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一、一般欧氏空间中的正交变换二,n维欧氏空间中的正交变换
2
一,一般欧氏空间中的正交变换
1.定义即,
( ),( ) (,),,V
欧氏空间 V的线性变换 如果保持向量的内积不变，?
则称 为 正交变换,?
注,欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广,
3
2.欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：
（ 定理 4）设 是欧氏空间 V的一个线性变换,?
( ),( ),,,d d V
3） 保持向量间的距离不变，即?
2） 保持向量长度不变，即?
1） 是正交变换；?
( ),;V
4
证明：首先证明 1)与 2)等价．
1 ) 2 ),?
即,22()
( ),( ) (,),V
两边开方得,( ),,V
若 是正交变换，则?
2 ) 1 ),?
有( ),( ) (,),(1)
( ),( ) (,),(2)
若 保持向量长度不变，则对,V
5
把 (3)展开得，
( ),( ) 2 ( ),( ) ( ),( )
(,) 2 (,) (,)
再由 (1)(2)即得，
( ),( ) (,)
( ),( ) (,),(3)
是正交变换．?
6
再证明 2)与 3)等价．
3 ) 2 ),?
2 ) 3 ),? ( ) ( ) ( ),
根据２）
( ),( ) ( ) ( )d
()
(,)d
故 3）成立,
( ),( ),,,d d V若则有,( ),( 0 ),0,d d V
即,( ),.V故 2）成立,
7
二,维欧氏空间中的正交变换n
1,维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基n
不变的线性变换．
是 V的标准正交基，则 也是 V12( ),( ),,( )n
的标准正交基,
1).若 是 维欧氏空间 V的正交变换，n 12,,,n
事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质
1( ),( ) (,) 0i j i j ijij即有，
8
2).若线性变换 使 V的标准正交基 变成12,,,n
变换．
标准正交基,则 为 V的正交12( ),( ),,( )n
1 1 2 2 nnx x x
1 1 2 2,nny y y
证明：任取 设,,V
由 为标准正交基，有12,,,n
1
(,)
n
ii
i
xy
9
1
( ),( )
n
ii
i
xy
故 是正交变换．
1
( ) ( )
n
jj
j
y
1
( ) ( ),
n
ii
i
x
又
( ),( ) (,)
由于 为标准正交基，得12( ),( ),,( )n
10
2,维欧氏空间 V中的线性变换 是正交变换n?
在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．
设 为 V的标准正交基，且12,,,n
1 2 1 2,,,,,,nn
12,,,n A
证明,""?
的标准正交基，
当 是正交变换时，由 1知,也是 V? 12,,,n
而由标准正交基 到标准12,,,n
正交基 的过渡矩阵是正交矩阵,12,,,n
11
""? 设 为 V的标准正交基，且12,,,n
1 2 1 2,,,,,,nn A
再由 1即得 为正交变换．
由于当 A是正交矩阵时,也是 V的12,,,n
1 2 1 2,,,,,,nn A即，
标准正交基，
所以,A是正交矩阵．
12
1）正交变换的逆变换是正交变换；
2）正交变换的乘积还是正交变换．
3,欧氏空间 V的正交变换是 V到自身的同构映射．
因而有，
（ 由同构的对称性可得之 ）
（ 由同构的传递性可得之 ）
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4,维欧氏空间中正交变换的分类：n
设 维欧氏空间 V中的线性变换 在标准正交基n?
1）如果 则称 为 第一类的 （ 旋转 ） ; 1,A
2）如果 则称 为 第二类的,1,A
下的矩阵是正交矩阵 A，则12,,,n 1.A
14
例,在欧氏空间中任取一组标准正交基 12,,,,n
定义线性变换 为：?
11
,2,3,.ii in
则 为第二类的正交变换，也称之为 镜面反射,?
一、一般欧氏空间中的正交变换二,n维欧氏空间中的正交变换
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一,一般欧氏空间中的正交变换
1.定义即,
( ),( ) (,),,V
欧氏空间 V的线性变换 如果保持向量的内积不变，?
则称 为 正交变换,?
注,欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广,
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2.欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：
（ 定理 4）设 是欧氏空间 V的一个线性变换,?
( ),( ),,,d d V
3） 保持向量间的距离不变，即?
2） 保持向量长度不变，即?
1） 是正交变换；?
( ),;V
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证明：首先证明 1)与 2)等价．
1 ) 2 ),?
即,22()
( ),( ) (,),V
两边开方得,( ),,V
若 是正交变换，则?
2 ) 1 ),?
有( ),( ) (,),(1)
( ),( ) (,),(2)
若 保持向量长度不变，则对,V
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把 (3)展开得，
( ),( ) 2 ( ),( ) ( ),( )
(,) 2 (,) (,)
再由 (1)(2)即得，
( ),( ) (,)
( ),( ) (,),(3)
是正交变换．?
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再证明 2)与 3)等价．
3 ) 2 ),?
2 ) 3 ),? ( ) ( ) ( ),
根据２）
( ),( ) ( ) ( )d
()
(,)d
故 3）成立,
( ),( ),,,d d V若则有,( ),( 0 ),0,d d V
即,( ),.V故 2）成立,
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二,维欧氏空间中的正交变换n
1,维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基n
不变的线性变换．
是 V的标准正交基，则 也是 V12( ),( ),,( )n
的标准正交基,
1).若 是 维欧氏空间 V的正交变换，n 12,,,n
事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质
1( ),( ) (,) 0i j i j ijij即有，
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2).若线性变换 使 V的标准正交基 变成12,,,n
变换．
标准正交基,则 为 V的正交12( ),( ),,( )n
1 1 2 2 nnx x x
1 1 2 2,nny y y
证明：任取 设,,V
由 为标准正交基，有12,,,n
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(,)
n
ii
i
xy
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( ),( )
n
ii
i
xy
故 是正交变换．
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( ) ( )
n
jj
j
y
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( ) ( ),
n
ii
i
x
又
( ),( ) (,)
由于 为标准正交基，得12( ),( ),,( )n
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2,维欧氏空间 V中的线性变换 是正交变换n?
在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．
设 为 V的标准正交基，且12,,,n
1 2 1 2,,,,,,nn
12,,,n A
证明,""?
的标准正交基，
当 是正交变换时，由 1知,也是 V? 12,,,n
而由标准正交基 到标准12,,,n
正交基 的过渡矩阵是正交矩阵,12,,,n
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""? 设 为 V的标准正交基，且12,,,n
1 2 1 2,,,,,,nn A
再由 1即得 为正交变换．
由于当 A是正交矩阵时,也是 V的12,,,n
1 2 1 2,,,,,,nn A即，
标准正交基，
所以,A是正交矩阵．
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1）正交变换的逆变换是正交变换；
2）正交变换的乘积还是正交变换．
3,欧氏空间 V的正交变换是 V到自身的同构映射．
因而有，
（ 由同构的对称性可得之 ）
（ 由同构的传递性可得之 ）
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4,维欧氏空间中正交变换的分类：n
设 维欧氏空间 V中的线性变换 在标准正交基n?
1）如果 则称 为 第一类的 （ 旋转 ） ; 1,A
2）如果 则称 为 第二类的,1,A
下的矩阵是正交矩阵 A，则12,,,n 1.A
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例,在欧氏空间中任取一组标准正交基 12,,,,n
定义线性变换 为：?
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,2,3,.ii in
则 为第二类的正交变换，也称之为 镜面反射,?
