一,最小多项式的定义二,最小多项式的基本性质
§ 9 最小多项式由哈密尔顿 ― 凯莱定理，,( ) | |nnA P f E A
是 A的特征多项式，则 ( ) 0,fA?
因此，对任定一个矩阵,总可以找到一个nnAP
多项式 使( ) [ ],f x P x? ( ) 0,fA?
多项式 以 A为根,()fx
引入本节讨论，以矩阵 A为根的多项式的中次数最低的那个与 A的对角化之间的关系,
此时，也称
§ 9 最小多项式一、最小多项式的定义定义,设 在数域 P上的以 A为根的多项,nnAP
为 A的最小多项式,
式中，次数最低的首项系数为 1的那个多项式，称
§ 9 最小多项式二、最小多项式的基本性质
1.（引理 1） 矩阵 A的最小多项式是唯一的,
证：设 都是 A的最小多项式,12( ),( )g x g x
由带余除法,可表成1()gx
12( ) ( ) ( ) ( )g x q x g x r x
其中 或( ) 0rx? 2( ( ) ) ( ( ) ),r x g x
于是有
§ 9 最小多项式由最小多项式的定义,( ) 0,rx?
即,21( ) ( ),g x g x
同理可得,12( ) ( ),g x g x
12( ) ( ),0g x c g x c
12( ) ( ) ( ) ( ) 0g A q A g A r A
( ) 0rA
又 都是首 1多项式,12( ),( )g x g x 1c
故 12( ) ( ),g x g x?
§ 9 最小多项式
2.（引理 2） 设 是矩阵 A的最小多项式，则()gx
()fx以 A为根 ( ) ( ),g x f x?
证：充分性显然，只证必要性由带余除法,可表成()fx
( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x
其中 或( ) 0rx? ( ( ) ) ( ( ) ),r x g x
于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f A q A g A r A
( ) 0rA
§ 9 最小多项式由最小多项式的定义,( ) 0.rx?
( ) ( ),g x f x?
由此可知：
若 是 A的最小多项式，则 整 除 任何一()gx ()gx
个以 A为根的多项式，从而整除 A的特征多项式,即
3,矩阵 A的最小多项式是 A的特征多项式的一个因子,
§ 9 最小多项式例 1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 ;xk?
特别地，单位矩阵的最小多项式是 ；1x?
零矩阵的最小多项式是,x
反之，若矩阵 A的最小多项式是一次多项式，则
A一定是数量矩阵,
例 2、求 的最小多项式,
1 1 0
0 1 0
0 0 1
A



§ 9 最小多项式解,A的特征多项式为
3
1 1 0
( ) | | 0 1 0 ( 1 )
0 0 1
x
f x x E A x x
x


又 0,AE
22( ) 2A E A A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0
0 1 0 0 2 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 2 0 0 1



∴ A的最小多项式为 2( 1),x?
§ 9 最小多项式
4,相似矩阵具有相同的最小多项式,
证：设矩阵 A与 B相似,分别为它们的( ),( )ABg x g x
最小多项式,
由 A相似于 B，存在可逆矩阵 T,使 1,B T A T
从而 11( ) ( ) ( ) 0A A Ag B g T A T T g A T
()Agx? 也以 B为根，
同理可得 ( ) ( ),ABg x g x
( ) ( ),BAg x g x从而又 都是首 1多项式，( ),( )ABg x g x ( ) ( ),ABg x g x
§ 9 最小多项式反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似,
如：
1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0,
0 0 1 0 0 0 2 0
0 0 0 2 0 0 0 2
AB





的最小多项式皆为 但 A与 B不相似,2( 1 ) ( 2 ),xx
注,
3| | ( 1 ) ( 2 ),E A x x
22| | ( 1 ) ( 2 )E B x x
| | | |,E A E B即 所以,A与 B不相似,
§ 9 最小多项式
5.（引理 3） 设 A是一个准对角矩阵
1
2
0
0
AA
A


并设 的最小多项式分别为,12( ),( )g x g x12,AA
则 A的最小多项式为 的最小公倍式,12( ),( )g x g x
证,记 12( ) [ ( ),( ) ]g x g x g x?
首先,1
2
( ) 0( ) 0
0 ( )
gAgA
gA


即 A为 的根,()gx
§ 9 最小多项式所以 被 A的最小多项式整除,()gx
则 1
2
( ) 0( ) 0
0 ( )
hAhA
hA


从而 12( ) 0,( ) 0,h A h A
( ) 0,hA?其次，如果
12( ) ( ),( ) ( ),g x h x g x h x?
从而 ( ) ( ),g x h x
故 为 A的最小多项式,()gx
§ 9 最小多项式若 A是一个准对角矩阵 1
2
s
A
A
A




且 的最小多项式为iA ( ),1,2,.,,,ig x i s?
则 A的最小多项式是为 12[ ( ),( ),.,,,( ) ],sg x g x g x
推广,
特别地,若 两两互素，即12( ),( ),.,,,( )sg x g x g x
12( ),( ),.,,,( ) 1sg x g x g x?
则 A的最小多项式是为 12( ) ( ),,,( ),sg x g x g x
§ 9 最小多项式
6.（引理 4） 级若当块k
1
1
1
a
a
J
a





的最小多项式为 ( ),kxa?
证,J的特征多项式为 ()kxa?
( ) 0,kJ a E
§ 9 最小多项式而
0
10
10
0,
10
J aE






2
0
00
1 0 0
( ) 0,
1 0 0
J aE






1
0
( ) 0,0
1 0 0
kJ a E?




J? 的最小多项式为 ( ),kxa?
§ 9 最小多项式
6.（定理 13） 与对角矩阵相似nnAP
A? 的最小多项式是 P上互素的一次因式的积,
证：由引理 3的推广，必要性显然,只证充分性,
根据矩阵与线性变换之间的对应关系，
设 V上线性变换 在某一组基下的矩阵为 A，?
则 ( ) ( ) 0,gV
( ),gx则 的最小多项式与 A的最小多项式相同,设为?
§ 9 最小多项式若 为 P上互素的一次因式的乘积：()gx
12( ) ( ) ( ),,,( )sg x x a x a x a
则 12,,,,SV V V V
其中 { |,( ) ( ) 0 },iiV V a E
（此结论的证明步骤同定理 12）把 各自的基合起来就是 V的一组基,12,,,SV V V
从而 A相似于对角矩阵,
特征向量,所以,在这组基下的矩阵为对角矩阵,?
在这组基中，每个向量都属于某个,即是 的iV?
§ 9 最小多项式
8,与对角矩阵相似nnAC
A? 的最小多项式没有重根,
练习：
求矩阵 的最小多项式,
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A




§ 9 最小多项式
1 1 1
1 1 1( ) | |
1 1 1
x
xf x E A E
x



1() nx n x
又 20,0,0A A n E A
A? 的最小多项式为 ( ).x x n?
解,的特征多项式而 ( ) 0,A A n E