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一、欧氏空间的同构二、同构的基本性质
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一,欧氏空间的同构定义,实数域 R上欧氏空间 V与 V'称为 同构,
如果由 V到 V'有一个 1－ 1对应,适合?
1 ) ( ) ( ) ( ),
,,V k R2 ) ( ) ( ),kk
3 ) ( ),( ) (,),
这样的映射 称为欧氏空间 V到 V'的 同构映射,?
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1、若 是欧氏空间 V到 V'的同构映射，则 也是
线性空间 V到 V'同构映射,
2、如果 是有限维欧氏空间 V到 V'的同构映射，?
则 'di m di m,VV?
3、任一 维欧氏空间 V必与 同构,n nR
二,同构的基本性质
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标准正交基，
证,设 V为 维欧氏空间,为 V的一组12,,,nn
在这组基下,V中每个向量 可表成?
1 1 2 2,n n ix x x x R
作对应 12:,( ) (,,,)n nV R x x x
易证 是 V到 的 对应,? nR 11?
且 满足同构定义中条件 1）,2）,3），?
故 为由 V到 的同构映射，从而 V与 同构,nR? nR
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① 反身性； ② 对称性； ③ 传递性,
4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：
① 单位变换 是欧氏空间 V到自身的同构映射,VI
② 若欧氏空间 V到 V'的同构映射是,则 是? 1
其次，对 有 ',,V
(,)
事实上,首先是线性空间的同构映射,?
欧氏空间 V'到 V的同构映射,
11( ( ) ),( ( ) )11( ),( )
为欧氏空间 V'到 V的同构映射,1
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③ 若 分别是欧氏空间 V到 V',V'到 V"的同构映射，,
则 是欧氏空间 V到 V"的同构映射,
事实上，首先,是线性空间 V到 V"的同构映射,
( ),( )
( ),( )
其次，对 有,,V
( ( ) ),( ( ) )
(,)
为欧氏空间 V到 V"的同构映射,
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5、两个有限维欧氏空间 V与 V'同构
'di m di m,VV?