定理：
数字矩阵 相似 与 等价,,A B E A E B
设 P为数域 若有,,,nnA B P 00,nnP Q P
则 A与 B相似,
证：由00P E B Q
EA0 0 0 0P Q P B Q
得 0 0 0 0,P Q E P B Q A
即 100,PQ
引理 1：
00E A P E B Q①使
∴ A与 B相似,100,A Q B Q
0 0 0 0P E Q P B Q
对任意 及任意 -矩阵nnAP,,UV
0U E A Q U使 ②
0V R E A V③
一定存在 -矩阵 及,QR00,,nnU V P
引理 2：
证：
这里 且01,,,,nnmD D D P0 0.D?
10 1 1,mm mmU D D D D设
i) 若 则令0,m 000,.Q U D
ii） 若 设0,m?
120 1 2 1( ),mm mmQ Q Q Q Q
这里 为待定矩阵,nniQP 于是
10 1 0mmQ Q A Q
1 1 2 1mkk k m m mQ A Q Q A Q A Q
E A Q
要使①式成立，只需取
00
1 0 1
1
1 2 1
10
k k k
m m m
mm
QD
Q AQ D
Q AQ D
Q AQ D
AQ U D






即
00
1 1 0
1
1 1 2
01
k k k
m m m
mm
QD
Q D AQ
Q D AQ
Q D AQ
U D AQ






即可,
同理可证②,
设,则 A与 B相似,nnA B P
特征矩阵 与 等价,EA EB
定理：
证,""? 若 A与 B相似，则存在可逆矩阵 T，
于是1T E B T
由定理 6之推论，得 EA 与 等价,EB
1,A T B T使
EA 1E T BT
""? 若 与 等价，EA EB
则存在可逆 －矩阵,使? ( ),( )UV
( ) ( ) ( ),E A U E B V④
()R? 及,使00,nnU V P
存在 －矩阵? ( ),Q?由引理 2，对于 A,( ),( )UV
0U E A Q U⑤
0V R E A V⑥
由④，有
1U E A E B V
0E B R E A V
即，
1 0U E B R E A E B V
比较两端，得
1 nnT U E B R P⑦
0T E A E B V⑧
下证 T可逆,
由⑦有,,U T E U E B R
即E U T U E B R
1U T E A V R
10E A Q U T E A V R
10U T E A Q V R
比较两端，得
1 0E A Q V R
故 T可逆,
由引理 1,A与 B相似,
0,U T E
1 0,E A T E B V于是推论,设 则 相似,,nnA B P,AB
特征矩阵 与 有相同的不变因子,EA EB
证,相似,AB? EA 与 等价,EB
与 有相同的不变因子,? EA EB
矩阵 A的不变因子,
推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量,
注：
因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子定义为此线性变换的不变因子,
① 矩阵 A的特征矩阵 的不变因子也称为EA
② 对 有秩,nnAP ( ),E A n
从而,A有 n个不变因子，这 n个 不变因子的乘积等于,EA
1
( ),
n
i
i
d E A
即，
例 1,证明：下列三个矩阵彼此都不相似,
0 0 0 0 1 0
0 0,0 1,0 1
0 0 0 0 0 0
aaa
A a B a C a
aaa



证,的不变因子是：EA
1 2 3,,d a d a d a
的不变因子是：EB
的不变因子是：EC
21 2 31,,d d a d a
31 2 31,1,d d d a
故 的不变因子各不相同,,,A B C
,,A B C? 彼此不相似,
作业,
P357 4