一,λ－ 矩阵的初等变换三,等价 λ－ 矩阵
二,λ－ 矩阵的初等矩阵四,λ－ 矩阵的对角化
λ―矩阵的 初等变换 是指下面三种变换,
① 矩阵两行 （列） 互换位置；
② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；
是一个多项式,()
③ 矩阵的某一行 （列） 加另一行 （列） 的 倍，()
一,λ－矩阵的初等变换定义,
代表第 行乘以非零数 c ；[ ( )]ic i
[ ( ( ) ) ]ij 代表把第 行 (列 )的 倍加到第j () i
为了书写的方便，我们采用以下记号代表 两行 (列 )互换；[,]ij,ij
注：
行 (列 ).
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的?
矩阵称为 ―矩阵的 初等矩阵,?
二,λ－矩阵的初等矩阵定义,
注,① 全部初等矩阵有三类：
i行
j行
1
1
01
10
1
1






(,)P i j?
1
1 ( )
(,( ( ) ) )
1
1
p i j







i行
j行
1
1
( ( ) )
1
1
p i c c







i行
② 初等矩阵皆可逆,
1(,) (,)p i j p i j
1 1( ( ) ) ( ( ) )cp i c p i
1(,( ( ) ) ) (,( ( ) ) )p i j p i j
③ 对一个 的 ―矩阵 作一次初等行变换sn ()A?
就相当于在 在的左边乘上相应的 的初等矩()A? ss?
阵；对 作一次初等列变换就相当于在 的右()A? ()A?
边乘上相应的 的初等矩阵,nn?
为 －矩阵,则称 与 等价,()B? ()B?()A
―矩阵 若能经过一系列初等变换化? ()A?
1) ―矩阵的等价关系具有,?
反身性,与自身等价,()A?
对称性,与 等价 与 等价,()A? ()A?()B?()B
传递性,与 等价,与 等价()A? ()B? ()B? ()C?
与 等价,()A ()C?
三、等价 λ－矩阵定义,
性质,
2) 与 等价 存在一系列初等矩阵()A? ()B
11,StP P Q Q使 11( ) ( ),StA P P B Q Q
1.（ 引理） 设 ―矩阵 的左上角元素? ()A? 11 ( ) 0,a
且 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定()A?
可以找到一个与 等价的矩阵,它的左上()A? ()B?
角元素,且,11 ( ) 0b 1 1 1 1( ( ) ) ( ( ) )ba
四,λ－矩阵的对角化证：根据 中不能被 除尽的元素所在的()A? 11()a?
位置，分三种情形来讨论,
i) 若在 的第一列中有一个元素 不能被()A? 1()ia?
11()a? 除尽，
其中余式,且11( ) ( )r x a( ) 0r
对 作下列初等行变换,()A? 11 11
1
() ()
( ) [ 1 ( ) ]()
()i
a a
A i qa
r






1 1 1( ) ( ) ( ) ( ),ia a q r则有
[ 1,]
11
()
( ).()i
r
Ba





()B? 的左上角元素 符合引理的要求,()r?
()B?故 为所求的矩阵,
ii) 在 的第一行中有一个元素 不能被()A? 1 ()ia? 11()a?
除尽,这种情况的证明 i)与类似,
iii) 的第一行与第一列中的元素都可以被()A? 11()a?
除尽，但 中有另一个元素()A? ( ) ( 1,1 )ija i j
被 除尽,11()a?
对 作下述初等行变换,()A? 1 1 1
1
( ) ( )
()
( ) ( )
j
i ij
aa
A
aa





1 1 1
1
( ) ( )
0,,,( ) ( ) ( ),,,
j
ij j
aa
aa





1 1 1( ) ( ) ( ),iaa我们设
1 ( )i
1 1 1
1
( ) ( ) ( 1 ( ) ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
ij j
ij j
a a a
aa





1 ()A
矩阵 的第一行中，有一个元素：1()A?
1( ) ( 1 ( ) ) ( )i j jaa
不能被左上角元素 除尽，转为情形 ii),11()a?
证毕,
1 i?
2.（ 定理 2） 任意一个非零的 的 一矩阵sn ()A?
都等价于下列形式的矩阵
1
2
()
()
()
0
0
r
d
d
d





其中 1,( ) ( 1,2,,)ir d i r是首项系数为 1的多项式，且 1( ) ( ) ( 1,2,,1 ),iid d i r
称之为的标准形,
()A?
证,经行列调动之后，可使 的左上角元素()A?
11 ( ) 0a,若 不能除尽 的全部元素，11()a? ()A?
由引理，可以找到与 等价的,且()A? 1()B?
由引理，又可以找到与 等价的,且1()B? 2()B?
如此下去，将得到一系列彼此等价的 λ－ 矩阵：
左上角元素,1 ( ) 0b1 1 1( ) ( ),ba1()B?
若 还不能除尽 的全部元素，1()B?1()b?
左上角元素,21( ) ( ),bb2()B? 2 ( ) 0b
但次数是非负整数，不可能无止境地降低,
因此在有限步以后，将终止于一个 λ－矩阵 ()sB?
它的左上角元素,而且可以除尽( ) 0sb ()sB?
的全部元素 即( ),ijb?
( ) ( ) ( ),1,2,,; 1,2,,.i j s i jb b q j i s j n
对 作初等变换,()sB?
12( ),( ),( ),.A B B
它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低,
21 31
21 13
[ 2 1 ( ) ],[ 3 1 ( ) ],
[ 2 1 ( ) ],[ 3 1 ( ) ],
1
( ) 0 0
0()
()
0
s
qq
qq
b
B
A






中的全部元素都是可以被 除尽的，1()A? ()sb?
因为它们都是 中元素的组合,()sB?
如果,则对于 可以重复上述过程，1 ( ) 0A 1()A?
进而把矩阵化成
1
2
2
( ) 0 0
0 ( )
,00
()
00
d
d
A




其中 与 都是首 1多项式 ( 与1()d? 2()d? 1()d? ()sb?
只差一个常数倍数），而且 12( ) | ( ),dd2()d?
能除尽 的全部元素,2()A?
如此下去,最后就化成了标准形,()A?
例 用初等变换化 λ―矩阵为标准形,
2
2 3 2
1 2 1
()
11
A






2
[ 3 1 ] 23
1 2 1 1
( ) 0
1 1 1
A






解：
2
[ 1,3 ] 32
1 2 1 1
0
1 1 1






31 2
32
1 2 1 1
0
1






2
[ 2 1( 2 1 ),[ 3 1( 1 ) ] ] 32
1 0 0
0
0






2
[ 2,3 ] 23
1 0 0
0
0





[ 3 2 ( ) ] 22
1 0 0
00
0





[ 3 2 ( 1 ) ]
[ 3 ( 1 ) ] 2
1 0 0
0 0 ( )
00
B





即为 的标准形,()B? ()A?
作业
P355 1 2）
4）