1
一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题
2
一,实对称矩阵的一些性质引理 1 设 A是实对称矩阵，则 A的特征值皆为实数．1
2
n
x
x
x
证：设 是 A的任意一个特征值，则有非零向量0?
满足 0,A
3
,,A A A A
其中 为 的共轭复数，i ixx
1
2
,
n
x
x
x
令
0
()A ()A
又由 A实对称，有
0()
AA
()A0() ()A
()A
0() 0
4
1212 0n nx x x x x x
由于 是非零复向量，必有?
故 00, 0,R
考察等式,00
5
引理 2 设 A是实对称矩阵，在 n维欧氏空间 上nR
( ),nAR
定义一个线性变换 如下：?
( ),,( ),
则对任意 有,,nR
或
( ) ( ),AA
6
12
1 0 0
01,,..,,
0
0 0 1
n
1 2 1 2(,,.,,,) (,,.,,,)nn A
证：取 的一组标准正交基，nR
则 在基 下的矩阵为 A，即? 12,,...,n
任取
11
22,,n
nn
xy
xy R
xy
7
1 1 2 2,.,nny y y
1 1 2 2,.,nnx x x即
( ),( )AX Y
()X AY
12(,,.,,,),n X
12(,,.,,,),n Y
于是
1 2 1 2( ) (,,.,,,) (,,.,,,),nnX A X
1 2 1 2( ) (,,.,,,) (,,.,,,),Y A Y
又 是标准正交基，12,,...,n
X AY()X A Y
,( )
8
,( ) ( ).A
即有( ),( )A( ),
又注意到在 中,,XYnR
二,对称变换
1．定义
( ),,( ),,,V
则称 为 对称变换,?
设 为欧氏空间 V中的线性变换，如果满足?
9
1） n维欧氏空间 V的对称变换与 n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：
2．基本性质
① 实对称矩阵可确定一个对称变换．
一组标准正交基．
11(,.,,) (,.,,)nn A
事实上，设,,nnA R A A12,,...,n为 V的定义 V的线性变换,?
则 即为 V的对称变换．
10
② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．
() nnijA a R12,,,n为 V的一组标准正交基，
事实上，设 为 n维欧氏空间 V上的对称变换，?
为 在这组基下的矩阵，即?
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn A
或
1 1 2 2() i i i n i na a a
1
,1,2,,
n
k i k
k
a i n?
11
于是
1
( ),,
n
i j k i k j
k
a
1
(,)
n
ki k j
k
a
(,)ji j ja jia?
1
,( ),
n
i j i k j k
k
a
1
(,)
n
kj i k
k
a
(,)ij i ia ija?
,,1,2,,ij ji i j n即所以 A为对称矩阵．
由 是对称变换，有( ),,( )i j i j
12
2）（ 引理 3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．
对,W
,W任取即 ( ),W ( ),W
证明：设 是对称变换,W为 的不变子空间．?
要证 ( ),W 即证 ( ),W
( ),W由 W是 子空间，有
( ),,( ) 0因此故 也为 的不变子空间．W
13
1,(引理 4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于 的特征向量．,,
则 ( ),A
三,实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．
正交基下的矩阵，
证：设实对称矩阵 A为 上对称变换 的在标准nR?
,是 A的两个不同特征值,
( ),A
由( ),,( )
14
又, (,) 0
即 正交．,
(定理 7)对 总有正交矩阵 T，使,,nnA R A A
1 12(,,,),nT A T T A T di ag
(,) (,),有
(,) (,),即
２．
15
证：设 A为 上对称变换 在标准正交基下的矩阵．nR?
由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有 n个特征向量作成的标准正交基即可．
n=1时，结论是显然的．
对 的维数 n用归纳法．nR
假设 n－ 1时结论成立，对 设其上的对称变换,nR?
有一单位特征向量,其相应的特征值为,即1? 1?
1 1 1 1( ),| | 1
16
设子空间 1( ),LW 显然 W是 子空间，
,d i m 1nW W R W n
( ),( ),W
则 也是 子空间，且W
又对 有,,W
,( ),( )W
所以 是 上的对称变换．W W
由归纳假设知 有 n－ 1 个特征向量W 23,,,n
构成 的一组标准正交基．W?
17
从而 就是 的一组标准正交基，1 2 3,,,,nnR
又都是 的特征向量．nR 即结论成立．
3,实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设,nnA R A A
(i) 求出 A的所有不同的特征值,12,,,,r R
其重数 必满足 ;12,,,rn n n
1
r
i
i
nn
(ii) 对每个,解齐次线性方程组i?
( ) 0i E A X
18
求出它的一个基础解系,12,,,i i in
它是 A的属于特征值 的特征子空间 的一组基．i?
iV?
正交基 12,,,.i i in
把它们按 正交化过程化成 的一组标准Schm idt
iV?
(iii) 因为 互不相同，12,,..,r
且
1
dim,
i
r
i
Wn?
111 12 1 1 2,,,,,,,,rn r r rn 就是 V的一组标准正交基．
()ijV V i j所以
19
则 T是正交矩阵，且
111 12 1 1 2,,,,,,,,rn r r rn
将 的分量依次作矩阵 T的第 1,2,…,n列，
使 为对角形,1T A T T A T
例 1．设 0 1 1 11 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A
求一正交矩阵 T使 成对角形．TAT?
20
解：先求 A的特征值,1 1 1
1 1 1||
1 1 1
1 1 1
EA
21 1 1
1 0 1
0 1 1
3( 1 ) ( 3 )
A的特征值为 （三重）,1 1 2 3.
20 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 1
3
1 1 1
( 1 ) 1 0 1
0 1 1
21
其次求属于 的特征向量，即求解方程组1 1
( ) 0E A X 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
EA
得其基础解
1
2
3
( 1,1,0,0 )
( 1,0,1,0 )
( 1,0,0,1 )
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
22
把它正交化，得
11 ( 1,1,0,0 )
21
2 2 1
11
(,) 1 1(,,1,0 )
(,) 2 2
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
(,) (,) 111(,,,1 )
(,) (,) 3 3 3
再单位化，得
23
11
1
1 1 1(,,0,0 )
|| 22
22
2
1 1 1 2(,,,0 )
|| 6 6 6
33
3
1 1 1 1 3(,,,)
|| 12 12 12 12
这是特征值 (三重 )的三个单位正交特征向量，1 1
也即是特征子空间 的一组标准正交基．1V?
24
再求属于 的特征向量，即解方程组2 3
3 1 1 1
1 3 1 13
1 1 3 1
1 1 1 3
EA
1 1 1 1
0 2 2 0
0 2 2 0
0 2 0 2
30E A X4444
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
得其基础解 4 ( 1,1,1,1 ),
25
再单位化得 4 1 1 1 1(,,,)2 2 2 2
这样 构成 的一组标准正交基，它们1 2 3 4,,,4R
都是 A的特征向量，正交矩阵
1 2 3 4
1 1 1 1
22 6 12
1 1 1 1
22 6 12
(,,,)
2 1 1
0
26 12
31
00
212
T
26
使得
1
1,
1
3
T A T
注：
成立的正交矩阵不是唯一的．
① 对于实对称矩阵 A，使 12(,,,)nT A T d ia g
而且对于正交矩阵 T,
还可进一步要求 1.T?
27
事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵 T
12(,,,),1nT A T diag T
取正交矩阵 ( 1,1,,1 ),S d ia g
则 是正交矩阵且1T TS? 1 1,T T S
同时有 '11 ( ) ( ) ( )T A T TS A TS S T A T S 1
2
11
11
11 n
12(,,,)nd ia g
28
② 如果不计较主对角线上元素的 排列的次序，与实对称矩阵 A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．
③ 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：
设 为实对称矩阵 A的所有特征值12 n
(i) A为正定的 0n
(ii) A为半正定的 0n
(iii) A为负定（半负定）的 110 ( 0)
29
(iv) A为不定的 1 0且 0n
④ 实对称矩阵 A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．
n－秩 (A)是 0为 A的特征值的重数,
30
1,解析几何中主轴问题将 上有心 二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标2R 3R
的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵,
四、实二次型的主轴问题
2,任意 n元实二次型的正交线性替换化标准形
1） 正交线性替换如果线性替换 X=CY
的矩阵 C是正交矩阵，则称之为 正交线性替换,
31
12
11
(,,,),,,
nn
n ij i j ij ji
ij
f x x x x x i j
2） 任一 n元实二次型都可以通过正交的线性替换 变成平方和X CY?
221 1 2 2,.,nnny y y
其中平方项的系数 为 A的全部特征值．12,,,n
32
例 2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是
2 2 211 22 33 12 13 232 2 2a x a y a z a xy a xz a y z
1 2 32 2 2 0b x b y b z d（ 1）
'' 2 0,X AX B X d（ 2）
则（ 1）式可以写成令
11 12 13 1
21 22 23 2
331 32 33
,,,
a a a b x
A a a a B b X y
zba a a
33
对（ 2）中的 有正交矩阵 C（且 ）' 3 3A A R 1C?
确定的坐标变换公式
11 12 13 1
21 22 23 1
131 32 33
c c c xx
y c c c y
z zc c c
' 1 2 3(,,),C A C di ag
曲面（ 1）的方程化成这样由（ 2）知道经过由 的坐标轴旋转,1X CX?
2 2 2 * * *1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 12 2 2 0x y z b x b y b z d
或 1X CX?
34
其中***1 2 3 1 2 3,,,,b b b b b b C?
这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的1 2 3,,
平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程．
如当 全不为零时，作平移1 2 3,,
*
1
12
1
*
2
12
2
*
3
12
3
b
xx
b
yy
b
zz
35
曲面方程（ 1）可以化为
2 2 2 *1 2 2 2 3 2 0,x y z d
***
* 312
1 2 3
.bbbdd其中
P395 17(1)
一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题
2
一,实对称矩阵的一些性质引理 1 设 A是实对称矩阵，则 A的特征值皆为实数．1
2
n
x
x
x
证：设 是 A的任意一个特征值，则有非零向量0?
满足 0,A
3
,,A A A A
其中 为 的共轭复数，i ixx
1
2
,
n
x
x
x
令
0
()A ()A
又由 A实对称，有
0()
AA
()A0() ()A
()A
0() 0
4
1212 0n nx x x x x x
由于 是非零复向量，必有?
故 00, 0,R
考察等式,00
5
引理 2 设 A是实对称矩阵，在 n维欧氏空间 上nR
( ),nAR
定义一个线性变换 如下：?
( ),,( ),
则对任意 有,,nR
或
( ) ( ),AA
6
12
1 0 0
01,,..,,
0
0 0 1
n
1 2 1 2(,,.,,,) (,,.,,,)nn A
证：取 的一组标准正交基，nR
则 在基 下的矩阵为 A，即? 12,,...,n
任取
11
22,,n
nn
xy
xy R
xy
7
1 1 2 2,.,nny y y
1 1 2 2,.,nnx x x即
( ),( )AX Y
()X AY
12(,,.,,,),n X
12(,,.,,,),n Y
于是
1 2 1 2( ) (,,.,,,) (,,.,,,),nnX A X
1 2 1 2( ) (,,.,,,) (,,.,,,),Y A Y
又 是标准正交基，12,,...,n
X AY()X A Y
,( )
8
,( ) ( ).A
即有( ),( )A( ),
又注意到在 中,,XYnR
二,对称变换
1．定义
( ),,( ),,,V
则称 为 对称变换,?
设 为欧氏空间 V中的线性变换，如果满足?
9
1） n维欧氏空间 V的对称变换与 n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：
2．基本性质
① 实对称矩阵可确定一个对称变换．
一组标准正交基．
11(,.,,) (,.,,)nn A
事实上，设,,nnA R A A12,,...,n为 V的定义 V的线性变换,?
则 即为 V的对称变换．
10
② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．
() nnijA a R12,,,n为 V的一组标准正交基，
事实上，设 为 n维欧氏空间 V上的对称变换，?
为 在这组基下的矩阵，即?
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn A
或
1 1 2 2() i i i n i na a a
1
,1,2,,
n
k i k
k
a i n?
11
于是
1
( ),,
n
i j k i k j
k
a
1
(,)
n
ki k j
k
a
(,)ji j ja jia?
1
,( ),
n
i j i k j k
k
a
1
(,)
n
kj i k
k
a
(,)ij i ia ija?
,,1,2,,ij ji i j n即所以 A为对称矩阵．
由 是对称变换，有( ),,( )i j i j
12
2）（ 引理 3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．
对,W
,W任取即 ( ),W ( ),W
证明：设 是对称变换,W为 的不变子空间．?
要证 ( ),W 即证 ( ),W
( ),W由 W是 子空间，有
( ),,( ) 0因此故 也为 的不变子空间．W
13
1,(引理 4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于 的特征向量．,,
则 ( ),A
三,实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．
正交基下的矩阵，
证：设实对称矩阵 A为 上对称变换 的在标准nR?
,是 A的两个不同特征值,
( ),A
由( ),,( )
14
又, (,) 0
即 正交．,
(定理 7)对 总有正交矩阵 T，使,,nnA R A A
1 12(,,,),nT A T T A T di ag
(,) (,),有
(,) (,),即
２．
15
证：设 A为 上对称变换 在标准正交基下的矩阵．nR?
由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有 n个特征向量作成的标准正交基即可．
n=1时，结论是显然的．
对 的维数 n用归纳法．nR
假设 n－ 1时结论成立，对 设其上的对称变换,nR?
有一单位特征向量,其相应的特征值为,即1? 1?
1 1 1 1( ),| | 1
16
设子空间 1( ),LW 显然 W是 子空间，
,d i m 1nW W R W n
( ),( ),W
则 也是 子空间，且W
又对 有,,W
,( ),( )W
所以 是 上的对称变换．W W
由归纳假设知 有 n－ 1 个特征向量W 23,,,n
构成 的一组标准正交基．W?
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从而 就是 的一组标准正交基，1 2 3,,,,nnR
又都是 的特征向量．nR 即结论成立．
3,实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设,nnA R A A
(i) 求出 A的所有不同的特征值,12,,,,r R
其重数 必满足 ;12,,,rn n n
1
r
i
i
nn
(ii) 对每个,解齐次线性方程组i?
( ) 0i E A X
18
求出它的一个基础解系,12,,,i i in
它是 A的属于特征值 的特征子空间 的一组基．i?
iV?
正交基 12,,,.i i in
把它们按 正交化过程化成 的一组标准Schm idt
iV?
(iii) 因为 互不相同，12,,..,r
且
1
dim,
i
r
i
Wn?
111 12 1 1 2,,,,,,,,rn r r rn 就是 V的一组标准正交基．
()ijV V i j所以
19
则 T是正交矩阵，且
111 12 1 1 2,,,,,,,,rn r r rn
将 的分量依次作矩阵 T的第 1,2,…,n列，
使 为对角形,1T A T T A T
例 1．设 0 1 1 11 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A
求一正交矩阵 T使 成对角形．TAT?
20
解：先求 A的特征值,1 1 1
1 1 1||
1 1 1
1 1 1
EA
21 1 1
1 0 1
0 1 1
3( 1 ) ( 3 )
A的特征值为 （三重）,1 1 2 3.
20 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 1
3
1 1 1
( 1 ) 1 0 1
0 1 1
21
其次求属于 的特征向量，即求解方程组1 1
( ) 0E A X 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
EA
得其基础解
1
2
3
( 1,1,0,0 )
( 1,0,1,0 )
( 1,0,0,1 )
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
22
把它正交化，得
11 ( 1,1,0,0 )
21
2 2 1
11
(,) 1 1(,,1,0 )
(,) 2 2
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
(,) (,) 111(,,,1 )
(,) (,) 3 3 3
再单位化，得
23
11
1
1 1 1(,,0,0 )
|| 22
22
2
1 1 1 2(,,,0 )
|| 6 6 6
33
3
1 1 1 1 3(,,,)
|| 12 12 12 12
这是特征值 (三重 )的三个单位正交特征向量，1 1
也即是特征子空间 的一组标准正交基．1V?
24
再求属于 的特征向量，即解方程组2 3
3 1 1 1
1 3 1 13
1 1 3 1
1 1 1 3
EA
1 1 1 1
0 2 2 0
0 2 2 0
0 2 0 2
30E A X4444
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
得其基础解 4 ( 1,1,1,1 ),
25
再单位化得 4 1 1 1 1(,,,)2 2 2 2
这样 构成 的一组标准正交基，它们1 2 3 4,,,4R
都是 A的特征向量，正交矩阵
1 2 3 4
1 1 1 1
22 6 12
1 1 1 1
22 6 12
(,,,)
2 1 1
0
26 12
31
00
212
T
26
使得
1
1,
1
3
T A T
注：
成立的正交矩阵不是唯一的．
① 对于实对称矩阵 A，使 12(,,,)nT A T d ia g
而且对于正交矩阵 T,
还可进一步要求 1.T?
27
事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵 T
12(,,,),1nT A T diag T
取正交矩阵 ( 1,1,,1 ),S d ia g
则 是正交矩阵且1T TS? 1 1,T T S
同时有 '11 ( ) ( ) ( )T A T TS A TS S T A T S 1
2
11
11
11 n
12(,,,)nd ia g
28
② 如果不计较主对角线上元素的 排列的次序，与实对称矩阵 A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．
③ 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：
设 为实对称矩阵 A的所有特征值12 n
(i) A为正定的 0n
(ii) A为半正定的 0n
(iii) A为负定（半负定）的 110 ( 0)
29
(iv) A为不定的 1 0且 0n
④ 实对称矩阵 A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．
n－秩 (A)是 0为 A的特征值的重数,
30
1,解析几何中主轴问题将 上有心 二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标2R 3R
的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵,
四、实二次型的主轴问题
2,任意 n元实二次型的正交线性替换化标准形
1） 正交线性替换如果线性替换 X=CY
的矩阵 C是正交矩阵，则称之为 正交线性替换,
31
12
11
(,,,),,,
nn
n ij i j ij ji
ij
f x x x x x i j
2） 任一 n元实二次型都可以通过正交的线性替换 变成平方和X CY?
221 1 2 2,.,nnny y y
其中平方项的系数 为 A的全部特征值．12,,,n
32
例 2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是
2 2 211 22 33 12 13 232 2 2a x a y a z a xy a xz a y z
1 2 32 2 2 0b x b y b z d（ 1）
'' 2 0,X AX B X d（ 2）
则（ 1）式可以写成令
11 12 13 1
21 22 23 2
331 32 33
,,,
a a a b x
A a a a B b X y
zba a a
33
对（ 2）中的 有正交矩阵 C（且 ）' 3 3A A R 1C?
确定的坐标变换公式
11 12 13 1
21 22 23 1
131 32 33
c c c xx
y c c c y
z zc c c
' 1 2 3(,,),C A C di ag
曲面（ 1）的方程化成这样由（ 2）知道经过由 的坐标轴旋转,1X CX?
2 2 2 * * *1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 12 2 2 0x y z b x b y b z d
或 1X CX?
34
其中***1 2 3 1 2 3,,,,b b b b b b C?
这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的1 2 3,,
平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程．
如当 全不为零时，作平移1 2 3,,
*
1
12
1
*
2
12
2
*
3
12
3
b
xx
b
yy
b
zz
35
曲面方程（ 1）可以化为
2 2 2 *1 2 2 2 3 2 0,x y z d
***
* 312
1 2 3
.bbbdd其中
P395 17(1)
