1
一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标
2
引入即线性空间的构造如何？
怎样才能便于运算？
问题 Ⅰ
如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？
（基的问题）
问题 Ⅱ
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西
— 数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
（坐标问题）
3
一、线性空间中向量之间的线性关系
1,有关定义,V是数域 P 上的一个线性空间
（ 1） 1 2 1 2,,,( 1 ),,,,,rrV r k k k P和式
1 1 2 2 rrk k k
的一个 线性组合,称为向量组 12,,,r
（ 2）,若存在12,,,,r V12,,,rk k k P?
则称向量 可经向量组 线性表出 ；? 12,,,r
1 1 2 2 rrk k k使
4
若向量组 中每一向量皆可经向量组12,,,s
12,,,r线性表出，则称向量组 12,,,s
可经向量组 线性表出 ；12,,,r
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为 等价的,
（ 3） 12,,,r V，若存在不全为零的数
12,,,rk k k P?，使得
1 1 2 2 0rrk k k
则称向量组 为 线性相关 的；12,,,r
5
如果向量组 不是线性相关 的，即12,,,r
1 1 2 2 0rrk k k
只有在 时才成立，12 0rk k k
则称 为 线性无关 的．12,,,r
2,有关结论
（ 1） 单个向量 线性相关? 0.
单个向量 线性无关 0
向量组 线性相关12,,,r
12,,,r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
6
（ 2） 若向量组 线性无关，且可被12,,,r
向量组 线性表出，则12,,,s ;rs?
若 与 为两线性无关的12,,,r12,,,s
等价向量组，则,rs?
（ 3） 若向量组 线性无关，但向量组12,,,r
12,,,,r线性相关，则 可被向量组?
线性表出,且表法是唯一的,12,,,r
7
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,
则称 V 是 无限维线性空间,
例 1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无限维的,
1,x,x2,…,xn－ 1
对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量因为，
8
2、有限维线性空间
n 维线性空间 ；常记作 dimV＝ n,
在 n 维线性空间 V 中,n 个线性无关的向量
（ 1） n 维线性空间,
若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是任意 n＋ 1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个
（ 2） 基
12,,,n，称为 V 的一组 基 ；
注,零空间的维数定义为 0.
dimV＝ 0 V＝ {0}?
9
下的 坐标,记为 12(,,,),na a a
有时也形式地记作
1
2
12(,,,)n
n
a
a
a
（ 3） 坐标设 为线性空间 V 的一组基，12,,,n,V
则数组,就称为 在基 12,,,n12,,,na a a?
1 1 2 2 1 2,,,,n n na a a a a a P若注意：
向量 的坐标 12(,,,)na a a? 是被向量 和基 12,,,n
唯一确定的．即向量 在基 下的坐标唯一的,12,,,n
但是，在不同基下 的坐标一般是 不同的．
10
3,线性空间的基与维数的确定定理,若线性空间 V中的向量组 满足12,,,n
证明,∵ 线性无关，12,,,na a a
ⅰ ） 线性无关；12,,,n
ⅱ ） 可经 线性表出,,V 12,,,n
则 V为 n 维线性空间,为 V的一组基．12,,,n
∴ V的维数 至少为 n．
任取 V中 n＋ 1个向量,由 ⅱ),向量1 2 1,,,,nn
组 可用向量组 线性表出,1 2 1,,,,nn12,,,na a a
若 是线性无关的，则 n＋ 1≤ n，矛盾．1 2 1,,,,nn
11
例 2 3 维几何空间 R3＝ { (,,),,}x y z x y z R?
1 2 3( 1,0,0 ),(0,1,0 ),(0,0,1 )是 R
3的一组基；
1 2 3( 1,1,1 ),( 1,1,0 ),( 1,0,0 )也是 R3的一组基,
∴ V中任意 n＋ 1个向量 是线性相关的．1 2 1,,,,nn
故,V是 n 维的,就是 V的一组基．12,,,n
一般地，向量空间
12{(,,,),1,2,,}n niP a a a a P i n为 n维的，
12( 1,0,,0 ),(0,1,,0 ),,(0,,0,1 )n
就是 Pn 的一组基．称为 Pn的 标准基,
12
① n维线性空间 V的基不是唯一的,V中任意 n个
② 任意两组基向量是等价的．
例 3（ 1）证明：线性空间 P[x]n是 n维的，且注意：
线性无关的向量都是 V的一组基．
（ 2） 证明,1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1
1,x,x2,…,xn－ 1 为 P[x]n 的一组基．
也为 P[x]n的一组基．
13
证,（ 1） 首先,1,x,x2,…,xn－ 1是线性无关的．
∴ 1,x,x2,…,xn－ 1 为 P[x]n的一组基，
从而,P[x]n是 n维的,
0 1 1(,,,)na a a?
其次,10 1 1( ) [ ]nnnf x a a x a x P x
可经 1,x,x2,…,xn－ 1线性表出．()fx
注：
在基 1,x,x2,…,xn－ 1下的坐标就是此时,10 1 1() nnf x a a x a x
14
（ 2） 1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1是线性无关的．
又对 ( ) [ ] nf x P x,按泰勒展开公式有
( 1 )
1()( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) !
n
nfaf x f a f a x a x a
n
即,f(x)可经 1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1线性表出,
∴ 1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1为 P[x]n的一组基．
在基 1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1下的坐标是
( 1 ) ()
( ( ),( ),,)( 1 ) !
nfa
f a f a n
注,此时,10 1 1() nnf x a a x a x
15
若把 C看成是实数域 R上的线性空间呢？
而实数域 R上的线性空间 C为 2维的,数 1,i就为例 4 求全体复数的集合 C看成复数域 C上的线性空间的维数与一组基；
解,复数域 C上的线性空间 C是 1维的,数 1就是它的一组基；
它的一组基．
注,任意数域 P看成是它自身上的线性空间是一维的，数 1就是它的一组基,
16
1 2 3 4,,,下的坐标，其中
1 2 3 4( 1,1,1,1 ),( 1,1,1,1 ),( 1,1,1,1 ),( 1,1,1,1 )
解：设 1 1 2 2 3 3 4 4x x x x,则有线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
2
1
1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
解之得,1 2 3 45 1 1 1,,,4 4 4 4x x x x．
∴ ξ在基 1 2 3 4,,,下的坐标为 5 1 1 1(,,,)4 4 4 4．
例 5 在线性空间 中求向量 在基4P (1,2,1,1)
一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标
2
引入即线性空间的构造如何？
怎样才能便于运算？
问题 Ⅰ
如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？
（基的问题）
问题 Ⅱ
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西
— 数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
（坐标问题）
3
一、线性空间中向量之间的线性关系
1,有关定义,V是数域 P 上的一个线性空间
（ 1） 1 2 1 2,,,( 1 ),,,,,rrV r k k k P和式
1 1 2 2 rrk k k
的一个 线性组合,称为向量组 12,,,r
（ 2）,若存在12,,,,r V12,,,rk k k P?
则称向量 可经向量组 线性表出 ；? 12,,,r
1 1 2 2 rrk k k使
4
若向量组 中每一向量皆可经向量组12,,,s
12,,,r线性表出，则称向量组 12,,,s
可经向量组 线性表出 ；12,,,r
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为 等价的,
（ 3） 12,,,r V，若存在不全为零的数
12,,,rk k k P?，使得
1 1 2 2 0rrk k k
则称向量组 为 线性相关 的；12,,,r
5
如果向量组 不是线性相关 的，即12,,,r
1 1 2 2 0rrk k k
只有在 时才成立，12 0rk k k
则称 为 线性无关 的．12,,,r
2,有关结论
（ 1） 单个向量 线性相关? 0.
单个向量 线性无关 0
向量组 线性相关12,,,r
12,,,r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
6
（ 2） 若向量组 线性无关，且可被12,,,r
向量组 线性表出，则12,,,s ;rs?
若 与 为两线性无关的12,,,r12,,,s
等价向量组，则,rs?
（ 3） 若向量组 线性无关，但向量组12,,,r
12,,,,r线性相关，则 可被向量组?
线性表出,且表法是唯一的,12,,,r
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二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,
则称 V 是 无限维线性空间,
例 1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无限维的,
1,x,x2,…,xn－ 1
对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量因为，
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2、有限维线性空间
n 维线性空间 ；常记作 dimV＝ n,
在 n 维线性空间 V 中,n 个线性无关的向量
（ 1） n 维线性空间,
若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是任意 n＋ 1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个
（ 2） 基
12,,,n，称为 V 的一组 基 ；
注,零空间的维数定义为 0.
dimV＝ 0 V＝ {0}?
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下的 坐标,记为 12(,,,),na a a
有时也形式地记作
1
2
12(,,,)n
n
a
a
a
（ 3） 坐标设 为线性空间 V 的一组基，12,,,n,V
则数组,就称为 在基 12,,,n12,,,na a a?
1 1 2 2 1 2,,,,n n na a a a a a P若注意：
向量 的坐标 12(,,,)na a a? 是被向量 和基 12,,,n
唯一确定的．即向量 在基 下的坐标唯一的,12,,,n
但是，在不同基下 的坐标一般是 不同的．
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3,线性空间的基与维数的确定定理,若线性空间 V中的向量组 满足12,,,n
证明,∵ 线性无关，12,,,na a a
ⅰ ） 线性无关；12,,,n
ⅱ ） 可经 线性表出,,V 12,,,n
则 V为 n 维线性空间,为 V的一组基．12,,,n
∴ V的维数 至少为 n．
任取 V中 n＋ 1个向量,由 ⅱ),向量1 2 1,,,,nn
组 可用向量组 线性表出,1 2 1,,,,nn12,,,na a a
若 是线性无关的，则 n＋ 1≤ n，矛盾．1 2 1,,,,nn
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例 2 3 维几何空间 R3＝ { (,,),,}x y z x y z R?
1 2 3( 1,0,0 ),(0,1,0 ),(0,0,1 )是 R
3的一组基；
1 2 3( 1,1,1 ),( 1,1,0 ),( 1,0,0 )也是 R3的一组基,
∴ V中任意 n＋ 1个向量 是线性相关的．1 2 1,,,,nn
故,V是 n 维的,就是 V的一组基．12,,,n
一般地，向量空间
12{(,,,),1,2,,}n niP a a a a P i n为 n维的，
12( 1,0,,0 ),(0,1,,0 ),,(0,,0,1 )n
就是 Pn 的一组基．称为 Pn的 标准基,
12
① n维线性空间 V的基不是唯一的,V中任意 n个
② 任意两组基向量是等价的．
例 3（ 1）证明：线性空间 P[x]n是 n维的，且注意：
线性无关的向量都是 V的一组基．
（ 2） 证明,1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1
1,x,x2,…,xn－ 1 为 P[x]n 的一组基．
也为 P[x]n的一组基．
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证,（ 1） 首先,1,x,x2,…,xn－ 1是线性无关的．
∴ 1,x,x2,…,xn－ 1 为 P[x]n的一组基，
从而,P[x]n是 n维的,
0 1 1(,,,)na a a?
其次,10 1 1( ) [ ]nnnf x a a x a x P x
可经 1,x,x2,…,xn－ 1线性表出．()fx
注：
在基 1,x,x2,…,xn－ 1下的坐标就是此时,10 1 1() nnf x a a x a x
14
（ 2） 1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1是线性无关的．
又对 ( ) [ ] nf x P x,按泰勒展开公式有
( 1 )
1()( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) !
n
nfaf x f a f a x a x a
n
即,f(x)可经 1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1线性表出,
∴ 1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1为 P[x]n的一组基．
在基 1,x－ a,(x－ a)2,…,(x－ a)n－ 1下的坐标是
( 1 ) ()
( ( ),( ),,)( 1 ) !
nfa
f a f a n
注,此时,10 1 1() nnf x a a x a x
15
若把 C看成是实数域 R上的线性空间呢？
而实数域 R上的线性空间 C为 2维的,数 1,i就为例 4 求全体复数的集合 C看成复数域 C上的线性空间的维数与一组基；
解,复数域 C上的线性空间 C是 1维的,数 1就是它的一组基；
它的一组基．
注,任意数域 P看成是它自身上的线性空间是一维的，数 1就是它的一组基,
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1 2 3 4,,,下的坐标，其中
1 2 3 4( 1,1,1,1 ),( 1,1,1,1 ),( 1,1,1,1 ),( 1,1,1,1 )
解：设 1 1 2 2 3 3 4 4x x x x,则有线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
2
1
1
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x x x x
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解之得,1 2 3 45 1 1 1,,,4 4 4 4x x x x．
∴ ξ在基 1 2 3 4,,,下的坐标为 5 1 1 1(,,,)4 4 4 4．
例 5 在线性空间 中求向量 在基4P (1,2,1,1)
