一、正定二次型二、正定矩阵三,n元实二次型的分类四、内容小结
§ 4 正定二次型一、正定二次型则称 为 正定二次型,f
12(,,,) 0nf c c c?
如，二次型 是正定的； 212
1
(,,,)
n
ni
i
f x x x x
1
2
12
1
(,,,)
n
ni
i
f x x x x
一组不全为零的实数 都有12,,,nc c c
1、定义,实二次型 若对任意12(,,,)nf x x x
§ 4 正定二次型
2、正定性的判定
1） 实二次型 正定X A X?
,0nX R X A X若 X 0,则
2） 设实二次型
f 正定 0,1,2,,id i n
证：充分性显然,下证必要性，若 f 正定，取
2 2 21 2 1 1 2 2(,,,)n n nf x x x d x d x d x
则 20( ) 0,0,1,2,,i i if X d x d i n
0 ()( 0,,0,1,0,,0 ),1,2,,iX i n
§ 4 正定二次型经过非退化线性替换 X＝ CY 化成则，
3） 非退化线性替换不改变二次型的正定性,
11
22
0,
nn
kc
XC
kc
00YY
1 2 1 2(,,,) ( ) (,,,)nnf x x x Y C A C Y g y y y
1 2 0 0 0 0 1 2(,,,) ( ) (,,,)nnf c c c X A X Y C A C Y g k k k
任取一组不全为零的数 令12,,,,nk k k
证明：设正定二次型 12(,,,)nf x x x X A X
§ 4 正定二次型所以，非退化线性 替换不改变二次型的正定性,
又由于 C可逆,0?0Y,所以 0,X?0
同理，若 正定，则 正定,fg
1 2 1 2(,,,) (,,,) 0nng k k k f c c c
12(,,,)ng y y y? 正 定,
反之，实二次型 可经过非退化12(,,,)ng y y y
不全为 0.即 12,,,nc c c
线性 替换 变到实二次型 12(,,,),nf x x xYX-1=C
§ 4 正定二次型
秩 ＝ n＝ （ 的正惯性指数 ）,f p f
4） (定理 5) n元实二次型 正定12(,,,)nf x x x
X C Y?证：设 经非退化线性替换12(,,,)nf x x x
2 2 21 2 1 1 2 2(,,,)n n nf x x x d y d y d y
变成标准形由 2),正定f? 0,1,2,,id i n
即,的正惯性指数 p＝ n＝ 秩,ff
§ 4 正定二次型规范形为
2 2 212,nz z z
2 2 21 1 2 2,0,1,2,,nnd y d y d y i i n
5） 正定二次型 的标准形为12(,,,)nf x x x
§ 4 正定二次型
1、定义,设 A为实对称矩阵，若二次型 X AX?
正定二次型的规范形为 2 2 212 nz z z Z E Z
是正定的,则称 A为 正定矩阵,
2、正定矩阵的判定
2) 实对称矩阵 A正定二、正定矩阵
1） 实对称矩阵 A正定 A与单位矩阵 E合同,?
存在可逆矩阵 C,使 A C C,?
A与 E合同，即存在可逆矩阵 C,使 A C E C C C3） 实对称矩阵 A正定 A与任一正对角矩阵合同,?
可见，正定矩阵是可逆矩阵,
§ 4 正定二次型
3） 实对称矩阵 A正定 A与任一正对角矩阵合同,?
即,D与 E合同,
为任一正对角矩阵，则若
1
2,0,1,2,,
i
n
d
dD d i n
d
11
22
1
1
1
nn
dd
dd
D
dd
§ 4 正定二次型例 1,设 A为 n阶正定矩阵，证明
（ 5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋ B 也是正定矩阵；
（ 2） 是正定矩阵；( 0 )kA k?
（ 1） 是正定矩阵；1A?
（ 3） 是正定矩阵；*A
（ 4） 是正定矩阵（ m为任意整数）；mA
§ 4 正定二次型证,（ 1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使于是有，
故,正定,1A?
（ 2）由于 A 正定，对 都有,0,nX R X0,X A X
因此有 ( ) 0,X k A X k X A X
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ) ( )P A P P A P P A P E
,P A P E
则 Q可逆，且 1,Q A Q E令 1( ),QP
故,正定,kA
即,与单位矩阵 E合同,1A?
§ 4 正定二次型
，由（ 1）（ 2）即得 正定,*1A A A又 *A
（ 3） A正定，则存在可逆矩阵 C,使 A C C,于是
2 0A C C C
当 m＝ 2k 时,2 ( ),m k k k k kA A A A A E A
即,与单位矩阵 E合同，所以 正定,mAmA
（ 4）由于 A 正定，知 为 n 阶可逆对称矩阵,mA
§ 4 正定二次型
（ 5）由于 A,B正定，对 都有,0,nX R X
0,0X A X X B X
因此有 ( ) 0,X A B X X A X X B X
故,A＋ B正定,
当 m＝ 2k＋ 1 时,21 ( ),m k k k k kA A A A A A A A
即,与正定矩阵 A合同，而 A与单位矩阵 E合同，mA
所以 与 E合同，即 正定,mAmA
§ 4 正定二次型
3、正定矩阵的必要条件
1） 实对称矩阵 正定()ij n nAa
0,1,2,,.iia i n
取 ( 0,,0,1,0,,0 )i
iX 第 个正定,
证：若 A正定,则二次型 12(,,,) X A Xnf x x x
( ) 0,1,2,,i i i i if X X A X a i n 则
§ 4 正定二次型反之不然,即,为对称矩阵，且()ij n nAa
但 A未必正定,如0,1,2,,,iia i n
11,11A
所以 A不是正定的,
注意
21 2 1 2(,) ( ),f x x X A X x x
当 时，有1 2 1 21 (,) 0,x x f x x
§ 4 正定二次型
2) 实对称矩阵 A正定 d e t 0AA
但 不是 正定二次型,2212X A X x x
10,1 001AA如
2 0.A C C C
注意证：若 A正定，则存在可逆矩阵 C,使,A C C
从而反之不然,即实对称矩阵 A，且 A未必正定,0,A?
§ 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式,
1 1 1
1
1 ) ( 1,2,,)
k
kk
k k k
aa
A k R
aa
称为 A为第 k阶 顺序主子矩阵 ;
() nnijA a R设矩阵
1 1 1
1
2 ) de t ( 1,2,,)
k
k
k k k
aa
P A k
aa
称为 A的第 k阶 顺序主子式,
§ 4 正定二次型
3） k 级行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
k
k
k k k k
i i i i i i
i i i i i i
k
i i i i i i
a a a
a a a
Q
a a a
称为 A的一个 k 阶 主子式,
即行指标与列指标相同的 k阶子式
§ 4 正定二次型
5、（定理 6）
A的顺序主子式 Pk 全大于零,?
12
11
(,,,)
nn
n ij i j
ij
f x x x a x x X A X
正定实二次型
12
11
(,,,)
kk
k k ij i j
ij
f x x x a x x
1
2
12(,,,) ( 1,2,,)k
k
x
xx x x A k
x
证,必要性,设 正定，对每一个 k12(,,,)nf x x x
( 1 ),k k n令
§ 4 正定二次型是正定的,从而 正定,12(,,,)knf x x x? ( 1,2,,)Ak
对任意一不全为零的数 有12,,,,kc c c
1 2 1 2(,,,) (,,,,0,,0) 0k k kf c c c f c c c
d e t ( 1,2,,) 0,1,2,,.kP A k nk
充分性,对 n作数学归纳法,
n＝ 1时,正定,结论成立,211 11 11 10,( )ia a f x a x
假设对于 n－ 1元二次型结论成立，下证 n元的情形,
( ),ij n nAa设
§ 4 正定二次型又 A的顺序主子式全大于零，所以 A1的顺序主子式由归纳假设,A1正定，即存在可逆矩阵 G,使令
1
1 1 1,1
2
1
1,1 1,1
1,
,
n
n
n
n n n
nn
aaa
a
A
aa a
,=
则 1
nn
AA
a
11,nG A G E
也全大于零,
§ 4 正定二次型则
1112 1 1 2 0() 1 0 1nnn
nn
EGE E GC C A C C
GaG
1 00n
nn
E
a G G
令1 0,01GC?
再令 12,01nEGC
则 1111 000 1 0 11 n
nn
EGAGGC A C
Ga
§ 4 正定二次型由判定充要条件 3),知 A正定,所以 正定,XAX?
再令 12,nnC C C a a G G
则有 1 00nEC AC a
两边取行列式，得 2C A a?
又 >0,0aA
即 为正对角矩阵,1nE a
§ 4 正定二次型例 2,判定下面二次型是否正定
.
其顺序主子式正定
.
f?
1
55 0,1 0,0.PA
23
2 P P
2 1
2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 31 ) (,,) 5 5 4 8 4f x x x x x x x x x x x x
解,的矩阵
5 2 4
2 1 2
4 2 5
A
1 2 3(,,)f x x x
§ 4 正定二次型解,的矩阵12(,,,)nf x x x
11
1
22
11
1
22
11
1
22
A
A的第 k阶顺序主子式 Pk
（习题 7） 212
11
2 ) (,,,)
n
n i i j
i i j n
f x x x x x x
§ 4 正定二次型
1,2,,.kn? 正定
.
f?
11
1 1 11
22 11
11 1
11
22
22
2
11
11 1
1 22
22
k
k
k
k
P
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1000
( ) 0,2
2 2 2 2
0 0 0 0
k
k
k
k k k
§ 4 正定二次型例 3,证明：若实对称矩阵 A正定,则 A的任意一个
k 阶主子式证：作二次型
（习题 9）
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
0.
k
k
k k k k
i i i i i i
i i i i i i
k
i i i i i i
a a a
a a a
Q
a a a
1
2
12
(,,,)
k
k
i
i
i i i k
i
x
x
x x x Q
x
12
11
(,,,)
k s t s t
kk
i i i i i i i
st
g x x x a x x
§ 4 正定二次型其中，,,1,2,,0,,1,2,,sisj
s
c j i s kc
j i s k
当当对任意一不全为零的数,有12,,,ki i ic c c
00 0,X A X从而，
由于 A 正定，有 正定，即有12(,,,)nf x x x X A X
0.kQ?行列式大于零，即
1 2 1 2(,,,) ( 0,,0,,0,,,0,,,0,,0 )kki i i i i ig c c c f c c c?
00 0X A X
0 1 2(,,,) 0,nX c c c
即,是正定二次型，因此其矩阵的12(,,,)ki i ig x x x
§ 4 正定二次型设 n元二次型 12(,,,),,nnnf x x x X A X A A R
若对任意一组不全为零的实数 12,,,,nc c c都有
②,则 称为 半正定二次型,12(,,,) 0nf c c c?f
③,则 称为 半负定二次型,f12(,,,) 0nf c c c?
① 则 称为 负定二次型,12(,,,) 0,nf c c c?f
④ 既不是半正定，也不是半负定，则 称为ff
1．定义三,n元实二次型的分类不定二次型,
§ 4 正定二次型注,相应于此,n 级实对称矩阵可分类为：
① 正定矩阵 ② 负定矩阵 ③ 半正定矩阵
1） 实二次型 正定12(,,,)nf x x x
12(,,,)nf x x x 负定；
实对称矩阵 A正定 － A负定,?
半负定； 12(,,,)nf x x x
2） 实二次型 半正定12(,,,)nf x x x
实对称矩阵 A半正定 － A半负定
.
2、判定
④半负定矩阵 ⑤不定矩阵
§ 4 正定二次型
3） (定理 7)设 n元实二次型 12(,,,),nf x x x X A X
① 半正定 ；12(,,,)nf x x x
② A半正定；
③ 秩 =秩 (A)= （ 正惯性指数 ） ；f p
④ A合同于非负对角阵,即存在可逆阵 C,使则下列有条件等价：,nnA A R
⑤ 存在,使 ；nnCR A C C
⑥ A的所有 主子式 皆大于或等于零,（补充题 9）
由此可得，
A半正定 0A
（见习题 14）
1
,0,1,2,,i
n
d
C AC d i n
d
§ 4 正定二次型例 4、证明：实对称矩阵 A负定
A的一切偶数阶顺序主子式皆大于零，一切证：设 A的第 k阶顺序主子式为 Pk，则－ A的第 k阶奇数阶主子式皆小于零,
顺序主子式为 (－ 1)kPk,又
A负定 － A正定?
即,( 1 ) 0,k kP
－ A的一切顺序主子式全大于零，
所以，当 k为偶数时,0,kP?
当 k为奇数时,0.kP?
§ 4 正定二次型例 5,证明：
为半正定二次型,（习题 15）
证法一,
对任意一组不全为 0的数 12,,,nc c c,有故,f 半正定,
2
12
11
(,,,) ( 1 ) 2
n
n i i j
i i j n
f x x x n x x x
2
1
()ij
iin
xx
2
12
1
(,,,) ( ) 0n i j
i j n
f c c c c c
22
12
11
(,,,) ( )
nn
n i i
ii
f x x x n x x
§ 4 正定二次型证法二,
2
1
111 2 2
1
1
1
1 1 1
1
nn
ii
iin
n
i
n
i
x xx
x x x x
BB
xnx
1
2
1
1
1n
x
xB
x
令,
12(,) ( ) ( ) ( ),g y y Y B B Y B Y B Y考虑二次型则则对 20 0 0 0,0,( ) 0,Y R Y Y B B Y有
§ 4 正定二次型
2
211
11
1
d e t ( ) 0.
nn
nnii
ii
n ii
ii
i
i
xx
B B n x x
xn
12(,)g y y即 半 正 定,
.f故 半 正 定
§ 4 正定二次型例 6、设 A为实对称矩阵，证明：
（ 1）当实数 t充分大时，矩阵 tE＋ A是正定矩阵；
（ 2）当实数 s充分小时，矩阵 E＋ s A是正定矩阵,
证 （ 1） 设 tE＋ A的 k阶顺序主子式为 Pk，则取 t1，使得当 1 1 1 1,0t t P t a
取 t2，使得当 1 1 1 222
2 1 2 2
t a at t P
a t a
1 1 1 1
1
1
k kk
kk
k k k
t a a
P t a t a
a t a
§ 4 正定二次型取 tn，使得当,0nnt t P tE A
令 0 1 2m a x {,,,}nt t t t?
0,0,1,2,,kt t P k n时则当故,tE＋ A是正定矩阵,
（ 2）当 s 充分小时,为充分大，由（ 1）1s
因此 正定,1()ss E A E s A是正定矩阵，1s EA?
……….....
§ 4 正定二次型四、小结
1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二 次型；
基本概念
2、顺序主子式、主子式正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；
基本结论
1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、
半正定、半负定、不定）性不变,
§ 4 正定二次型
3、实二次型 f (x1,x2,…,xn)＝ X′AX 正定负定（半负定）,12(,,,)nf x x x
2,实二次型 正定（半正定）12(,,,)nf x x x
A 与单位矩阵 E 合同，即存在可逆矩阵 C，使
A＝ C′C
A 的各级顺序主子式全大于零
f 的正惯性指数 p 等于 n
4、实对称矩阵 A 正定 0A
实对称矩阵 A 半正定 0A
§ 4 正定二次型存在,使 nnCR A C C
5、实二次型 f (x1,x2,…,xn)＝ X′AX 半正定
A 与非负对角阵合同，即存在可逆矩阵 C，使
A 的所有主子式全大于或等于零,
秩 f =秩 (A)= p（ 正惯性指数）
1
,0,1,2,,i
n
d
C AC d i n
d
§ 4 正定二次型一、正定二次型则称 为 正定二次型,f
12(,,,) 0nf c c c?
如，二次型 是正定的； 212
1
(,,,)
n
ni
i
f x x x x
1
2
12
1
(,,,)
n
ni
i
f x x x x
一组不全为零的实数 都有12,,,nc c c
1、定义,实二次型 若对任意12(,,,)nf x x x
§ 4 正定二次型
2、正定性的判定
1） 实二次型 正定X A X?
,0nX R X A X若 X 0,则
2） 设实二次型
f 正定 0,1,2,,id i n
证：充分性显然,下证必要性，若 f 正定，取
2 2 21 2 1 1 2 2(,,,)n n nf x x x d x d x d x
则 20( ) 0,0,1,2,,i i if X d x d i n
0 ()( 0,,0,1,0,,0 ),1,2,,iX i n
§ 4 正定二次型经过非退化线性替换 X＝ CY 化成则，
3） 非退化线性替换不改变二次型的正定性,
11
22
0,
nn
kc
XC
kc
00YY
1 2 1 2(,,,) ( ) (,,,)nnf x x x Y C A C Y g y y y
1 2 0 0 0 0 1 2(,,,) ( ) (,,,)nnf c c c X A X Y C A C Y g k k k
任取一组不全为零的数 令12,,,,nk k k
证明：设正定二次型 12(,,,)nf x x x X A X
§ 4 正定二次型所以，非退化线性 替换不改变二次型的正定性,
又由于 C可逆,0?0Y,所以 0,X?0
同理，若 正定，则 正定,fg
1 2 1 2(,,,) (,,,) 0nng k k k f c c c
12(,,,)ng y y y? 正 定,
反之，实二次型 可经过非退化12(,,,)ng y y y
不全为 0.即 12,,,nc c c
线性 替换 变到实二次型 12(,,,),nf x x xYX-1=C
§ 4 正定二次型
秩 ＝ n＝ （ 的正惯性指数 ）,f p f
4） (定理 5) n元实二次型 正定12(,,,)nf x x x
X C Y?证：设 经非退化线性替换12(,,,)nf x x x
2 2 21 2 1 1 2 2(,,,)n n nf x x x d y d y d y
变成标准形由 2),正定f? 0,1,2,,id i n
即,的正惯性指数 p＝ n＝ 秩,ff
§ 4 正定二次型规范形为
2 2 212,nz z z
2 2 21 1 2 2,0,1,2,,nnd y d y d y i i n
5） 正定二次型 的标准形为12(,,,)nf x x x
§ 4 正定二次型
1、定义,设 A为实对称矩阵，若二次型 X AX?
正定二次型的规范形为 2 2 212 nz z z Z E Z
是正定的,则称 A为 正定矩阵,
2、正定矩阵的判定
2) 实对称矩阵 A正定二、正定矩阵
1） 实对称矩阵 A正定 A与单位矩阵 E合同,?
存在可逆矩阵 C,使 A C C,?
A与 E合同，即存在可逆矩阵 C,使 A C E C C C3） 实对称矩阵 A正定 A与任一正对角矩阵合同,?
可见，正定矩阵是可逆矩阵,
§ 4 正定二次型
3） 实对称矩阵 A正定 A与任一正对角矩阵合同,?
即,D与 E合同,
为任一正对角矩阵，则若
1
2,0,1,2,,
i
n
d
dD d i n
d
11
22
1
1
1
nn
dd
dd
D
dd
§ 4 正定二次型例 1,设 A为 n阶正定矩阵，证明
（ 5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋ B 也是正定矩阵；
（ 2） 是正定矩阵；( 0 )kA k?
（ 1） 是正定矩阵；1A?
（ 3） 是正定矩阵；*A
（ 4） 是正定矩阵（ m为任意整数）；mA
§ 4 正定二次型证,（ 1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使于是有，
故,正定,1A?
（ 2）由于 A 正定，对 都有,0,nX R X0,X A X
因此有 ( ) 0,X k A X k X A X
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ) ( )P A P P A P P A P E
,P A P E
则 Q可逆，且 1,Q A Q E令 1( ),QP
故,正定,kA
即,与单位矩阵 E合同,1A?
§ 4 正定二次型
，由（ 1）（ 2）即得 正定,*1A A A又 *A
（ 3） A正定，则存在可逆矩阵 C,使 A C C,于是
2 0A C C C
当 m＝ 2k 时,2 ( ),m k k k k kA A A A A E A
即,与单位矩阵 E合同，所以 正定,mAmA
（ 4）由于 A 正定，知 为 n 阶可逆对称矩阵,mA
§ 4 正定二次型
（ 5）由于 A,B正定，对 都有,0,nX R X
0,0X A X X B X
因此有 ( ) 0,X A B X X A X X B X
故,A＋ B正定,
当 m＝ 2k＋ 1 时,21 ( ),m k k k k kA A A A A A A A
即,与正定矩阵 A合同，而 A与单位矩阵 E合同，mA
所以 与 E合同，即 正定,mAmA
§ 4 正定二次型
3、正定矩阵的必要条件
1） 实对称矩阵 正定()ij n nAa
0,1,2,,.iia i n
取 ( 0,,0,1,0,,0 )i
iX 第 个正定,
证：若 A正定,则二次型 12(,,,) X A Xnf x x x
( ) 0,1,2,,i i i i if X X A X a i n 则
§ 4 正定二次型反之不然,即,为对称矩阵，且()ij n nAa
但 A未必正定,如0,1,2,,,iia i n
11,11A
所以 A不是正定的,
注意
21 2 1 2(,) ( ),f x x X A X x x
当 时，有1 2 1 21 (,) 0,x x f x x
§ 4 正定二次型
2) 实对称矩阵 A正定 d e t 0AA
但 不是 正定二次型,2212X A X x x
10,1 001AA如
2 0.A C C C
注意证：若 A正定，则存在可逆矩阵 C,使,A C C
从而反之不然,即实对称矩阵 A，且 A未必正定,0,A?
§ 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式,
1 1 1
1
1 ) ( 1,2,,)
k
kk
k k k
aa
A k R
aa
称为 A为第 k阶 顺序主子矩阵 ;
() nnijA a R设矩阵
1 1 1
1
2 ) de t ( 1,2,,)
k
k
k k k
aa
P A k
aa
称为 A的第 k阶 顺序主子式,
§ 4 正定二次型
3） k 级行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
k
k
k k k k
i i i i i i
i i i i i i
k
i i i i i i
a a a
a a a
Q
a a a
称为 A的一个 k 阶 主子式,
即行指标与列指标相同的 k阶子式
§ 4 正定二次型
5、（定理 6）
A的顺序主子式 Pk 全大于零,?
12
11
(,,,)
nn
n ij i j
ij
f x x x a x x X A X
正定实二次型
12
11
(,,,)
kk
k k ij i j
ij
f x x x a x x
1
2
12(,,,) ( 1,2,,)k
k
x
xx x x A k
x
证,必要性,设 正定，对每一个 k12(,,,)nf x x x
( 1 ),k k n令
§ 4 正定二次型是正定的,从而 正定,12(,,,)knf x x x? ( 1,2,,)Ak
对任意一不全为零的数 有12,,,,kc c c
1 2 1 2(,,,) (,,,,0,,0) 0k k kf c c c f c c c
d e t ( 1,2,,) 0,1,2,,.kP A k nk
充分性,对 n作数学归纳法,
n＝ 1时,正定,结论成立,211 11 11 10,( )ia a f x a x
假设对于 n－ 1元二次型结论成立，下证 n元的情形,
( ),ij n nAa设
§ 4 正定二次型又 A的顺序主子式全大于零，所以 A1的顺序主子式由归纳假设,A1正定，即存在可逆矩阵 G,使令
1
1 1 1,1
2
1
1,1 1,1
1,
,
n
n
n
n n n
nn
aaa
a
A
aa a
,=
则 1
nn
AA
a
11,nG A G E
也全大于零,
§ 4 正定二次型则
1112 1 1 2 0() 1 0 1nnn
nn
EGE E GC C A C C
GaG
1 00n
nn
E
a G G
令1 0,01GC?
再令 12,01nEGC
则 1111 000 1 0 11 n
nn
EGAGGC A C
Ga
§ 4 正定二次型由判定充要条件 3),知 A正定,所以 正定,XAX?
再令 12,nnC C C a a G G
则有 1 00nEC AC a
两边取行列式，得 2C A a?
又 >0,0aA
即 为正对角矩阵,1nE a
§ 4 正定二次型例 2,判定下面二次型是否正定
.
其顺序主子式正定
.
f?
1
55 0,1 0,0.PA
23
2 P P
2 1
2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 31 ) (,,) 5 5 4 8 4f x x x x x x x x x x x x
解,的矩阵
5 2 4
2 1 2
4 2 5
A
1 2 3(,,)f x x x
§ 4 正定二次型解,的矩阵12(,,,)nf x x x
11
1
22
11
1
22
11
1
22
A
A的第 k阶顺序主子式 Pk
（习题 7） 212
11
2 ) (,,,)
n
n i i j
i i j n
f x x x x x x
§ 4 正定二次型
1,2,,.kn? 正定
.
f?
11
1 1 11
22 11
11 1
11
22
22
2
11
11 1
1 22
22
k
k
k
k
P
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1000
( ) 0,2
2 2 2 2
0 0 0 0
k
k
k
k k k
§ 4 正定二次型例 3,证明：若实对称矩阵 A正定,则 A的任意一个
k 阶主子式证：作二次型
（习题 9）
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
0.
k
k
k k k k
i i i i i i
i i i i i i
k
i i i i i i
a a a
a a a
Q
a a a
1
2
12
(,,,)
k
k
i
i
i i i k
i
x
x
x x x Q
x
12
11
(,,,)
k s t s t
kk
i i i i i i i
st
g x x x a x x
§ 4 正定二次型其中，,,1,2,,0,,1,2,,sisj
s
c j i s kc
j i s k
当当对任意一不全为零的数,有12,,,ki i ic c c
00 0,X A X从而，
由于 A 正定，有 正定，即有12(,,,)nf x x x X A X
0.kQ?行列式大于零，即
1 2 1 2(,,,) ( 0,,0,,0,,,0,,,0,,0 )kki i i i i ig c c c f c c c?
00 0X A X
0 1 2(,,,) 0,nX c c c
即,是正定二次型，因此其矩阵的12(,,,)ki i ig x x x
§ 4 正定二次型设 n元二次型 12(,,,),,nnnf x x x X A X A A R
若对任意一组不全为零的实数 12,,,,nc c c都有
②,则 称为 半正定二次型,12(,,,) 0nf c c c?f
③,则 称为 半负定二次型,f12(,,,) 0nf c c c?
① 则 称为 负定二次型,12(,,,) 0,nf c c c?f
④ 既不是半正定，也不是半负定，则 称为ff
1．定义三,n元实二次型的分类不定二次型,
§ 4 正定二次型注,相应于此,n 级实对称矩阵可分类为：
① 正定矩阵 ② 负定矩阵 ③ 半正定矩阵
1） 实二次型 正定12(,,,)nf x x x
12(,,,)nf x x x 负定；
实对称矩阵 A正定 － A负定,?
半负定； 12(,,,)nf x x x
2） 实二次型 半正定12(,,,)nf x x x
实对称矩阵 A半正定 － A半负定
.
2、判定
④半负定矩阵 ⑤不定矩阵
§ 4 正定二次型
3） (定理 7)设 n元实二次型 12(,,,),nf x x x X A X
① 半正定 ；12(,,,)nf x x x
② A半正定；
③ 秩 =秩 (A)= （ 正惯性指数 ） ；f p
④ A合同于非负对角阵,即存在可逆阵 C,使则下列有条件等价：,nnA A R
⑤ 存在,使 ；nnCR A C C
⑥ A的所有 主子式 皆大于或等于零,（补充题 9）
由此可得，
A半正定 0A
（见习题 14）
1
,0,1,2,,i
n
d
C AC d i n
d
§ 4 正定二次型例 4、证明：实对称矩阵 A负定
A的一切偶数阶顺序主子式皆大于零，一切证：设 A的第 k阶顺序主子式为 Pk，则－ A的第 k阶奇数阶主子式皆小于零,
顺序主子式为 (－ 1)kPk,又
A负定 － A正定?
即,( 1 ) 0,k kP
－ A的一切顺序主子式全大于零，
所以，当 k为偶数时,0,kP?
当 k为奇数时,0.kP?
§ 4 正定二次型例 5,证明：
为半正定二次型,（习题 15）
证法一,
对任意一组不全为 0的数 12,,,nc c c,有故,f 半正定,
2
12
11
(,,,) ( 1 ) 2
n
n i i j
i i j n
f x x x n x x x
2
1
()ij
iin
xx
2
12
1
(,,,) ( ) 0n i j
i j n
f c c c c c
22
12
11
(,,,) ( )
nn
n i i
ii
f x x x n x x
§ 4 正定二次型证法二,
2
1
111 2 2
1
1
1
1 1 1
1
nn
ii
iin
n
i
n
i
x xx
x x x x
BB
xnx
1
2
1
1
1n
x
xB
x
令,
12(,) ( ) ( ) ( ),g y y Y B B Y B Y B Y考虑二次型则则对 20 0 0 0,0,( ) 0,Y R Y Y B B Y有
§ 4 正定二次型
2
211
11
1
d e t ( ) 0.
nn
nnii
ii
n ii
ii
i
i
xx
B B n x x
xn
12(,)g y y即 半 正 定,
.f故 半 正 定
§ 4 正定二次型例 6、设 A为实对称矩阵，证明：
（ 1）当实数 t充分大时，矩阵 tE＋ A是正定矩阵；
（ 2）当实数 s充分小时，矩阵 E＋ s A是正定矩阵,
证 （ 1） 设 tE＋ A的 k阶顺序主子式为 Pk，则取 t1，使得当 1 1 1 1,0t t P t a
取 t2，使得当 1 1 1 222
2 1 2 2
t a at t P
a t a
1 1 1 1
1
1
k kk
kk
k k k
t a a
P t a t a
a t a
§ 4 正定二次型取 tn，使得当,0nnt t P tE A
令 0 1 2m a x {,,,}nt t t t?
0,0,1,2,,kt t P k n时则当故,tE＋ A是正定矩阵,
（ 2）当 s 充分小时,为充分大，由（ 1）1s
因此 正定,1()ss E A E s A是正定矩阵，1s EA?
……….....
§ 4 正定二次型四、小结
1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二 次型；
基本概念
2、顺序主子式、主子式正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；
基本结论
1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、
半正定、半负定、不定）性不变,
§ 4 正定二次型
3、实二次型 f (x1,x2,…,xn)＝ X′AX 正定负定（半负定）,12(,,,)nf x x x
2,实二次型 正定（半正定）12(,,,)nf x x x
A 与单位矩阵 E 合同，即存在可逆矩阵 C，使
A＝ C′C
A 的各级顺序主子式全大于零
f 的正惯性指数 p 等于 n
4、实对称矩阵 A 正定 0A
实对称矩阵 A 半正定 0A
§ 4 正定二次型存在,使 nnCR A C C
5、实二次型 f (x1,x2,…,xn)＝ X′AX 半正定
A 与非负对角阵合同，即存在可逆矩阵 C，使
A 的所有主子式全大于或等于零,
秩 f =秩 (A)= p（ 正惯性指数）
1
,0,1,2,,i
n
d
C AC d i n
d
