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一,值域与核的概念二,值域与核的有关性质
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一、值域与核的概念定义 1：设 是线性空间 V的一个线性变换，?
集合( ) ( ) |VV
称为 线性变换 的值域,也记作 或I m,.V
集合1 ( 0 ) |,( ) 0V
称为 线性变换 的核,也记作? ker,?
注,皆为 V的子空间,1( ),( 0 )V
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事实上,且对( ),( ),V V V
( ),( ) ( ),V k P
有 ( ) ( ) ( ) ( )V
( ) ( ) ( )k k V
即 对于 V的加法与数量乘法封闭,()V?
()V 为 V的子空间,
再看 1(0). 1 ( 0 ),( 0 ) 0,V首先，
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又对 有 从而1,( 0 ), ( ) 0,( ) 0
( ) ( ) ( ) 0,
( ) ( ) 0 0,k k k k P
即 11( 0 ),( 0 ),k
故 为 V的子空间,1(0)
110 ( 0 ),( 0 ),
1 (0 ) 对于 V的加法与数量乘法封闭,
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定义 2,线性变换 的值域 的维数称为 的秩 ；()V
的核 的维数称为 的零度,1(0)
例 1,在线性空间 中，令[]nPx
则 1[ ] [ ],nnD P x P x
1 ( 0 )DP
所以 D的秩为 n－ 1,D的零度为 1.
)('))(( xfxfD?
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1,(定理 10) 设 是 n 维线性空间 V的线性变换，?
是 V的一组基,在这组基下的矩阵是 A，12,,,n
则
1） 的值域 是由基象组生成的子空间，即? ()V?
12( ) ( ),( ),,( )nVL
2） 的秩＝ A的秩,?
二、有关性质
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12( ),( ),,( )nL
即12( ) ( ),( ),,( )nVL
又对 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnx x x
1 1 2 2(,,,) ( )nnx x x V
证,1） 设,V 1 1 2 2,nnx x x
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx x x于是有 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnx x x
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12( ),( ),,( ) ( ),nLV
因此,12( ) ( ),( ),,( ),nVL
的秩，又
1 2 1 2,( ),( ),,( ) (,,,),nn A
∴ 秩 ＝秩()? ( ).A
等于矩阵 A的秩,
2） 由 1）,的秩等于基象组? 12( ),( ),,( )n
由第六章 § 5的 结论 3知,的秩12( ),( ),,( )n
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2,设 为 n 维线性空间 V的线性变换，则?
的秩＋ 的零度＝ n
即 1d i m ( ) d i m ( 0 ),Vn
证明：设 的零度等于 r,在核 中取一组基? 1(0)
12,,,r
并把它扩充为 V的一组基,12,,,,,rn
生成的,
由定理 10,是由基象组()V? 12( ),( ),,( )n
10
但 ( ) 0,1,2,,.i ir
1( ) ( ),,( )rnVL
设 11( ) ( ) 0r r n nkk
则有11 0r r n nkk
111 ( 0 )r r n nkk
下证 为 的一组基，即证它们1( ),,( )rn ()V?
即 可被 线性表出,? 12,,,r
线性无关,
11
设 1 1 2 2 rrk k k
于是有 1 1 2 2,1 1 0r r r r n nk k k k k
由于 为 V的基,12,,,n
12 0nk k k
的秩＝ n－ r,
因此,的秩＋ 的零度＝ n.
故 线 性无关，即它为 的一组基,1( ),,( )rn ()V?
12
虽然 与 的维数之和等于 n,但是()V? 1(0)
未必等于 V.1( ) ( 0 )V
如在例 1中,
1 1[ ] 0 [ ] [ ]n n nD P x D P x P x
注意：
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ⅰ ) 是满射? ()VV
证明,ⅰ ) 显然,
ⅱ ) 因为 若 为单射，则0 0,1 ( 0 ) 0,
3,设 为 n 维线性空间 V的线性变换，则?
ⅱ ) 是单射1 ( 0 ) 0
反之,若 任取 若1 ( 0 ) 0,,V、
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
即,= 故 是单射,1 ( 0 ) 0,从而
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是单射 是满射,
证明,是单射?
1 ( 0 ) 0
dim ( )Vn
4,设 为 n 维线性空间 V的线性变换，则?
1d i m ( 0 ) 0
是满射,
()VV
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例 2,设 A是一个 n阶方阵,证明,A相似于2,AA?
证：设 A是 n维线性空间 V的一个线性变换 在一?
组基 下的矩阵，即12,,,n
1 2 1 2,,,(,,,)nn A
一个对角矩阵
1
1
0
0









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由 知2,AA? 2,
任取 设( ),V ( ),,V
则 2( ) ( ( ) ) ( ) ( )
故有 当且仅当( ),( ) 0V0.
因此有1( ) ( 0 ) 0V
又 1d i m ( ) d i m ( 0 )Vn
所以有 1( ) ( 0 ),VV
从而 是直和,1( ) ( 0 )V
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在 中取一组基：1(0) 1,,rn
则 就是 V的一组基,1 2 1,,,,,r r n
显然有，
1 1 2 2,,,,rr
12 0,0,,0,r r n
在 中取一组基,12,,r()V?
用矩阵表示即
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1 2 1 2
1
1
(,,) (,,)
0
0
nn










所以,A相似于矩阵
1
1
.
0
0









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1 0 2 1
1 2 1 3
1 2 5 5
2 2 1 2
A




线性变换 在此基下的矩阵为?
1) 求 及 1(0).()V?
2) 在 中选一组基，把它扩充为 V的一组基，1(0)
并求 在这组基下的矩阵,?
并求 在这组基下的矩阵,?
3) 在 中选一组基，把它扩充为 V的一组基，()V?
例 3,设 是线性空间 V的一组基，已知1 2 3 4,,,
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解,1）先求 设 它在1(0). 1 ( 0 ), 1 2 3 4,,,
下的坐标为 1 2 3 4(,,,),x x x x
0,0,0,0,
故
1
2
3
4
1 0 2 1 0
1 2 1 3 0
1 2 5 5 0
2 2 1 2 0
x
x
x
x






由于 有 在 下的坐标为( ) 0, 1 2 3 4,,,()
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解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：
2 2 / 3 1 0,1 2 0 1
从而 1 1 2 32 2 / 3,
是 的一组基,1(0)1 12( 0 ),.L
由于 的零度为 2,所以 的秩为 2，
又由矩阵 A，有
2 1 2 42
即 为 2维的,()V?
再求 ( ).V?
1 1 2 3 4( ) 2
2 2 3 4( ) 2 2 2
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1 2 3 4( ) ( ),( ),( ),( )VL
2）因为1 2 1 2 1 2 3 4
1 0 2 1
0 1 2 / 3 2
,,,,,,
0 0 1 0
0 0 0 1






从而有所以,线性无关，12( ),( )
12( ),( )L
就是 的一组基,12( ),( ) ()V?
1 2 3 4 1(,,,) D
23
而
1 0 2 1
0 1 2 / 3 2
1 0,
0 0 1 0
0 0 0 1



1D? 可逆,
从而,线性无关，即为 V的一组基,1 2 1 2,,,
在基 下的矩阵为? 1 2 1 2,,,1
11
5 2 0 0
9 / 2 1 0 0
.
1 2 0 0
2 2 0 0
D AD




24
3）因为
1 2 3 4 1 2 3 4
1 0 0 0
1 2 0 0
( ),( ),,,,,
1 2 1 0
2 2 0 1







1 2 3 4 2(,,,) D
可逆,2D?
1 0 0 0
1 2 0 0
2 0,
1 2 1 0
2 2 0 1

而
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从而 线性无关，即为 V的一组基,1 2 3 4( ),( ),,
在这组基下的矩阵为 1
22
5 2 2 1
9 / 2 1 3 / 2 2
.
0 0 0 0
0 0 0 0
D AD