1
一,线性变换的乘积二,线性变换的和三,线性变换的数量乘法四,线性变换的逆五,线性变换的多项式
2
1,定义设 为线性空间 V的两个线性变换，定义它们,
事实上,( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) )
一,线性变换的乘积的 乘积 为,,V
则 也是 V的线性变换,
( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )k k k k k
3
２,基本性质
（ 1） 满足结合律,
（ 2）,E为单位变换EE
（ 3） 交换律一般不成立，即一般地，
.
4
例 1,线性空间 中，线性变换[]Rx
D f x f x
0,xD J f x D f t d t f x
0 0xJ D f x J f x f t d t f x f
而，
.D J J D
0 xJ f x f t d t
即,DJ E?
5
( ),X A X
例 2,设 A,B 为两个取定的矩阵，定义变换nnP
则 皆为 的线性变换，且对 有, nnP?,nnXP
( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ),X X XB A XB AX B
( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ),X X AX AX B AX B
( ),X X B
nnXP
.
6
则 也是 V的线性变换,
二,线性变换的和
1,定义设 为线性空间 V的两个线性变换，定义它们,
,V的 和 为：
事实上,( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k
( ( ) ( ) ) ( ) ( ),kk
7
（ 3） 0为零变换,0 0,
（ 4） 乘法对加法满足左、右分配律：
2,基本性质
（ 1）满足交换律,
（ 2）满足结合律,
8
,V
3,负变换设 为线性空间 V的线性变换，定义变换 为：
则 也为 V的线性变换，称之为 的 负变换,
注,( ) 0
9
,k k V
三,线性变换的数量乘法
1,定义的 数量乘积 为：k?
则 也是 V的线性变换,k?
设 为线性空间 V的线性变换,定义 k与?,kP
10
( 1 ) ( ) ( )k l k l
( 2 ) ( )k l k l
( 3 ) ( )k k k
( 4 ) 1
2,基本性质注,线性空间 V上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域 P上的一个线性空间，记作 ().LV
11
四,线性变换的逆
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1.
1,定义设 为线性空间 V的线性变换，若有 V的变换 使
2,基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 也是 V的线性变换,? 1
12
1 1 1 1
1 1 1
11
证：对,,,V k P
1 1 1
1 1 1 1 1k k k
1 1 1 1k k k
是 V的线性变换,1
13
(2) 线性变换 可逆 线性变换 是一一对应,
,n
n
当 时，规定 （单位变换）,0n? 0 E
五、线性变换的多项式
1,线性变换的幂设 为线性空间 V的线性变换,n为自然数，定义?
称之为 的 n次幂,?
14
① 易证,,,0nm n m n m m n mn
注：
1 nn
② 当 为可逆变换时，定义 的 负整数幂 为
③ 一般地,,n nn
15
设 10 [ ],mmf x a x a x a P x
为 V的一个线性变换，则
10() mmf a a a E
2,线性变换的多项式多项式,
也是 V的一个线性变换，称 为线性变换 的?()f?
16
注：
,h x f x g x p x f x g x
① 在 中，若[]Px
则有,,h f g
f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律,
p f g
② 对 有( ),( ) [ ],f x g x P x
f g g f
17
用 D表示，即
:,( ( ) ) ( ),( )D V V D f x f x f x V
例 1,上的求微商是一个 线性变换，[]nV P x?
10nD?
2 ( ( ) ) ( )f f a是一个线性变换,
一,线性变换的乘积二,线性变换的和三,线性变换的数量乘法四,线性变换的逆五,线性变换的多项式
2
1,定义设 为线性空间 V的两个线性变换，定义它们,
事实上,( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) )
一,线性变换的乘积的 乘积 为,,V
则 也是 V的线性变换,
( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )k k k k k
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２,基本性质
（ 1） 满足结合律,
（ 2）,E为单位变换EE
（ 3） 交换律一般不成立，即一般地，
.
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例 1,线性空间 中，线性变换[]Rx
D f x f x
0,xD J f x D f t d t f x
0 0xJ D f x J f x f t d t f x f
而，
.D J J D
0 xJ f x f t d t
即,DJ E?
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( ),X A X
例 2,设 A,B 为两个取定的矩阵，定义变换nnP
则 皆为 的线性变换，且对 有, nnP?,nnXP
( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ),X X XB A XB AX B
( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ),X X AX AX B AX B
( ),X X B
nnXP
.
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则 也是 V的线性变换,
二,线性变换的和
1,定义设 为线性空间 V的两个线性变换，定义它们,
,V的 和 为：
事实上,( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k
( ( ) ( ) ) ( ) ( ),kk
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（ 3） 0为零变换,0 0,
（ 4） 乘法对加法满足左、右分配律：
2,基本性质
（ 1）满足交换律,
（ 2）满足结合律,
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,V
3,负变换设 为线性空间 V的线性变换，定义变换 为：
则 也为 V的线性变换，称之为 的 负变换,
注,( ) 0
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,k k V
三,线性变换的数量乘法
1,定义的 数量乘积 为：k?
则 也是 V的线性变换,k?
设 为线性空间 V的线性变换,定义 k与?,kP
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( 1 ) ( ) ( )k l k l
( 2 ) ( )k l k l
( 3 ) ( )k k k
( 4 ) 1
2,基本性质注,线性空间 V上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域 P上的一个线性空间，记作 ().LV
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四,线性变换的逆
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1.
1,定义设 为线性空间 V的线性变换，若有 V的变换 使
2,基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 也是 V的线性变换,? 1
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1 1 1 1
1 1 1
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证：对,,,V k P
1 1 1
1 1 1 1 1k k k
1 1 1 1k k k
是 V的线性变换,1
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(2) 线性变换 可逆 线性变换 是一一对应,
,n
n
当 时，规定 （单位变换）,0n? 0 E
五、线性变换的多项式
1,线性变换的幂设 为线性空间 V的线性变换,n为自然数，定义?
称之为 的 n次幂,?
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① 易证,,,0nm n m n m m n mn
注：
1 nn
② 当 为可逆变换时，定义 的 负整数幂 为
③ 一般地,,n nn
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设 10 [ ],mmf x a x a x a P x
为 V的一个线性变换，则
10() mmf a a a E
2,线性变换的多项式多项式,
也是 V的一个线性变换，称 为线性变换 的?()f?
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注：
,h x f x g x p x f x g x
① 在 中，若[]Px
则有,,h f g
f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律,
p f g
② 对 有( ),( ) [ ],f x g x P x
f g g f
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用 D表示，即
:,( ( ) ) ( ),( )D V V D f x f x f x V
例 1,上的求微商是一个 线性变换，[]nV P x?
10nD?
2 ( ( ) ) ( )f f a是一个线性变换,
