1
§ 7.5 对角矩阵一,可对角化的概念二、几个引理四、对角化的一般方法三、可对角化的条件
2
定义 1：设 是 维线性空间 V的一个线性变换，A n
如果存在 V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对A
角矩阵，则称线性变换 可对角化,A
矩阵，则称矩阵 A可对角化,
定义 2：矩阵 A是数域 上的一个 级方阵,如果P n
存在一个 上的 级可逆矩阵,使 为对角P 1X AX?Xn
一、可对角化的概念
3
即几何重数不超过代数重数,证明,
二、几个引理
1,设 ( ),LV AA是 的特征值,则
0d i m V的重数
2.(Th.8)设 为 n维线性空间 V的一个线性变换,A
如果 分别是 的属于互不相同的特征值12,,k A
的特征向量，则 线性无关,12,,k 12,,k
证明,
4
证明,
二、几个引理特征值 的线性无关的特征向量，i? 1,2,,,ik?
则向量 线性无关,111 1 1,,,,,,kr k kr
3.(Th.9) 设 为线性空间 V的一个线性变换，A
是 的不同特征值，而 是属于12,,k 12,,ii i irA
5
在域 中有 个不同的特征值,则 可对角化AA nP若
2.(Cor.1)设 为 维线性空间 V的一个线性变换，A n
则 可对角化 有 个线性无关的特征向量,A? A n
三、可对角化的条件
1.(Th.7)设 为 维线性空间 V的一个线性变换，A n
证明,
证明,
6
3,(Cor.2) 在复数域 C上的线性空间中，
如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可A A
对角化,证明,
1
d i m,
,
i
t
i
Vn
1 2 t
(n = di m V,而,,是 的 全 部 特 征 值 )A
4,( ),LV?A 可对角化
d i m
i i
V
的 重 sh u
5,()LV?A 可对角化
7
6,设 为 n维线性空间 V的一个线性变换，A
若 在某组基下的矩阵为对角矩阵A 1
2
n
D
则 1） 的特征多项式就是A
12() nf
2）对角矩阵 D主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们就是 的全部特征根 (重根按重数计算 ).A
8
三、对角化的一般方法
1° 求出矩阵 A的全部特征值 12,,,.k
2° 对每一个特征值,求出齐次线性方程组i?
0,1,2,i E A X i k
设 为维线性空间 V的一个线性变换，A 12,,,n
为 V的一组基,在这组基下的矩阵为 A.A
步骤,
的一个基础解系（此即 的属于 的全部线性无关i?A
的特征向量在基 下的坐标）,12,,,n
9
3° 若全部基础解系所含向量个数之和等于 n,则
（或矩阵 A） 可对角化,以这些解向量为列，作一个
n阶方阵 T，则 T可逆,是对角矩阵,而且1T AT?
有 n个线性无关的特征向量 从而A 12,,,,nA
T就是基 到基 的过渡矩阵,12,,,n12,,,n
10
下的矩阵为1 2 3,,
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A
基变换的过渡矩阵,
问 是否可对角化,在可对角化的情况下，写出A
例 1,设复数域上线性空间 V的线性变换 在某组基A
11
解,A的特征多项式为
2
01
0 1 0 1 1
10
EA
得 A的特征值是 1,1、－ 1.
解齐次线性方程组 得1 0,E A X13xx?
故其基础解系为,( 1,0,1 ),( 0,1,0 )
所以,1 1 3 2 2,
是 的属于特征值 1的两个线性无关的特征向量,A
12
再解齐次线性方程组 得1 0,E A X 132 0xxx
故其基础解系为,(1,0,1)?
所以,3 1 3
是 的属于特征值－ 1的线性无关的特征向量,A
线性无关，故 可对角化，且1 2 3,, A
1 0 0
0 1 0 ;
0 0 1
在基 下的矩阵为对角矩阵1 2 3,,A
13
1 2 3 1 2 3
1 0 1
,,,,0 1 0,
1 0 1
1 0 1
0 1 0,
1 0 1
T
即基 到 的过渡矩阵为1 2 3,, 1 2 3,,
1
1 0 0
0 1 0,
0 0 1
T A T?
14
例 2,问 A是否可对角化？若可，求可逆矩阵 T，使3 2 1
2 2 2
3 6 1
A
为以角矩阵,这里1T AT?
3 2 1
2 2 2
3 6 1
EA
23 1 2 1 6 2 4
得 A的特征值是 2,2,-4,
解,A的特征多项式为
15
对于特征值 2，求出齐次线性方程组
1
2
3
1 2 1 0
2 4 2 0
3 6 3 0
x
x
x
对于特征值－ 4，求出齐次方程组
1
2
3
7 2 1 0
2 2 2 0
3 6 3 0
x
x
x
的一个基础解系,（－ 2,1,0），（ 1,0,1）
的一个基础解系,12(,,1 )33?
16
1
3
2
3
21
10
0 1 1
T
令则
1
2 0 0
0 2 0
0 0 4
T A T?
所以 A可对角化,
17
是对角矩阵（即 D不可对角化）,
项式,并证明,D在任何一组基下的矩阵都不可能例 3,在 中,求微分变换 D的特征多[ ] ( 1 )nP x n?
21
1,,,,2 ! ( 1 ) !
nxx
x n
解：在 中取一组基：[]nPx
则 D在这组基下的矩阵为
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
A
18
1 0 0
0 1 0
0 0 0 1
0 0 0
n
EA
于是
∴ D的特征值为 0（ n重）,
的系数矩阵的秩为 n－ 1，从而方程组的基础解系故 D不可对角化,
又由于对应特征值 0的齐次线性方程组 0AX
只含有一个向量，它小于 的维数 n（＞ 1）,[]nPx
19
Proof:
设
0 12dim,,,,mVm 令为 的基,
0V?
()i i iA,扩充基,
11,,,,,m m n则
1 1 1 1
0
0
*(,,,,,) (,,,,,)
0*
m m n m m n
A
故
00( ) ( ) ( ),mAf g m 的重数,
返回
20
定理 7 设 为 维线性空间 V的一个线性变换，A n
则 可对角化 有 个线性无关的特征向量,A? A n
证：设 在基 下的矩阵为对角矩阵A 12,,n1
2
n
则有,1,2,.i i i inA
12,,n 就是 的 n个线性无关的特征向量,A
21
反之，若 有 个线性无关的特征向量A n 12,,,,n
那么就取 为基，则在这组基下 的矩阵12,,,n A
是对角矩阵,
22
定理 8 设 为 n维线性空间 V的一个线性变换,A
如果 分别是 的属于互不相同的特征值12,,k A
的特征向量，则 线性无关,12,,k 12,,k
证：对 k作数学归纳法,
当 时,线性无关,命题成立,1k? 110,
23
假设对于 来说，结论成立,现设 为1k? 12,,k
的互不相同的特征值,是属于 的特征向量，A i? i?
即 1,2,,.i i i in,A
以 乘①式的两端，得k?
1 1 2 2 0.k k k k ka a a②
设 1 1 2 2 0,k k ia a a a P①
又对①式两端施行线性变换,得A
1 1 1 2 2 2 0.k k ka a a③
24
③式减②式得
1 1 1 2 2 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 0k k k k k ka a a
由归纳假设,线性无关，所以1 2 1,,k
( ) 0,1,2,,1,i i ka i k
但 互不相同，所以12,,,k 1 2 1 0.ka a a
将之代入①，得 0.kka
0,0a
故 线性无关,12,,,k
25
证明：首先,的属于同一特征值 的特征向量A i?
的非零线性组合仍是 的属于特征值 的一个特征A i?
向量,
26
111 1 1,,,,,,.kr k kra a a a P?
令 11,1,2,,.iii i i ir ira a i k
由④有,12 0.k
设 1111 11 1 1 1 1 0,kkr r k k kr kra a a a④
若有某个 则 是 的属于特征值 的0,ii A i?
特征向量,而 是互不相同的，由定理 8，12,,k
必有所有的 0,1,2,,.i ik
27
即 11 0.
iii i ir iraa
而 线性无关，所以有1,,ii ir
1 0,1,2,,.ii ira a i k
故 线性无关,111 1 1,,,,,,kr k kr
§ 7.5 对角矩阵一,可对角化的概念二、几个引理四、对角化的一般方法三、可对角化的条件
2
定义 1：设 是 维线性空间 V的一个线性变换，A n
如果存在 V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对A
角矩阵，则称线性变换 可对角化,A
矩阵，则称矩阵 A可对角化,
定义 2：矩阵 A是数域 上的一个 级方阵,如果P n
存在一个 上的 级可逆矩阵,使 为对角P 1X AX?Xn
一、可对角化的概念
3
即几何重数不超过代数重数,证明,
二、几个引理
1,设 ( ),LV AA是 的特征值,则
0d i m V的重数
2.(Th.8)设 为 n维线性空间 V的一个线性变换,A
如果 分别是 的属于互不相同的特征值12,,k A
的特征向量，则 线性无关,12,,k 12,,k
证明,
4
证明,
二、几个引理特征值 的线性无关的特征向量，i? 1,2,,,ik?
则向量 线性无关,111 1 1,,,,,,kr k kr
3.(Th.9) 设 为线性空间 V的一个线性变换，A
是 的不同特征值，而 是属于12,,k 12,,ii i irA
5
在域 中有 个不同的特征值,则 可对角化AA nP若
2.(Cor.1)设 为 维线性空间 V的一个线性变换，A n
则 可对角化 有 个线性无关的特征向量,A? A n
三、可对角化的条件
1.(Th.7)设 为 维线性空间 V的一个线性变换，A n
证明,
证明,
6
3,(Cor.2) 在复数域 C上的线性空间中，
如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可A A
对角化,证明,
1
d i m,
,
i
t
i
Vn
1 2 t
(n = di m V,而,,是 的 全 部 特 征 值 )A
4,( ),LV?A 可对角化
d i m
i i
V
的 重 sh u
5,()LV?A 可对角化
7
6,设 为 n维线性空间 V的一个线性变换，A
若 在某组基下的矩阵为对角矩阵A 1
2
n
D
则 1） 的特征多项式就是A
12() nf
2）对角矩阵 D主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们就是 的全部特征根 (重根按重数计算 ).A
8
三、对角化的一般方法
1° 求出矩阵 A的全部特征值 12,,,.k
2° 对每一个特征值,求出齐次线性方程组i?
0,1,2,i E A X i k
设 为维线性空间 V的一个线性变换，A 12,,,n
为 V的一组基,在这组基下的矩阵为 A.A
步骤,
的一个基础解系（此即 的属于 的全部线性无关i?A
的特征向量在基 下的坐标）,12,,,n
9
3° 若全部基础解系所含向量个数之和等于 n,则
（或矩阵 A） 可对角化,以这些解向量为列，作一个
n阶方阵 T，则 T可逆,是对角矩阵,而且1T AT?
有 n个线性无关的特征向量 从而A 12,,,,nA
T就是基 到基 的过渡矩阵,12,,,n12,,,n
10
下的矩阵为1 2 3,,
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A
基变换的过渡矩阵,
问 是否可对角化,在可对角化的情况下，写出A
例 1,设复数域上线性空间 V的线性变换 在某组基A
11
解,A的特征多项式为
2
01
0 1 0 1 1
10
EA
得 A的特征值是 1,1、－ 1.
解齐次线性方程组 得1 0,E A X13xx?
故其基础解系为,( 1,0,1 ),( 0,1,0 )
所以,1 1 3 2 2,
是 的属于特征值 1的两个线性无关的特征向量,A
12
再解齐次线性方程组 得1 0,E A X 132 0xxx
故其基础解系为,(1,0,1)?
所以,3 1 3
是 的属于特征值－ 1的线性无关的特征向量,A
线性无关，故 可对角化，且1 2 3,, A
1 0 0
0 1 0 ;
0 0 1
在基 下的矩阵为对角矩阵1 2 3,,A
13
1 2 3 1 2 3
1 0 1
,,,,0 1 0,
1 0 1
1 0 1
0 1 0,
1 0 1
T
即基 到 的过渡矩阵为1 2 3,, 1 2 3,,
1
1 0 0
0 1 0,
0 0 1
T A T?
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例 2,问 A是否可对角化？若可，求可逆矩阵 T，使3 2 1
2 2 2
3 6 1
A
为以角矩阵,这里1T AT?
3 2 1
2 2 2
3 6 1
EA
23 1 2 1 6 2 4
得 A的特征值是 2,2,-4,
解,A的特征多项式为
15
对于特征值 2，求出齐次线性方程组
1
2
3
1 2 1 0
2 4 2 0
3 6 3 0
x
x
x
对于特征值－ 4，求出齐次方程组
1
2
3
7 2 1 0
2 2 2 0
3 6 3 0
x
x
x
的一个基础解系,（－ 2,1,0），（ 1,0,1）
的一个基础解系,12(,,1 )33?
16
1
3
2
3
21
10
0 1 1
T
令则
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2 0 0
0 2 0
0 0 4
T A T?
所以 A可对角化,
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是对角矩阵（即 D不可对角化）,
项式,并证明,D在任何一组基下的矩阵都不可能例 3,在 中,求微分变换 D的特征多[ ] ( 1 )nP x n?
21
1,,,,2 ! ( 1 ) !
nxx
x n
解：在 中取一组基：[]nPx
则 D在这组基下的矩阵为
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
A
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1 0 0
0 1 0
0 0 0 1
0 0 0
n
EA
于是
∴ D的特征值为 0（ n重）,
的系数矩阵的秩为 n－ 1，从而方程组的基础解系故 D不可对角化,
又由于对应特征值 0的齐次线性方程组 0AX
只含有一个向量，它小于 的维数 n（＞ 1）,[]nPx
19
Proof:
设
0 12dim,,,,mVm 令为 的基,
0V?
()i i iA,扩充基,
11,,,,,m m n则
1 1 1 1
0
0
*(,,,,,) (,,,,,)
0*
m m n m m n
A
故
00( ) ( ) ( ),mAf g m 的重数,
返回
20
定理 7 设 为 维线性空间 V的一个线性变换，A n
则 可对角化 有 个线性无关的特征向量,A? A n
证：设 在基 下的矩阵为对角矩阵A 12,,n1
2
n
则有,1,2,.i i i inA
12,,n 就是 的 n个线性无关的特征向量,A
21
反之，若 有 个线性无关的特征向量A n 12,,,,n
那么就取 为基，则在这组基下 的矩阵12,,,n A
是对角矩阵,
22
定理 8 设 为 n维线性空间 V的一个线性变换,A
如果 分别是 的属于互不相同的特征值12,,k A
的特征向量，则 线性无关,12,,k 12,,k
证：对 k作数学归纳法,
当 时,线性无关,命题成立,1k? 110,
23
假设对于 来说，结论成立,现设 为1k? 12,,k
的互不相同的特征值,是属于 的特征向量，A i? i?
即 1,2,,.i i i in,A
以 乘①式的两端，得k?
1 1 2 2 0.k k k k ka a a②
设 1 1 2 2 0,k k ia a a a P①
又对①式两端施行线性变换,得A
1 1 1 2 2 2 0.k k ka a a③
24
③式减②式得
1 1 1 2 2 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 0k k k k k ka a a
由归纳假设,线性无关，所以1 2 1,,k
( ) 0,1,2,,1,i i ka i k
但 互不相同，所以12,,,k 1 2 1 0.ka a a
将之代入①，得 0.kka
0,0a
故 线性无关,12,,,k
25
证明：首先,的属于同一特征值 的特征向量A i?
的非零线性组合仍是 的属于特征值 的一个特征A i?
向量,
26
111 1 1,,,,,,.kr k kra a a a P?
令 11,1,2,,.iii i i ir ira a i k
由④有,12 0.k
设 1111 11 1 1 1 1 0,kkr r k k kr kra a a a④
若有某个 则 是 的属于特征值 的0,ii A i?
特征向量,而 是互不相同的，由定理 8，12,,k
必有所有的 0,1,2,,.i ik
27
即 11 0.
iii i ir iraa
而 线性无关，所以有1,,ii ir
1 0,1,2,,.ii ira a i k
故 线性无关,111 1 1,,,,,,kr k kr
