
0
PBDPAC
BA
DC
BA
EP
E
n
m 0
右乘任一个矩阵，有相应结果。
CD
AB
E
E
DC
BA
m
n
0
0
DCP
BAP
E
P
DC
BA
n0
0
DDPC
BBPA
EP
E
DC
BA
n
m 0
适当选取 P,可使 C+PA=0,例如 A可逆时，取
,1 CAP,0 PAC则 于是
PBDPAC
BA
DC
BA
EP
E
n
m 0
DC
BA
EP
E
n
m 0?
BCAD
BA
10
用下面例子看出在行列式、逆矩阵和解决其它问题中的应用例 1
DC
A
T
0
A,D 可逆，求 1?T
解及由
D
A
DC
A
ECA
E
n
m
0
000
1
1
11
0
0
0
0
D
A
D
A
111
1
11
1
1
0
0
0
0
DCAD
A
ECA
E
D
A
T
n
m
例 2
DC
BA
T 1
11111 )( TCBDADT 存在，并求可逆，试证可逆，设
DC
CBDA
DC
BA
E
BDE
n
m 0
0
11
存在而右端仍可逆，故 11 )( CBDA
再由例 1 有
n
m
E
BDE
DCBDACD
CBDAT
0)(
0)( 1
1111
11
1
1
11111111
11111
)()(
)()(
DBDCBDACDCBDACD
BDCBDACBDA
BAAB?证明行列式的乘积公式例 3
BE
AB
BE
A
E
AE
n
m 00
0
作阵，作为设 nnBA?,
,
0
n
ijm
ij E
EE
P
端为初等变换的关系，得右则由初等矩阵与外，其它元素皆为零，元素为列行，第阵，除了第为这里
ij
ij
a
jinnEnji,,,2,1,?
n
n
n
n
nnnn E
AE
E
E
PPPPP
00
0
111211
变行列式的值，故所对应的初等变换不改又由 ijP
BA
BE
A
BE
A
PP
BE
A
E
AE
nn
0
00
0
11?
次列的对换变成经过右端 n
BE
AB
0
次列的对换变成经过右端 n
BE
AB
0
EB
AB 0
ABEAB
EB
AB
BE
AB
n
n
)1(
0
)1(
0
故例 4
且设 )( nnijaA
nk
aa
aa
kkk
k
1,0
1
111
使则有下三角矩阵 nnB?
上三角矩阵。BA
证明成立下三角矩阵，故命题既是上三角矩阵，又是时，一阶矩阵当作数学归纳法对 1,?nn
命题为真，我们看设对 1?n
1111
1111
1
nnn
n
aa
aa
A
条件，由归纳法假设它仍满足命题中所设 的满足有下三角矩阵 )11(1 )( nnB
上三角矩阵?11 AB
作下面分块对 A
nna
A
A
1
nnnn aA
A
a
A
A
E
1
11
1 01
0
则
nnnn aA
BAB
aA
AB
1
111
1
11
0010
0
再作两次乘法结合起来得到
1
0
1
0
10
0
1
1
1
1
1
1
A
B
A
EB
B
n
m
E
E
0
0
实施三种初等变换，得到如下类型矩阵
P
E
E
P
E
E m
nm
n
0
0
,
0
0
,
0
0
.
0
,
0
n
m
n
m
EP
E
E
PE
用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
DC
BA
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换。
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换
BA
DC
DC
BA
E
E
m
n
0
0
DC
PBPA
DC
BA
E
P
n0
0
PBDPAC
BA
DC
BA
EP
E
n
m 0
右乘任一个矩阵，有相应结果。
CD
AB
E
E
DC
BA
m
n
0
0
DCP
BAP
E
P
DC
BA
n0
0
DDPC
BBPA
EP
E
DC
BA
n
m 0
适当选取 P,可使 C+PA=0,例如 A可逆时，取
,1 CAP,0 PAC则 于是
PBDPAC
BA
DC
BA
EP
E
n
m 0
DC
BA
EP
E
n
m 0?
BCAD
BA
10
用下面例子看出在行列式、逆矩阵和解决其它问题中的应用例 1
DC
A
T
0
A,D 可逆，求 1?T
解及由
D
A
DC
A
ECA
E
n
m
0
000
1
1
11
0
0
0
0
D
A
D
A
111
1
11
1
1
0
0
0
0
DCAD
A
ECA
E
D
A
T
n
m
例 2
DC
BA
T 1
11111 )( TCBDADT 存在，并求可逆，试证可逆，设
DC
CBDA
DC
BA
E
BDE
n
m 0
0
11
存在而右端仍可逆，故 11 )( CBDA
再由例 1 有
n
m
E
BDE
DCBDACD
CBDAT
0)(
0)( 1
1111
11
1
1
11111111
11111
)()(
)()(
DBDCBDACDCBDACD
BDCBDACBDA
BAAB?证明行列式的乘积公式例 3
BE
AB
BE
A
E
AE
n
m 00
0
作阵，作为设 nnBA?,
,
0
n
ijm
ij E
EE
P
端为初等变换的关系，得右则由初等矩阵与外，其它元素皆为零，元素为列行，第阵，除了第为这里
ij
ij
a
jinnEnji,,,2,1,?
n
n
n
n
nnnn E
AE
E
E
PPPPP
00
0
111211
变行列式的值，故所对应的初等变换不改又由 ijP
BA
BE
A
BE
A
PP
BE
A
E
AE
nn
0
00
0
11?
次列的对换变成经过右端 n
BE
AB
0
次列的对换变成经过右端 n
BE
AB
0
EB
AB 0
ABEAB
EB
AB
BE
AB
n
n
)1(
0
)1(
0
故例 4
且设 )( nnijaA
nk
aa
aa
kkk
k
1,0
1
111
使则有下三角矩阵 nnB?
上三角矩阵。BA
证明成立下三角矩阵，故命题既是上三角矩阵，又是时，一阶矩阵当作数学归纳法对 1,?nn
命题为真，我们看设对 1?n
1111
1111
1
nnn
n
aa
aa
A
条件，由归纳法假设它仍满足命题中所设 的满足有下三角矩阵 )11(1 )( nnB
上三角矩阵?11 AB
作下面分块对 A
nna
A
A
1
nnnn aA
A
a
A
A
E
1
11
1 01
0
则
nnnn aA
BAB
aA
AB
1
111
1
11
0010
0
再作两次乘法结合起来得到
1
0
1
0
10
0
1
1
1
1
1
1
A
B
A
EB
B
