1
一、线性子空间二、生成子空间
2
一、线性子空间
1、线性子空间的定义设 V是数域 P上的线性空间，集合 ()W V W
若 W对于 V中的两种运算也构成数域 P上的线性 空间,
则称 W为 V的一个 线性子空间,简称为 子空间,
注,① 线性子空间也是数域 P上一线性空间，它也
② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念,
维数,
3
2、线性子空间的判定
()W，若 W对于 V中两种运算封闭，即
,,;WW有则 W是 V的一个子空间．
证明：要证明 W也为数域 P上的线性空间，即证
W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
定理,设 V为数域 P上的线性空间，集合 WV?
,,W k P k W有
4
∵,∴,且对,W W W 由数乘运算封闭，有 ( 1 ) W，即 W中元素的负元素就是它在 V中的负元素,4）成立．
就是 V中 的零元,3）成立．
由于 WV?,规则 1）,2）,5）,6）,7）,8）
是显然成立的．下证 3）,4）成立．
,,,,.W a b P a b W
推论,V为数域 P上的线性空间,( ),W V W则由加法封闭，有,即 W中的零元0 ( ) W
W是 V的子空间
5
例 2 设 V为所有实函数所成集合构成的线性空间,
则 R[x]为 V的一个子空间．
例 3 P[x]n是 P[x]的的线性子空间,
例 1 设 V为数域 P上的线性空间，只含零向量的子集合 是 V的一个线性子空间，称之为 V的零子空间,线性空间 V本身也是 V的一个子空间,
这两个子空间有时称为 平凡子空间,而其它的子空间称为 非平凡子空间,
{0}W?
6
的全部解向量所成集合 W对于通常的向量加法和数
① (＊ )的 解空间 W的维数＝ n－ 秩 (A),；()ij s nAa
例 4 n元齐次线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
s s sn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
(＊ )
注
② (＊ )的一个基础解系就是解空间 W的一组基,
空间，称 W为方程组 (＊ )的 解空间,
量乘法构成的线性空间是 n维向量空间 Pn的一个子
7
例 5 设 V为数域 P上的线性空间,12,,,r V
1 1 2 2{,1,2,,}r r iW k k k k P i r令则 W关于 V的运算作成 V的一个子空间．
即 的一切线性组合所成集合,
12,,,r
8
称为 V的由 生成的子空间,12,,,r
二、一类重要的子空间
—— 生成子空间定义,V为数域 P上的线性空间，
则子空间
12,,,r V，
1 1 2 2{,1,2,,}r r iW k k k k P i r
记作,12(,,,)rL
称 为 的一组 生成元,12,,,r 12(,,,)rL
9
例 6 在 Pn 中,
21[ ] ( 1,,,,)nnP x L x x x
( 0,,0,1,0,0),1,2,,i i in
为 Pn的 一组基,12(,,,) nna a a P
1 1 2 2 nna a a有
12(,,,)n nPL故 有即 Pn 由它的一组基生成,
类似地，还有
10 1 1 0 1 1,,,nnna a x a x a a a P
事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成,
10
有关结论
1,设 W为 n维线性空间 V的任一子空间,
是 W的一组基,则有
12,,,r
12(,,,)rWL
2、（定理 3）
1） ； 为线性空间 V中的两组向量，则
12,,,s
1 2 1 2(,,,) (,,,)rsLL
12,,,r
与 等价．12,,,r 12,,,s
2）生成子空间 的维数12(,,,)rL
＝向量组 的秩．12,,,r
11
证,1）若 1 2 1 2(,,,) (,,,)rsLL
则对,1,2,,,i ir 有,12(,,,)isL
从而 可被 12,,,si? 线性表出；
同理每一个 也可被 线性表出,12,,,ri?
所以,与 等价．12,,,r12,,,s
12(,,,)rL,可被 线性表出，?,,,r
从而可被 线性表出，即12,,,s 12(,,,),sL
反之,与 等价．12,,,r12,,,s
1 2 1 2(,,,) (,,,)rsLL
12
所以,
1 2 1 2(,,,) (,,,),rtLL
同理可得,1 2 1 2(,,,) (,,,)srLL
故,1 2 1 2(,,,) (,,,)rsLL
由§ 3定理 1，
2）设向量组 的秩＝ t，不妨设12,,,r
为它的一个极大无关组．12,,,( )t tr
因为 与 等价，12,,,r12,,,t
就是 的一组基，12(,,,)rL12,,,t
所以,的维数＝ t．12(,,,)rL
13
无关组，则推论,设 是线性空间 V中不全为零12,,,s
的一组向量,是它的一个极大12,,,( )ri i i rs
1212(,,,) (,,,)rs i i iLL
3,设 为 P上 n维线性空间 V的一组基,12,,,n
则 的维数＝秩 (A).12(,,,)sL
1 2 1 2(,,,) (,,,)sn A
A为 P上一个 矩阵，若ns?
14
证：设秩 (A)＝ r，不失一般性，设 A的前 r列线性无关，并将这 r 列构成的矩阵记为 A1，其余 s-r列构成的矩阵记为 A2,则 A＝ (A1,A2)，且秩 (A1)＝秩 (A)＝ r,1 2 1 2 1(,,,) (,,,)rn A
设 即1 1 2 2 0,rrk k k
1
12(,,,) 0,r
r
k
k
下证 线性无关,12,,,r
15
12,,,n是 V的一组基，
1
1 0
r
k
A
k
又秩 (A1)＝ r,∴ 方程组 ② 只有零解，即
②
12 0,rk k k
12,,,r 线性无关,
从而
1
1 2 1(,,,) 0n
r
k
A
k
16
1 2 1 2(,,,) (,,,)r j n jB
任取 ( 1,2,,),j js
将 A的第 j列添在 A1的右边构成的矩阵记为 Bj，则则有
1
12
1
(,,,) 0nj
r
r
l
B l
l
1
12
1
(,,,,) 0,rj
r
r
l
l
l
即设 1 1 2 2 1 0,r r r jl l l l
17
从而有
1
1
0j
r
r
l
B l
l?
③
而秩 (Bj)＝ r,∴ ③ 有非零解，故有不全为零的数
1 2 1,,,,,rrl l l l? 使
12,,,,rj 线性相关,
故 为 的极大无关组，12,,,r12,,,s
所以 的维数＝ r＝秩 (A).12(,,,)sL
1 1 2 2 1 0,r r r jl l l l
18
则向量组 与矩阵 A的列向量组具有相同12,,,s
线性相关性,所以可对矩阵 A作初等行变换化阶梯阵来求向量组 的一个极大无关组，从而12,,,s
求出生成子空间 的维数与一组基,12(,,,)sL
1 2 1 2(,,,) (,,,)sn A
注：
由证明过程可知，若 为 V的一组基，12,,,n
19
为 V的一组基．即在 V中必定可找到 n－ m个向量设 W为 n 维线性空间 V的一个 m 维子空间，
4、（定理 4）
为 W的一组基,则这组向量必定可扩充12,,,m
，使 为 V的一组基．12,,,n12,,,m m n
扩基定理证明：对 n－ m作数学归纳法,
当 n－ m＝ 0时，即 n＝ m，
定理成立．12,,,m就是 V的一组基,
假设当 n－ m＝ k时结论成立,
20
因 n－ (m＋ 1)＝ (n－ m)－ 1＝ (k＋ 1)－ 1＝ k，
下面我们考虑 n－ m＝ k＋ 1 的情形．
必定是线性无关的．1 2 1,,,,mm
既然 还不是 V的一组基，它又是线性无关的，那么在 V中必定有一个向量 不能被线性表出，把它添加进去，则12,,,m
1m
12,,,m
由定理 3，子空间 是 m＋ 1维的．1 2 1(,,,)mL
可以扩充为整个空间 V的一组基．由归纳原理得证,
由归纳假设,的基1 2 1(,,,)mL1 2 1,,,,mm
21
它扩充为 P4的一组基，其中例 7 求 的维数与一组基，并把1 2 3 4 5(,,,,)L
1 ( 1,1,2,4),
5 ( 2,1,5,6)4 ( 1,1,2,0)
3 ( 3,0,7,1 4),2 ( 0,3,1,2),
解：对以 为列向量的矩阵 A作1 2 3 4 5,,,,
初等行变换 1 0 3 1 2
1 3 0 1 1
2 1 7 2 5
4 2 1 4 0 6
A
1 0 3 1 2
0 3 3 0 3
0 1 1 0 1
0 2 2 4 2
22
1 0 3 1 2
0 1 1 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 4 4
1 0 3 1 2
0 1 1 0 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
B
由 B知,为 的一个极大1 2 4,, 1 2 3 4 5,,,,
故，维 ＝ 3，1 2 3 4 5(,,,,)L
就是 的一组基,1 2 4,, 1 2 3 4 5(,,,,)L
无关组,
23
1 0 1 0
1 3 1 0,
2 1 2 1
4 2 0 0
可 逆
1 0 1
1 3 1 1 2 0,
4 2 0
又
( 0,0,1,0)令则 线性无关，从而为 P4的一组基,1 2 4,,,
24
例 8 设 判断下面子集是否构成子空间nVR?
1 1 2( 1 ) (,,,) 0
1
ni
n
W a a a a
i
2 1 2( 2) (,,,) 0niW a a a a
,3 1 1( 3 ) (,0,,0,)nnW a a a a R
25
例 9 设 判断下面子集是否构成子空间nnVP
1( 1 ),,W A A V T AT T A对 固 定 的 有
2( 2 ),0W A A V A
23( 3 ),W A A V A A
4( 4),0iiW A A V a
一、线性子空间二、生成子空间
2
一、线性子空间
1、线性子空间的定义设 V是数域 P上的线性空间，集合 ()W V W
若 W对于 V中的两种运算也构成数域 P上的线性 空间,
则称 W为 V的一个 线性子空间,简称为 子空间,
注,① 线性子空间也是数域 P上一线性空间，它也
② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念,
维数,
3
2、线性子空间的判定
()W，若 W对于 V中两种运算封闭，即
,,;WW有则 W是 V的一个子空间．
证明：要证明 W也为数域 P上的线性空间，即证
W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
定理,设 V为数域 P上的线性空间，集合 WV?
,,W k P k W有
4
∵,∴,且对,W W W 由数乘运算封闭，有 ( 1 ) W，即 W中元素的负元素就是它在 V中的负元素,4）成立．
就是 V中 的零元,3）成立．
由于 WV?,规则 1）,2）,5）,6）,7）,8）
是显然成立的．下证 3）,4）成立．
,,,,.W a b P a b W
推论,V为数域 P上的线性空间,( ),W V W则由加法封闭，有,即 W中的零元0 ( ) W
W是 V的子空间
5
例 2 设 V为所有实函数所成集合构成的线性空间,
则 R[x]为 V的一个子空间．
例 3 P[x]n是 P[x]的的线性子空间,
例 1 设 V为数域 P上的线性空间，只含零向量的子集合 是 V的一个线性子空间，称之为 V的零子空间,线性空间 V本身也是 V的一个子空间,
这两个子空间有时称为 平凡子空间,而其它的子空间称为 非平凡子空间,
{0}W?
6
的全部解向量所成集合 W对于通常的向量加法和数
① (＊ )的 解空间 W的维数＝ n－ 秩 (A),；()ij s nAa
例 4 n元齐次线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
s s sn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
(＊ )
注
② (＊ )的一个基础解系就是解空间 W的一组基,
空间，称 W为方程组 (＊ )的 解空间,
量乘法构成的线性空间是 n维向量空间 Pn的一个子
7
例 5 设 V为数域 P上的线性空间,12,,,r V
1 1 2 2{,1,2,,}r r iW k k k k P i r令则 W关于 V的运算作成 V的一个子空间．
即 的一切线性组合所成集合,
12,,,r
8
称为 V的由 生成的子空间,12,,,r
二、一类重要的子空间
—— 生成子空间定义,V为数域 P上的线性空间，
则子空间
12,,,r V，
1 1 2 2{,1,2,,}r r iW k k k k P i r
记作,12(,,,)rL
称 为 的一组 生成元,12,,,r 12(,,,)rL
9
例 6 在 Pn 中,
21[ ] ( 1,,,,)nnP x L x x x
( 0,,0,1,0,0),1,2,,i i in
为 Pn的 一组基,12(,,,) nna a a P
1 1 2 2 nna a a有
12(,,,)n nPL故 有即 Pn 由它的一组基生成,
类似地，还有
10 1 1 0 1 1,,,nnna a x a x a a a P
事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成,
10
有关结论
1,设 W为 n维线性空间 V的任一子空间,
是 W的一组基,则有
12,,,r
12(,,,)rWL
2、（定理 3）
1） ； 为线性空间 V中的两组向量，则
12,,,s
1 2 1 2(,,,) (,,,)rsLL
12,,,r
与 等价．12,,,r 12,,,s
2）生成子空间 的维数12(,,,)rL
＝向量组 的秩．12,,,r
11
证,1）若 1 2 1 2(,,,) (,,,)rsLL
则对,1,2,,,i ir 有,12(,,,)isL
从而 可被 12,,,si? 线性表出；
同理每一个 也可被 线性表出,12,,,ri?
所以,与 等价．12,,,r12,,,s
12(,,,)rL,可被 线性表出，?,,,r
从而可被 线性表出，即12,,,s 12(,,,),sL
反之,与 等价．12,,,r12,,,s
1 2 1 2(,,,) (,,,)rsLL
12
所以,
1 2 1 2(,,,) (,,,),rtLL
同理可得,1 2 1 2(,,,) (,,,)srLL
故,1 2 1 2(,,,) (,,,)rsLL
由§ 3定理 1，
2）设向量组 的秩＝ t，不妨设12,,,r
为它的一个极大无关组．12,,,( )t tr
因为 与 等价，12,,,r12,,,t
就是 的一组基，12(,,,)rL12,,,t
所以,的维数＝ t．12(,,,)rL
13
无关组，则推论,设 是线性空间 V中不全为零12,,,s
的一组向量,是它的一个极大12,,,( )ri i i rs
1212(,,,) (,,,)rs i i iLL
3,设 为 P上 n维线性空间 V的一组基,12,,,n
则 的维数＝秩 (A).12(,,,)sL
1 2 1 2(,,,) (,,,)sn A
A为 P上一个 矩阵，若ns?
14
证：设秩 (A)＝ r，不失一般性，设 A的前 r列线性无关，并将这 r 列构成的矩阵记为 A1，其余 s-r列构成的矩阵记为 A2,则 A＝ (A1,A2)，且秩 (A1)＝秩 (A)＝ r,1 2 1 2 1(,,,) (,,,)rn A
设 即1 1 2 2 0,rrk k k
1
12(,,,) 0,r
r
k
k
下证 线性无关,12,,,r
15
12,,,n是 V的一组基，
1
1 0
r
k
A
k
又秩 (A1)＝ r,∴ 方程组 ② 只有零解，即
②
12 0,rk k k
12,,,r 线性无关,
从而
1
1 2 1(,,,) 0n
r
k
A
k
16
1 2 1 2(,,,) (,,,)r j n jB
任取 ( 1,2,,),j js
将 A的第 j列添在 A1的右边构成的矩阵记为 Bj，则则有
1
12
1
(,,,) 0nj
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12
1
(,,,,) 0,rj
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即设 1 1 2 2 1 0,r r r jl l l l
17
从而有
1
1
0j
r
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B l
l?
③
而秩 (Bj)＝ r,∴ ③ 有非零解，故有不全为零的数
1 2 1,,,,,rrl l l l? 使
12,,,,rj 线性相关,
故 为 的极大无关组，12,,,r12,,,s
所以 的维数＝ r＝秩 (A).12(,,,)sL
1 1 2 2 1 0,r r r jl l l l
18
则向量组 与矩阵 A的列向量组具有相同12,,,s
线性相关性,所以可对矩阵 A作初等行变换化阶梯阵来求向量组 的一个极大无关组，从而12,,,s
求出生成子空间 的维数与一组基,12(,,,)sL
1 2 1 2(,,,) (,,,)sn A
注：
由证明过程可知，若 为 V的一组基，12,,,n
19
为 V的一组基．即在 V中必定可找到 n－ m个向量设 W为 n 维线性空间 V的一个 m 维子空间，
4、（定理 4）
为 W的一组基,则这组向量必定可扩充12,,,m
，使 为 V的一组基．12,,,n12,,,m m n
扩基定理证明：对 n－ m作数学归纳法,
当 n－ m＝ 0时，即 n＝ m，
定理成立．12,,,m就是 V的一组基,
假设当 n－ m＝ k时结论成立,
20
因 n－ (m＋ 1)＝ (n－ m)－ 1＝ (k＋ 1)－ 1＝ k，
下面我们考虑 n－ m＝ k＋ 1 的情形．
必定是线性无关的．1 2 1,,,,mm
既然 还不是 V的一组基，它又是线性无关的，那么在 V中必定有一个向量 不能被线性表出，把它添加进去，则12,,,m
1m
12,,,m
由定理 3，子空间 是 m＋ 1维的．1 2 1(,,,)mL
可以扩充为整个空间 V的一组基．由归纳原理得证,
由归纳假设,的基1 2 1(,,,)mL1 2 1,,,,mm
21
它扩充为 P4的一组基，其中例 7 求 的维数与一组基，并把1 2 3 4 5(,,,,)L
1 ( 1,1,2,4),
5 ( 2,1,5,6)4 ( 1,1,2,0)
3 ( 3,0,7,1 4),2 ( 0,3,1,2),
解：对以 为列向量的矩阵 A作1 2 3 4 5,,,,
初等行变换 1 0 3 1 2
1 3 0 1 1
2 1 7 2 5
4 2 1 4 0 6
A
1 0 3 1 2
0 3 3 0 3
0 1 1 0 1
0 2 2 4 2
22
1 0 3 1 2
0 1 1 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 4 4
1 0 3 1 2
0 1 1 0 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
B
由 B知,为 的一个极大1 2 4,, 1 2 3 4 5,,,,
故，维 ＝ 3，1 2 3 4 5(,,,,)L
就是 的一组基,1 2 4,, 1 2 3 4 5(,,,,)L
无关组,
23
1 0 1 0
1 3 1 0,
2 1 2 1
4 2 0 0
可 逆
1 0 1
1 3 1 1 2 0,
4 2 0
又
( 0,0,1,0)令则 线性无关，从而为 P4的一组基,1 2 4,,,
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例 8 设 判断下面子集是否构成子空间nVR?
1 1 2( 1 ) (,,,) 0
1
ni
n
W a a a a
i
2 1 2( 2) (,,,) 0niW a a a a
,3 1 1( 3 ) (,0,,0,)nnW a a a a R
25
例 9 设 判断下面子集是否构成子空间nnVP
1( 1 ),,W A A V T AT T A对 固 定 的 有
2( 2 ),0W A A V A
23( 3 ),W A A V A A
4( 4),0iiW A A V a
