一,行列式因子二,不变因子
1,定义,
一,行列式因子注：
阶 行列式因子,k
的首项系数为 1的最大公因式 称为 的( ),kD? ()A?
中必有非零的 级子式,中全部 级子式()A? k k()A?
设 －矩阵 的秩为,对于正整数,? r k 1,kr()A?
若 秩,则 有 个行列式因子,()Ar r()A?
行列式因子,
1) （定理 3） 等价矩阵具有相同的秩与相同的各级
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子）?
证：只需证,－矩阵经过一次初等变换，秩与行?
列式因子是不变的．
2,有关结论设 经过一次初等变换变成,与()B?()A? ()f?
分别是 与 的 k级行列式因子．()A?()g? ()B?
下证,分三种情形：fg?
级子式反号,k
公因式，
此时 的每个 级子式或k()B?
者等于 的某个 级子式，k()A? 或者与 的某个()A?
因此,是 的 级子式的k()B?()f?
,( ) ( ),ijAB①
( ) ( ),fg从而
( ) ( ),icAB②
级子式的 c倍,k
者等于 的某个 级子式，或者等于 的某个()A? k ()A?
此时 的每个 级子式或k()B?
因此,是 的 级子式的()f? k()B?
公因式,( ) ( ),fg从而此时 中包含 两行()B?,ij
级子式相等；
,ijAB③
的和不包含 行的那些 级子式与 中对应的kj k()A?
中包含 行但不包含 行的 级kji()B?
子式，按 行分成 的一个 级子式与另一个()A?i k k
级子式的 倍的和，() 即为 的两个 级子式()A? k
从而 ( ) ( ),fg
的组合,因此 是 的 级子式的公因式，k()f? ()B?
同理可得,( ) ( ),gf ( ) ( ),fg
2） 若 矩阵 的标准形为 ()A?
1
()
()
()
0
0
r
d
d
D
其中 为首 1多项式，且1 ( ),( )rdd
1( ) ( ),1,2,1,iid d i r
则 的 级行列式因子为()A? k
12( ) ( ) ( ) ( ),1,2,.kkD d d d k r
证,与 等价，()A? ()D?
完全相同，则这个 级子式为零,k
在 中，若一个 级子式包含的行、列指标不k()D?
( ) ( )AD 与 有相的秩与行列式因子,
12( 1,,),ki i i r级子式所以只需考虑由 行与 列组成的12,,ki i i 12,,ki i i k
k
1 ( ) ( ),kiidd
即而这种 级子式的最大公因式为k 12( ) ( ) ( ),kd d d
所以,的 级行列式因子()A? k
12( ) ( ) ( ) ( ),1,2,.kkD d d d k r
证：设 矩阵 的标准形为 ()A?
3） （定理 4） 矩阵的标准形是唯一的,
1
()
()
()
0
0
r
d
d
D
其中 为首 1多项式，且1 ( ),( )rdd
1( ) ( ),1,2,1,iid d i r
于是
2
1 1 2
11
( ) ( )( ) ( ),( ),,( )
( ) ( )
r
r
r
DDd D d d
即 由 的行列式因子所唯一确定,1 ( ),,( )rdd()A?
由 2）,的 级行列式因子为k()A?
12( ) ( ) ( ) ( ),1,2,.kkD d d d k r
4） 秩为 的 矩阵的 个行列式因子满足：r r
1( ) ( ),1,2,,1.kkD D k r
所以 的标准形唯一,()A?
1,定义,
二,不变因子矩阵 的标准形()A
称为 的 不变因子,()A?
12( ),( ),,( )rd d d的主对角线上的非零元素
1
()
()
()
0
0
r
d
d
D
有相同的标准形，
1)（ 定理 5） 矩阵,等价 ( ) ( )AB
( ) ( )AB,有相同的不变因子,
证：必要性显然,只证充分性,
2,有关结论所以 与 等价,( ) ( )AB
若 与 有相同的行列式因子，则( ) ( )AB
与 也有相同的不变因子，( ) ( )AB
( ) ( )AB,有相同的行列因子,
( ) ( )AB从而 与则,为一非零常数,()Add
的第 n个行列式因子()A 1.nD
1( ) ( ),1,2,,1.kkD D k n
证；若 可逆，()A?
因子全部为 1,的标准形为单位矩阵,即E()A?
与 等价,E()A?
2） 若 的 矩阵 可逆，则 的不变nn ()A? ()A?
又 的 n个行列式因子满足,()A?
( ) 1,1,2,,.kD k n
从而不变因子
1
()( ) 1,1,2,,
()
k
k
k
Dd k n
D
所以,的标准形为()A?,E
矩阵的乘积,
注,可逆 与 等价,()A E()A?
3)（定理 6） 可逆 可表成一些初等()A()A?
证,可逆 与 等价()AE()A?
存在初等矩阵 11,,,,,stP P Q Q使
11() stA P P E Q Q,stP P Q Q?
存在一个 可逆矩阵 与一个 可逆()P ss? nn?
( ) ( ) ( ) ( ),B P A Q
推论,两个 的 矩阵,等价sn ( ) ( )AB
矩阵,使()Q?
例,求 矩阵的不变因子
2
2
00
1 0 0
0 0 1
A
2 1 0 0
0 2 1 02
0 0 2 1
0 0 0 2
A
22,,1,
1 1D
()A? 的非零二级子式为,
2 20 1,0
2 3
2
0 1.
01
解,1） 的非零 1级子式为,()A?
2
0,
01
2
2
00
( ) 0 0
0 0 1
A
2 1.D
又 323 1.DA
所以,的不变因子为,A?
21 1 2
1
1,1,Dd D d D
233
2
1.Dd D
2
2
00
( ) 0 0
0 0 1
A
2）
1 0 0
2 1 0 1,
0 2 1
又1 2 2 3,D D D D
12 1.DD
而 44 2.DA
的不变因子为()A
41 2 3 41,2,d d d d
3 1.D
2 1 0 0
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0 0 2
A
练习：求 的不变因子()A?
1
2
1
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0 1
n
n
a
a
A
a
a
答案,
11 1,ndd
111,nnn n nd A a a a
作业
P356 2 2）
4）
1,定义,
一,行列式因子注：
阶 行列式因子,k
的首项系数为 1的最大公因式 称为 的( ),kD? ()A?
中必有非零的 级子式,中全部 级子式()A? k k()A?
设 －矩阵 的秩为,对于正整数,? r k 1,kr()A?
若 秩,则 有 个行列式因子,()Ar r()A?
行列式因子,
1) （定理 3） 等价矩阵具有相同的秩与相同的各级
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子）?
证：只需证,－矩阵经过一次初等变换，秩与行?
列式因子是不变的．
2,有关结论设 经过一次初等变换变成,与()B?()A? ()f?
分别是 与 的 k级行列式因子．()A?()g? ()B?
下证,分三种情形：fg?
级子式反号,k
公因式，
此时 的每个 级子式或k()B?
者等于 的某个 级子式，k()A? 或者与 的某个()A?
因此,是 的 级子式的k()B?()f?
,( ) ( ),ijAB①
( ) ( ),fg从而
( ) ( ),icAB②
级子式的 c倍,k
者等于 的某个 级子式，或者等于 的某个()A? k ()A?
此时 的每个 级子式或k()B?
因此,是 的 级子式的()f? k()B?
公因式,( ) ( ),fg从而此时 中包含 两行()B?,ij
级子式相等；
,ijAB③
的和不包含 行的那些 级子式与 中对应的kj k()A?
中包含 行但不包含 行的 级kji()B?
子式，按 行分成 的一个 级子式与另一个()A?i k k
级子式的 倍的和，() 即为 的两个 级子式()A? k
从而 ( ) ( ),fg
的组合,因此 是 的 级子式的公因式，k()f? ()B?
同理可得,( ) ( ),gf ( ) ( ),fg
2） 若 矩阵 的标准形为 ()A?
1
()
()
()
0
0
r
d
d
D
其中 为首 1多项式，且1 ( ),( )rdd
1( ) ( ),1,2,1,iid d i r
则 的 级行列式因子为()A? k
12( ) ( ) ( ) ( ),1,2,.kkD d d d k r
证,与 等价，()A? ()D?
完全相同，则这个 级子式为零,k
在 中，若一个 级子式包含的行、列指标不k()D?
( ) ( )AD 与 有相的秩与行列式因子,
12( 1,,),ki i i r级子式所以只需考虑由 行与 列组成的12,,ki i i 12,,ki i i k
k
1 ( ) ( ),kiidd
即而这种 级子式的最大公因式为k 12( ) ( ) ( ),kd d d
所以,的 级行列式因子()A? k
12( ) ( ) ( ) ( ),1,2,.kkD d d d k r
证：设 矩阵 的标准形为 ()A?
3） （定理 4） 矩阵的标准形是唯一的,
1
()
()
()
0
0
r
d
d
D
其中 为首 1多项式，且1 ( ),( )rdd
1( ) ( ),1,2,1,iid d i r
于是
2
1 1 2
11
( ) ( )( ) ( ),( ),,( )
( ) ( )
r
r
r
DDd D d d
即 由 的行列式因子所唯一确定,1 ( ),,( )rdd()A?
由 2）,的 级行列式因子为k()A?
12( ) ( ) ( ) ( ),1,2,.kkD d d d k r
4） 秩为 的 矩阵的 个行列式因子满足：r r
1( ) ( ),1,2,,1.kkD D k r
所以 的标准形唯一,()A?
1,定义,
二,不变因子矩阵 的标准形()A
称为 的 不变因子,()A?
12( ),( ),,( )rd d d的主对角线上的非零元素
1
()
()
()
0
0
r
d
d
D
有相同的标准形，
1)（ 定理 5） 矩阵,等价 ( ) ( )AB
( ) ( )AB,有相同的不变因子,
证：必要性显然,只证充分性,
2,有关结论所以 与 等价,( ) ( )AB
若 与 有相同的行列式因子，则( ) ( )AB
与 也有相同的不变因子，( ) ( )AB
( ) ( )AB,有相同的行列因子,
( ) ( )AB从而 与则,为一非零常数,()Add
的第 n个行列式因子()A 1.nD
1( ) ( ),1,2,,1.kkD D k n
证；若 可逆，()A?
因子全部为 1,的标准形为单位矩阵,即E()A?
与 等价,E()A?
2） 若 的 矩阵 可逆，则 的不变nn ()A? ()A?
又 的 n个行列式因子满足,()A?
( ) 1,1,2,,.kD k n
从而不变因子
1
()( ) 1,1,2,,
()
k
k
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Dd k n
D
所以,的标准形为()A?,E
矩阵的乘积,
注,可逆 与 等价,()A E()A?
3)（定理 6） 可逆 可表成一些初等()A()A?
证,可逆 与 等价()AE()A?
存在初等矩阵 11,,,,,stP P Q Q使
11() stA P P E Q Q,stP P Q Q?
存在一个 可逆矩阵 与一个 可逆()P ss? nn?
( ) ( ) ( ) ( ),B P A Q
推论,两个 的 矩阵,等价sn ( ) ( )AB
矩阵,使()Q?
例,求 矩阵的不变因子
2
2
00
1 0 0
0 0 1
A
2 1 0 0
0 2 1 02
0 0 2 1
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A
22,,1,
1 1D
()A? 的非零二级子式为,
2 20 1,0
2 3
2
0 1.
01
解,1） 的非零 1级子式为,()A?
2
0,
01
2
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A
2 1.D
又 323 1.DA
所以,的不变因子为,A?
21 1 2
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233
2
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2
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又1 2 2 3,D D D D
12 1.DD
而 44 2.DA
的不变因子为()A
41 2 3 41,2,d d d d
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2 1 0 0
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练习：求 的不变因子()A?
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答案,
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作业
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4）
