1
一,不变子空间的概念二,线性变换在不变子空间上的限制三,不变子空间与线性变换的矩阵化简四,线性空间的直和分解
2
设 是数域 P上线性空间 V的线性变换,W是 V的?
的子空间，若 有,W( ) ( )W W W即则称 W是 的不变子空间,简称为 －子空间,
V的平凡子空间（ V及零子空间）对于 V的任意一个变换 来说，都是 －子空间,
一、不变子空间
1、定义注：
3
1） 两个 －子空间的交与和仍是 －子空间,
2） 设 则 W是 －子空间12(,,),sWL
12( ),( ),,( ),s W
证,显然成立,""?
""? 任取 设,W 1 1 2 2,ssk k k
则 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ),ssk k k
故 W为 的不变子空间,?
2、不变子空间的简单性质由于 12( ),( ),,( ),s W( ),W
4
1） 线性变换 的值域 与核 都是 的? ()V1 0
不变子空间,
证,( ) ( ),V V V
,( ) ( ),VV有故 为 的不变子空间,()V
又任取 有1 0, 1( ) 0 ( 0 ),
3、一些重要不变子空间
1 ( 0 ) 也为 的不变子空间,?
5
2） 若 则 与 都是 －子空间,, ()V? 1(0)
证,( ) ( ),VV
对 存在 使 ( ),,VV( ),
于是有，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V
()V 为 的不变子空间,?
1 0,0,V其次，由对 有1 0, 0.
6
于是( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0,
1( ) 0,
故 为 的不变子空间,1 0
的多项式 的值域与核都是 的不变子空间, ()f
这里 为 中任一多项式,()fx []Px
( ) ( )ff
注：
7
,W k W4） 线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间,?
0V?
,.o o oVV有5） 由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间,
证：设 是 的分别属于特征值12,,,s
12,,,s的特征向量,
3） 任何子空间都是数乘变换 的不变子空间,?
任取 12(,,,),sL
设 1 1 2 2,ssk k k则
1 1 1 2 2 2 1 2( ) (,,,)s s s sk k k L
12(,,,)sL 为 的不变子空间,?
8
事实上，若,0,W L k k P
则 为 的一组基,L? 因为 W为 －子空间,?
( ),W即必存在 使,P,
是 的特征向量,?
特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一?
个一维 －子空间,? 反过来，一个一维 －子空间?
必可看成是 的一个特征向量生成的子空间,?
注：
9
二,在不变子空间 W引起的线性变换?
定义：
不变子空间 W上的限制,记作,W?
在不变子空间 W上引起的线性变换,或称作 在
设 是线性空间 V的线性变换,W是 V的 一个 的
不变子空间,把 看作 W上的一个线性变换，称作?
10
① 当 时，W ( ) ( ),W
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零?
变换，即1 0 0;
即有
0
.Vo E
注：
当 时,无意义,W ()W
,W WW②
在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换，
0V?
11
1,设 是 维线性空间 V的线性变换,W是 V 的? n
－子空间,为 W的一组基，把它扩允为12,,,k
V的一组基,1 2 1,,,,,.k k n
若 在基 下的矩阵为,则W? 12,,,k 1 kkAP
在基 下的矩阵具有下列形状,12,,,n
12
3
.0AAA
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
12
反之，若 121 2 1 2
3
,,,,,,,0nn AA A
1,kkAP 则由 生成的子空间必为 的12,,,k
不变子空间,
事实上，因为 W是 V的不变子空间,
12( ),( ),,( ),k W
即,均可被12( ),( ),,( )k12,,,k
线性表出,
13
从而,12(,,,)n
11 12 1 1,1 1
11 11 2 2,1 2
1 2,112
1,1
,1
(,,,)
0 0 0
0 0 0
k k n
k k n
k k kk k k knn
k k kn
n k n n
a a a a a
a a a a a
a a a a a
aa
aa
1212
3
(,,,),0n AA A
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
()
()
()
kk
kk
k k k kk k
a a a
a a a
a a a
设
14
在这组基下的矩阵为
iW?,,1,2,,.
iinniiA A P i s
若,则12 sV W W W
1211 1 21 2 1,,,,,,,,,sn n s sn
为 V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵?
2,设 是 维线性空间 V的 线性变换,都是n? iW?
的不变子空间，而 是 的一组基，且iW12,,,ii i in
1
2,
s
A
A
A
（ 1）
15
的子空间 为 的不变子空间，且 V具有直和分解：?iW
12,sV W W W
由此即得：
下的矩阵为准对角矩阵 (1),则由 生成12,,,ii i in
V的线性变换 在某组基下的矩阵为准对角形?
V可分解为一些 的不变子空间的直和,
反之，若 在基 1211 1 21 2 1,,,,,,,,,sn n s sn
16
定理 12：设 为线性空间 V的线性变换,是? ()f?
1212( ) ( ) ( ) ( ) srrr sf
12,sV V V V
四、线性空间的直和分解是 的特征多项式,若 具有分解式：? ()f?
再设( ) ( ) 0,iriiV E V
则 都是 的不变 子空间；且 V具有直和分解,iV
17
证：令 ()() ()
ii r
i
ff
( ),iiW f V
则 是 的值域，iW ()if? 是 的不变子空间,iW
又 ( ) ( ) ( )iirri i i iE W E f V
( ) ( )iriiE f V f V
( ) 0.iriiEW（ 2）
1111 1 1( ) ( ) ( ) ( ),i i sr r rr i i s
18
下证 分三步：12,sV V V V
1.证明 12,sV W W W
12( ),( ),( ) 1sf f f
∴ 存在多项式 使12( ),( ),,( ),su u u
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1ssu f u f u f
于是 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssu f u f u f E
∴ 对 有,V
2,证明 是直和,12 sV V V
3,证明,1,2,,.iiV W i s
19
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssu f u f u f
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f u f u
( ) ( ) ( )ssfu
这里( ) ( ) ( ) ( ),1,2,,.i i i if u f V W i s
12,sV W W W
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssu f u f u f
()E
20
其中 iiV （也即,），( ) ( ) 0iriiE
0,1,2,,.i is则
( ) ( ),jrji f i j
∴ 存在 使( ),h? ( ) ( ) ( ),jrijfh
于是 ( ) ( ) ( ),jrijf h E
12 0s(3)即证，若
2,证明 是直和,12 sV V V
21
用 作用 （ 3） 的两端，得()if?
12( ) ( )isf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jri j j jf h E
( ) ( ) 0 0,.jrjjh E h j i
又( ),( ) 1,iriif
12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i sf f f
( ) ( ) 0iif
22
( ) ( 0) ( ) ( 0) 0,1,2,,.u v i s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iri i i iu f v E
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iri i i i iE u f v E
从而 ( ) ( ) ( ) ( ) iriiu f v E E
所以 是直和,12 sV V V
( ) ( ) ( ) ( ) 1iriiu f v
∴ 有多项式,使( ),( )uv
23
3,证明,( ) ( ) 0,iri i iW V E V
1( ) ( 0 )iriiWE首先由 (2),有
12,.s i iW
即 12 ( ) 0is
其次，任取 设,iV
.iiWV?即令,( ) ;,j j i iji
( ) 0,iriiEW
24
1 2 1 2ssV V V
0,1,2,,.i is
由 （ 2）,有 ( ) ( ) 0,1,2,,.iriiE i s
从而有 ( ) ( ) 0,1,2,,.iriiE i s
( ) ( ) ( ) ( ) 0iirri i iEE
( ) ( ) ( ) ( )iirri i i iEE又又 12 0,s
由,是直和，它的零向量分解式2 12 sV V V
即,iiV
唯一,
25
综合,即有1,2,3
12,sV V V V
于是,iiW
故( ) ( ) 0,.iri i iW V E V
即有,iiVW?
是 的不变子空间，且iV?
26
练习：
设 3维线性空间 V的线性变换 在基 下的? 1 2 3,,
矩阵为
1 2 2
2 1 2,
2 2 1
A
证明,是 的不变子空间,1 2 1 3(,)WL
证：令 1 1 2 2 1 3,
由 1 2 3 1 2 3(,,) (,,) A
1 2 1 2 3
11
(,) (,,) 1 0,
01
27
有
1 2 1 2 3
11
(,) (,,) 1 0
01
1 2 3
11
(,,) 1 0
01
A
1 2 3
1 2 2 1 1
,,2 1 2 1 0
2 2 1 0 1
1 2 3
11
,,1 0,
01
28
即 1 1 2 1()
2 1 3 2()
12( ),( ),W
故 W为 的不变子空间,?
一,不变子空间的概念二,线性变换在不变子空间上的限制三,不变子空间与线性变换的矩阵化简四,线性空间的直和分解
2
设 是数域 P上线性空间 V的线性变换,W是 V的?
的子空间，若 有,W( ) ( )W W W即则称 W是 的不变子空间,简称为 －子空间,
V的平凡子空间（ V及零子空间）对于 V的任意一个变换 来说，都是 －子空间,
一、不变子空间
1、定义注：
3
1） 两个 －子空间的交与和仍是 －子空间,
2） 设 则 W是 －子空间12(,,),sWL
12( ),( ),,( ),s W
证,显然成立,""?
""? 任取 设,W 1 1 2 2,ssk k k
则 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ),ssk k k
故 W为 的不变子空间,?
2、不变子空间的简单性质由于 12( ),( ),,( ),s W( ),W
4
1） 线性变换 的值域 与核 都是 的? ()V1 0
不变子空间,
证,( ) ( ),V V V
,( ) ( ),VV有故 为 的不变子空间,()V
又任取 有1 0, 1( ) 0 ( 0 ),
3、一些重要不变子空间
1 ( 0 ) 也为 的不变子空间,?
5
2） 若 则 与 都是 －子空间,, ()V? 1(0)
证,( ) ( ),VV
对 存在 使 ( ),,VV( ),
于是有，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V
()V 为 的不变子空间,?
1 0,0,V其次，由对 有1 0, 0.
6
于是( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0,
1( ) 0,
故 为 的不变子空间,1 0
的多项式 的值域与核都是 的不变子空间, ()f
这里 为 中任一多项式,()fx []Px
( ) ( )ff
注：
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,W k W4） 线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间,?
0V?
,.o o oVV有5） 由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间,
证：设 是 的分别属于特征值12,,,s
12,,,s的特征向量,
3） 任何子空间都是数乘变换 的不变子空间,?
任取 12(,,,),sL
设 1 1 2 2,ssk k k则
1 1 1 2 2 2 1 2( ) (,,,)s s s sk k k L
12(,,,)sL 为 的不变子空间,?
8
事实上，若,0,W L k k P
则 为 的一组基,L? 因为 W为 －子空间,?
( ),W即必存在 使,P,
是 的特征向量,?
特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一?
个一维 －子空间,? 反过来，一个一维 －子空间?
必可看成是 的一个特征向量生成的子空间,?
注：
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二,在不变子空间 W引起的线性变换?
定义：
不变子空间 W上的限制,记作,W?
在不变子空间 W上引起的线性变换,或称作 在
设 是线性空间 V的线性变换,W是 V的 一个 的
不变子空间,把 看作 W上的一个线性变换，称作?
10
① 当 时，W ( ) ( ),W
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零?
变换，即1 0 0;
即有
0
.Vo E
注：
当 时,无意义,W ()W
,W WW②
在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换，
0V?
11
1,设 是 维线性空间 V的线性变换,W是 V 的? n
－子空间,为 W的一组基，把它扩允为12,,,k
V的一组基,1 2 1,,,,,.k k n
若 在基 下的矩阵为,则W? 12,,,k 1 kkAP
在基 下的矩阵具有下列形状,12,,,n
12
3
.0AAA
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
12
反之，若 121 2 1 2
3
,,,,,,,0nn AA A
1,kkAP 则由 生成的子空间必为 的12,,,k
不变子空间,
事实上，因为 W是 V的不变子空间,
12( ),( ),,( ),k W
即,均可被12( ),( ),,( )k12,,,k
线性表出,
13
从而,12(,,,)n
11 12 1 1,1 1
11 11 2 2,1 2
1 2,112
1,1
,1
(,,,)
0 0 0
0 0 0
k k n
k k n
k k kk k k knn
k k kn
n k n n
a a a a a
a a a a a
a a a a a
aa
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1212
3
(,,,),0n AA A
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
()
()
()
kk
kk
k k k kk k
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设
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在这组基下的矩阵为
iW?,,1,2,,.
iinniiA A P i s
若,则12 sV W W W
1211 1 21 2 1,,,,,,,,,sn n s sn
为 V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵?
2,设 是 维线性空间 V的 线性变换,都是n? iW?
的不变子空间，而 是 的一组基，且iW12,,,ii i in
1
2,
s
A
A
A
（ 1）
15
的子空间 为 的不变子空间，且 V具有直和分解：?iW
12,sV W W W
由此即得：
下的矩阵为准对角矩阵 (1),则由 生成12,,,ii i in
V的线性变换 在某组基下的矩阵为准对角形?
V可分解为一些 的不变子空间的直和,
反之，若 在基 1211 1 21 2 1,,,,,,,,,sn n s sn
16
定理 12：设 为线性空间 V的线性变换,是? ()f?
1212( ) ( ) ( ) ( ) srrr sf
12,sV V V V
四、线性空间的直和分解是 的特征多项式,若 具有分解式：? ()f?
再设( ) ( ) 0,iriiV E V
则 都是 的不变 子空间；且 V具有直和分解,iV
17
证：令 ()() ()
ii r
i
ff
( ),iiW f V
则 是 的值域，iW ()if? 是 的不变子空间,iW
又 ( ) ( ) ( )iirri i i iE W E f V
( ) ( )iriiE f V f V
( ) 0.iriiEW（ 2）
1111 1 1( ) ( ) ( ) ( ),i i sr r rr i i s
18
下证 分三步：12,sV V V V
1.证明 12,sV W W W
12( ),( ),( ) 1sf f f
∴ 存在多项式 使12( ),( ),,( ),su u u
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1ssu f u f u f
于是 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssu f u f u f E
∴ 对 有,V
2,证明 是直和,12 sV V V
3,证明,1,2,,.iiV W i s
19
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssu f u f u f
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f u f u
( ) ( ) ( )ssfu
这里( ) ( ) ( ) ( ),1,2,,.i i i if u f V W i s
12,sV W W W
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssu f u f u f
()E
20
其中 iiV （也即,），( ) ( ) 0iriiE
0,1,2,,.i is则
( ) ( ),jrji f i j
∴ 存在 使( ),h? ( ) ( ) ( ),jrijfh
于是 ( ) ( ) ( ),jrijf h E
12 0s(3)即证，若
2,证明 是直和,12 sV V V
21
用 作用 （ 3） 的两端，得()if?
12( ) ( )isf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jri j j jf h E
( ) ( ) 0 0,.jrjjh E h j i
又( ),( ) 1,iriif
12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i sf f f
( ) ( ) 0iif
22
( ) ( 0) ( ) ( 0) 0,1,2,,.u v i s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iri i i iu f v E
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iri i i i iE u f v E
从而 ( ) ( ) ( ) ( ) iriiu f v E E
所以 是直和,12 sV V V
( ) ( ) ( ) ( ) 1iriiu f v
∴ 有多项式,使( ),( )uv
23
3,证明,( ) ( ) 0,iri i iW V E V
1( ) ( 0 )iriiWE首先由 (2),有
12,.s i iW
即 12 ( ) 0is
其次，任取 设,iV
.iiWV?即令,( ) ;,j j i iji
( ) 0,iriiEW
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1 2 1 2ssV V V
0,1,2,,.i is
由 （ 2）,有 ( ) ( ) 0,1,2,,.iriiE i s
从而有 ( ) ( ) 0,1,2,,.iriiE i s
( ) ( ) ( ) ( ) 0iirri i iEE
( ) ( ) ( ) ( )iirri i i iEE又又 12 0,s
由,是直和，它的零向量分解式2 12 sV V V
即,iiV
唯一,
25
综合,即有1,2,3
12,sV V V V
于是,iiW
故( ) ( ) 0,.iri i iW V E V
即有,iiVW?
是 的不变子空间，且iV?
26
练习：
设 3维线性空间 V的线性变换 在基 下的? 1 2 3,,
矩阵为
1 2 2
2 1 2,
2 2 1
A
证明,是 的不变子空间,1 2 1 3(,)WL
证：令 1 1 2 2 1 3,
由 1 2 3 1 2 3(,,) (,,) A
1 2 1 2 3
11
(,) (,,) 1 0,
01
27
有
1 2 1 2 3
11
(,) (,,) 1 0
01
1 2 3
11
(,,) 1 0
01
A
1 2 3
1 2 2 1 1
,,2 1 2 1 0
2 2 1 0 1
1 2 3
11
,,1 0,
01
28
即 1 1 2 1()
2 1 3 2()
12( ),( ),W
故 W为 的不变子空间,?
