1
一,特征值与特征向量二,特征值与特征向量的求法三,特征子空间四,特征多项式的有关性质
2
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使 V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵?
引入有限维线性空间 V中取定一组基后,V的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵,
变换都可以用矩阵来表示,为了研究线性变换性质，
3
设 是数域 P上线性空间 V的一个线性变换，?
则称 为 的一个 特征值,称 为 的属于特征值0
0( ),
一、特征值与特征向量定义：
若对于 P中的一个数 存在一个 V的非零向量,?0,?
使得的 特征向量,0?
4
① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，
00( ) ( ) ( ) ( )k k k k
注：
相同 或相反0( 0) 0( 0 ). 0 ()0,0.时
② 若 是 的属于特征值 的特征向量，则 0?
也是 的属于 的特征向量,?(,0 )k k P k0?
但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若 且,则( ) ( ).
5
设 是 V的一组基,12d i m,,,,nVn
线性变换 在这组基下的矩阵为 A.?
12,,,n下的坐标记为
01
0
,
n
x
x
二、特征值与特征向量的求法分析：
设 是 的特征值，它的一个特征向量 在基0
则 在基 下的坐标为()
01
0
,
n
x
A
x
12,,,n
6
而 的坐标是0
01
0
0
,
n
x
x
0
0 1 0 1
00
,
nn
xx
A
xx
于是
0()又
0
01
0
( ) 0,
n
x
EA
x
从而
01
0
0,0,
n
x
x
又即 是线性方程组 的解，
01
0n
x
x
0( ) 0E A X
7
以上分析说明：
所以它的系数行列式 0 0.EA
从而 有非零解,0( ) 0E A X
若 是 的特征值，则 0 0.EA0
反之，若 满足0 P 0 0,EA
则齐次线性方程组 有非零解,0( ) 0E A X
若 是 一个非零解，0( ) 0E A X0 1 0 2 0(,,,)nx x x?
特征向量,
则向量 就是 的属于 的一个0 1 1 0 nnxx 0?
8
设 是一个文字，矩阵 称为,nnAP EA
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
...
...
...,..
...
()
n
n
n n n n
A
a a a
a a aEA
a a a
f
称为 A的 特征多项式,
1,特征多项式的定义
A的 特征矩阵,它的行列式
（ 是数域 P上的一个 n次多项式）()Af?
9
② 矩阵 A的特征多项式的根有时也称 为 A的特征值,
注：
① 若矩阵 A是线性变换 关于 V的一组基的矩阵,?
而 是 的一个特征值，则 是特征多项式0 ()Af?0?
的根，即 0( ) 0,Af
的一个特征值,
反之，若 是 A的特征多项式的根，则 就是0?0
（所以，特征值也称 特征根,）
而相应的线性方程组 的非零解也就( ) 0E A X
称为 A的属于这个特征值的特征向量,
10
i) 在 V中任取一组基 写出 在这组基下?12,,,,n
就是 的全部特征值,?
ii) 求 A的特征多项式 在 P上的全部根,它们EA
2,求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵 A,
iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
( ) 0E A X
的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标,)
并求出它的一组基础解系,(它们就是属于这个特征值
12,,,n
11
1
,1,2,,
n
i ij j
j
c i r
则就是属于这个特征值 的全部线性 无关的特征向量,0?
而 1 1 2 2,rrk k k
（其中,不全为零 ）12,,,rk k k P?
就是 的属于 的全部特征向量,0
1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2(,,,),(,,,),,(,,,)n n r r r nc c c c c c c c c
如果特征值 对应方程组的基础解系为：0?
12
对 皆有 ( 0 ),V( ),Kk
( ),nE k E k
所以,V中任一非零向量皆为数乘变换 K的特征向量,
例 1.在线性空间 V中，数乘变换 K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵 kE，它的特征多项式是故数乘法变换 K的特征值只有数 k，且
13
1 2 2
2 1 2,
2 2 1
A
解,A的特征多项式
1 2 2
2 1 2
2 2 1
EA
2( 1 ) ( 5)
例 2.设线性变换 在基 下的矩阵是? 1 2 3,,
求 的特征值与特征向量,?
故 的特征值为,（二重）121,5
14
把 代入齐次方程组 得1 ( ) 0,E A X
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 0
2 2 2 0
2 2 2 0
x x x
x x x
x x x
即 1 2 3 0x x x
它的一个基础解系为,( 1,0,1 ),( 0,1,1 )
因此，属于 的两个线性无关的特征向量为1?
1 1 3 2 2 3,
而属于 的全部特征向量为1?
1 1 2 2 1 2,(,)k k k k P 不全为零
15
因此，属于 5的一个线性无关的特征向量为把 代入齐次方程组 得5 ( ) 0,E A X
解得它的一个基础解系为,(1,1,1)
3 1 2 3
而属于 5的全部特征向量为
3 3 3 3,(,)k k P k 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 2 2 0
2 4 2 0
2 2 4 0
x x x
x x x
x x x
16
三、特征子空间定义：
00V再添上零向量所成的集合，即
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )
设 为 n维线性空间 V的线性变换,为0
的一个特征值，令 为 的属于 的全部特征向量
0V?
0?
则 是 V的一个子空间,称之为 的一个 特征子空间,?
0V?
00( ) ( ) ( ) ( )k k k k
00,V k V
17
注：
的解空间的维数，且由方程组 (*)得到的属于 的0?
若 在 n维线性空间 V的某组基下的矩阵为 A，则?
0 0d im ( )V n E A秩即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组
0V?
0( ) 0E A X(*)
全部线性无关的特征向量就是 的一组基,
0V?
18
四、特征多项式的有关性质
1,设 则 A的特征多项式,nnijA a P 11 12 1
21 22 2
12
...
...
...,..
...
n
n
n n n n
a a a
a a aEA
a a a
1 1 2 2
1( ) ( 1 )
nn
n n na a a A
由多项式根与系数的关系还可得
② A的 全体特征值的积＝,A
① A的全体特征值的和＝ 1 1 2 2,nna a a
称之为 A的迹,
记作 trA.
19
证,设 则存在可逆矩阵 X,使得,AB
1B X A X
11X E X X A X
1 ()X E A X
1X E A X
2,(定理 6) 相似矩阵具有相同的特征多项式,
1E B E X A X于是，
EA
20
注：
② 有相同特征多项式的矩阵未必相似,
它们的特征多项式都是,但 A,B不相似,2( 1)
多项式 ；
因此,矩阵 A的特征多项式也说成是 线性变换 的特征?
① 由 定理 6线性变换 的特征值与基的选择无关,?
如1 0 1 1,0 1 0 1AB
③ 相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹和秩,
21
设 为 A的特征多项式,则,( )nnA P f E A
1 1 2 2 1( ) ( ) ( 1 ) 0,nnn n nf A A a a a A A E
3,哈密尔顿 ─ 凯莱 （ Hamilton─ Caylay） 定理零矩阵
( ) 0.f的特征多项式，则零变换
4,设 为有限维线性空间 V的线性变换,是()f
22
例 3,设 求
1 0 2
0 1 1,
0 1 0
A
8 5 4 22 3 4,A A A A E
3( ) 2 1f E A解,A的特征多项式用 去除 得()f? 8 5 4 22 3 4 ( ),g
5 3 2( ) ( ) ( 2 4 5 9 1 4 )gf
2( 2 4 3 7 1 0 )
23
( ) 0,fA?
8 5 4 2 22 3 4 2 4 3 7 1 0A A A A E A A E
3 4 8 2 6
0 9 5 6 1
0 6 1 3 4
24
练习 1,已知 为 A的一个特征值，则,nnAP
（ 1） 必有一个特征值为 ;()k A k P?
（ 2） 必有一个特征值为 ;()mA m Z
（ 3） A可逆时,必有一个特征值为 ;1A?
（ 4） A可逆时,必有一个特征值为,*A
k?
m?
1
A
（ 5） 则 必有一个特征值为,( ) [ ],( )f x P x f A? ()f?
25
行列式 ＝,B
练习 2,已知 3阶方阵 A的特征值为,1、－ 1,2，
则矩阵 的特征值为：,322B A A 1,3,0
0
一,特征值与特征向量二,特征值与特征向量的求法三,特征子空间四,特征多项式的有关性质
2
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使 V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵?
引入有限维线性空间 V中取定一组基后,V的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵,
变换都可以用矩阵来表示,为了研究线性变换性质，
3
设 是数域 P上线性空间 V的一个线性变换，?
则称 为 的一个 特征值,称 为 的属于特征值0
0( ),
一、特征值与特征向量定义：
若对于 P中的一个数 存在一个 V的非零向量,?0,?
使得的 特征向量,0?
4
① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，
00( ) ( ) ( ) ( )k k k k
注：
相同 或相反0( 0) 0( 0 ). 0 ()0,0.时
② 若 是 的属于特征值 的特征向量，则 0?
也是 的属于 的特征向量,?(,0 )k k P k0?
但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若 且,则( ) ( ).
5
设 是 V的一组基,12d i m,,,,nVn
线性变换 在这组基下的矩阵为 A.?
12,,,n下的坐标记为
01
0
,
n
x
x
二、特征值与特征向量的求法分析：
设 是 的特征值，它的一个特征向量 在基0
则 在基 下的坐标为()
01
0
,
n
x
A
x
12,,,n
6
而 的坐标是0
01
0
0
,
n
x
x
0
0 1 0 1
00
,
nn
xx
A
xx
于是
0()又
0
01
0
( ) 0,
n
x
EA
x
从而
01
0
0,0,
n
x
x
又即 是线性方程组 的解，
01
0n
x
x
0( ) 0E A X
7
以上分析说明：
所以它的系数行列式 0 0.EA
从而 有非零解,0( ) 0E A X
若 是 的特征值，则 0 0.EA0
反之，若 满足0 P 0 0,EA
则齐次线性方程组 有非零解,0( ) 0E A X
若 是 一个非零解，0( ) 0E A X0 1 0 2 0(,,,)nx x x?
特征向量,
则向量 就是 的属于 的一个0 1 1 0 nnxx 0?
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设 是一个文字，矩阵 称为,nnAP EA
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
...
...
...,..
...
()
n
n
n n n n
A
a a a
a a aEA
a a a
f
称为 A的 特征多项式,
1,特征多项式的定义
A的 特征矩阵,它的行列式
（ 是数域 P上的一个 n次多项式）()Af?
9
② 矩阵 A的特征多项式的根有时也称 为 A的特征值,
注：
① 若矩阵 A是线性变换 关于 V的一组基的矩阵,?
而 是 的一个特征值，则 是特征多项式0 ()Af?0?
的根，即 0( ) 0,Af
的一个特征值,
反之，若 是 A的特征多项式的根，则 就是0?0
（所以，特征值也称 特征根,）
而相应的线性方程组 的非零解也就( ) 0E A X
称为 A的属于这个特征值的特征向量,
10
i) 在 V中任取一组基 写出 在这组基下?12,,,,n
就是 的全部特征值,?
ii) 求 A的特征多项式 在 P上的全部根,它们EA
2,求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵 A,
iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
( ) 0E A X
的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标,)
并求出它的一组基础解系,(它们就是属于这个特征值
12,,,n
11
1
,1,2,,
n
i ij j
j
c i r
则就是属于这个特征值 的全部线性 无关的特征向量,0?
而 1 1 2 2,rrk k k
（其中,不全为零 ）12,,,rk k k P?
就是 的属于 的全部特征向量,0
1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2(,,,),(,,,),,(,,,)n n r r r nc c c c c c c c c
如果特征值 对应方程组的基础解系为：0?
12
对 皆有 ( 0 ),V( ),Kk
( ),nE k E k
所以,V中任一非零向量皆为数乘变换 K的特征向量,
例 1.在线性空间 V中，数乘变换 K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵 kE，它的特征多项式是故数乘法变换 K的特征值只有数 k，且
13
1 2 2
2 1 2,
2 2 1
A
解,A的特征多项式
1 2 2
2 1 2
2 2 1
EA
2( 1 ) ( 5)
例 2.设线性变换 在基 下的矩阵是? 1 2 3,,
求 的特征值与特征向量,?
故 的特征值为,（二重）121,5
14
把 代入齐次方程组 得1 ( ) 0,E A X
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 0
2 2 2 0
2 2 2 0
x x x
x x x
x x x
即 1 2 3 0x x x
它的一个基础解系为,( 1,0,1 ),( 0,1,1 )
因此，属于 的两个线性无关的特征向量为1?
1 1 3 2 2 3,
而属于 的全部特征向量为1?
1 1 2 2 1 2,(,)k k k k P 不全为零
15
因此，属于 5的一个线性无关的特征向量为把 代入齐次方程组 得5 ( ) 0,E A X
解得它的一个基础解系为,(1,1,1)
3 1 2 3
而属于 5的全部特征向量为
3 3 3 3,(,)k k P k 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 2 2 0
2 4 2 0
2 2 4 0
x x x
x x x
x x x
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三、特征子空间定义：
00V再添上零向量所成的集合，即
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )
设 为 n维线性空间 V的线性变换,为0
的一个特征值，令 为 的属于 的全部特征向量
0V?
0?
则 是 V的一个子空间,称之为 的一个 特征子空间,?
0V?
00( ) ( ) ( ) ( )k k k k
00,V k V
17
注：
的解空间的维数，且由方程组 (*)得到的属于 的0?
若 在 n维线性空间 V的某组基下的矩阵为 A，则?
0 0d im ( )V n E A秩即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组
0V?
0( ) 0E A X(*)
全部线性无关的特征向量就是 的一组基,
0V?
18
四、特征多项式的有关性质
1,设 则 A的特征多项式,nnijA a P 11 12 1
21 22 2
12
...
...
...,..
...
n
n
n n n n
a a a
a a aEA
a a a
1 1 2 2
1( ) ( 1 )
nn
n n na a a A
由多项式根与系数的关系还可得
② A的 全体特征值的积＝,A
① A的全体特征值的和＝ 1 1 2 2,nna a a
称之为 A的迹,
记作 trA.
19
证,设 则存在可逆矩阵 X,使得,AB
1B X A X
11X E X X A X
1 ()X E A X
1X E A X
2,(定理 6) 相似矩阵具有相同的特征多项式,
1E B E X A X于是，
EA
20
注：
② 有相同特征多项式的矩阵未必相似,
它们的特征多项式都是,但 A,B不相似,2( 1)
多项式 ；
因此,矩阵 A的特征多项式也说成是 线性变换 的特征?
① 由 定理 6线性变换 的特征值与基的选择无关,?
如1 0 1 1,0 1 0 1AB
③ 相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹和秩,
21
设 为 A的特征多项式,则,( )nnA P f E A
1 1 2 2 1( ) ( ) ( 1 ) 0,nnn n nf A A a a a A A E
3,哈密尔顿 ─ 凯莱 （ Hamilton─ Caylay） 定理零矩阵
( ) 0.f的特征多项式，则零变换
4,设 为有限维线性空间 V的线性变换,是()f
22
例 3,设 求
1 0 2
0 1 1,
0 1 0
A
8 5 4 22 3 4,A A A A E
3( ) 2 1f E A解,A的特征多项式用 去除 得()f? 8 5 4 22 3 4 ( ),g
5 3 2( ) ( ) ( 2 4 5 9 1 4 )gf
2( 2 4 3 7 1 0 )
23
( ) 0,fA?
8 5 4 2 22 3 4 2 4 3 7 1 0A A A A E A A E
3 4 8 2 6
0 9 5 6 1
0 6 1 3 4
24
练习 1,已知 为 A的一个特征值，则,nnAP
（ 1） 必有一个特征值为 ;()k A k P?
（ 2） 必有一个特征值为 ;()mA m Z
（ 3） A可逆时,必有一个特征值为 ;1A?
（ 4） A可逆时,必有一个特征值为,*A
k?
m?
1
A
（ 5） 则 必有一个特征值为,( ) [ ],( )f x P x f A? ()f?
25
行列式 ＝,B
练习 2,已知 3阶方阵 A的特征值为,1、－ 1,2，
则矩阵 的特征值为：,322B A A 1,3,0
0
