一、若当块的初等因子二、若当形矩阵的初等因子三、若当标准形存在定理若当块
0
0
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 1
nn
J
的初等因子是0,n
一、若当块的 初等因子证：
0
0
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 1
nn
EJ
00,nEJ
此即 的 级行列式因子,0EJ n
又 有一个 级子式是0EJ 1n?
0
1
0
1 0 0
0 1 0 0
1
0 0 1
0 0 1
n
所以 的 级行列式因子为 1.0EJ 1n?
从而,的 级行列式因子皆为 1.0EJ 2,,2,1n?
0J? 的不变因子是,
1 1 01,.nnnd d d
故 的初等因子是,0J0,n
若当形矩阵
1
2,
s
J
JJ
J
其中
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 1
ii
i
i
i
i
i kk
J
则 J的全部初等因子是：
1212( ),( ),,( ),skkk s
二、若当形矩阵的 初等因子证,的初等因子是 ( ),1,2,,iki isiJ
iEJ与矩阵 等价,
1
1
1
i
k
i
于是
1
2
s
EJ
EJEJ
EJ
与矩阵
D
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
s
k
k
k
s
等价,由定理 9,的全部初等因子是：J
1212( ),( ),,( ),skkk s
初等因子唯一确定,
完全被它的级数与主对角线上的元素 所刻划，0?
而这两个数都反应在它的初等因子 上,0()n
可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的,由于每个若当块因此,若当块被它的初等因子唯一决定,
从而，若当形矩阵 除去其中若当块的排序外被它的
（ 定理 10）每一个复矩阵 A都与一个若当形矩阵相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是被矩阵 A唯一决定的，它称为 A的若当标准形,
三、若当标准形存在定理
1.
证：若 n级复矩阵 A的全部初等因子为,
（ *） 1212( ),( ),,( ),
skkk s
（其中 可能有相同的，指数12,,,s 12,,,sk k k
也可能相同的）,
每一个初等因子 对应于一个若当块()iki
0 0 0
1 0 0
,1,2,,
0 0 0
0 0 1
i
i
i
i
i
J i s
令
1
2
s
J
JJ
J
则 J的初等因子也是（ *），
故 J与 A相似,
即 J与 A有相同的初等因子,
变换，在 V中必定存在一组基，使 在这组基下?
的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去
2,定理 10换成线性变换的语言即为
（ 定理 11）设 是复数域上 n维线性空间 V的线性?
若当块的排序外是被 唯一确定的,?
的初等因子全是一次的,A?
3,特殊情形
（ 定理 12）复矩阵 A与对角矩阵相似的不变因子没有重根,A?
（ 定理 13）复矩阵 A与对角矩阵相似
4,n 阶复矩阵 A的最小多项式就是 A的最后一个不变因子,()nd?
证：设 A的若当标准形是
1
2,
s
J
JJ
J
1
.
s
i
i
nn
其中
0 0 0
1 0 0
,
0 0 0
0 0 1
ii
i
i
i
i
i nn
J
1212( ),( ),,( ),skkk s
,1,2,,.ini is
由一知,的最小多项式是iJ
由不变因子与初等因子的关系知，
1212( ) ( ),( ),,( ),skkknsd
由 § 7.9中引理 3之推论 知，
()nd? 为 A的最小多项式,
又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，
所以,A的最小多项是它的最后一个不变因子 ( ).nd?
例 1、求矩阵 A的若当标准形,
解：
1 1 2
3 3 6
2 2 4
A
1 1 2
3 3 6
2 2 4
EA
2
1 1 2
2 0 2
20
2
1 2 1
0 2 2
02
2
1 0 0
0 0 2
02
1 0 0
00
0 0 2
A? 的初等因子为,,2,
故 A的若当标准形为
0 0 0
0 0 0,
0 0 2
2
1 0 0
0 2 2
02
2
1 0
0 0 2
00
求 A的若当标准形,
例 2、已知 12级矩阵 A的不变因子为
22 2 2 2
9
1,1,,1,( 1 ),( 1 ) 1,1 1 ( 1 )
个解：依题意,A的初等因子为
2221,1,1,1,
221,,ii
A? 的若当标准形为
10
11
10
11
10
11
1
1
1
1
i
i
i
i
练习,求矩阵 A的若当标准形
1 1 1
3 3 3
2 2 2
A
答案,2
1 0 0
00
00
EA
A? 的初等因子为 2,
A的若当标准形为
000
0 0 0,
0 1 0
作业
P357 6 3）
9）
0
0
0
0
0
0 0 0
1 0 0
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0 0 1
nn
J
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一、若当块的 初等因子证：
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此即 的 级行列式因子,0EJ n
又 有一个 级子式是0EJ 1n?
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0 0 1
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所以 的 级行列式因子为 1.0EJ 1n?
从而,的 级行列式因子皆为 1.0EJ 2,,2,1n?
0J? 的不变因子是,
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故 的初等因子是,0J0,n
若当形矩阵
1
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其中
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ii
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i
i
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则 J的全部初等因子是：
1212( ),( ),,( ),skkk s
二、若当形矩阵的 初等因子证,的初等因子是 ( ),1,2,,iki isiJ
iEJ与矩阵 等价,
1
1
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1
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1
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k
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等价,由定理 9,的全部初等因子是：J
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初等因子唯一确定,
完全被它的级数与主对角线上的元素 所刻划，0?
而这两个数都反应在它的初等因子 上,0()n
可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的,由于每个若当块因此,若当块被它的初等因子唯一决定,
从而，若当形矩阵 除去其中若当块的排序外被它的
（ 定理 10）每一个复矩阵 A都与一个若当形矩阵相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是被矩阵 A唯一决定的，它称为 A的若当标准形,
三、若当标准形存在定理
1.
证：若 n级复矩阵 A的全部初等因子为,
（ *） 1212( ),( ),,( ),
skkk s
（其中 可能有相同的，指数12,,,s 12,,,sk k k
也可能相同的）,
每一个初等因子 对应于一个若当块()iki
0 0 0
1 0 0
,1,2,,
0 0 0
0 0 1
i
i
i
i
i
J i s
令
1
2
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J
JJ
J
则 J的初等因子也是（ *），
故 J与 A相似,
即 J与 A有相同的初等因子,
变换，在 V中必定存在一组基，使 在这组基下?
的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去
2,定理 10换成线性变换的语言即为
（ 定理 11）设 是复数域上 n维线性空间 V的线性?
若当块的排序外是被 唯一确定的,?
的初等因子全是一次的,A?
3,特殊情形
（ 定理 12）复矩阵 A与对角矩阵相似的不变因子没有重根,A?
（ 定理 13）复矩阵 A与对角矩阵相似
4,n 阶复矩阵 A的最小多项式就是 A的最后一个不变因子,()nd?
证：设 A的若当标准形是
1
2,
s
J
JJ
J
1
.
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,
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1212( ),( ),,( ),skkk s
,1,2,,.ini is
由一知,的最小多项式是iJ
由不变因子与初等因子的关系知，
1212( ) ( ),( ),,( ),skkknsd
由 § 7.9中引理 3之推论 知，
()nd? 为 A的最小多项式,
又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，
所以,A的最小多项是它的最后一个不变因子 ( ).nd?
例 1、求矩阵 A的若当标准形,
解：
1 1 2
3 3 6
2 2 4
A
1 1 2
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2
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A? 的初等因子为,,2,
故 A的若当标准形为
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求 A的若当标准形,
例 2、已知 12级矩阵 A的不变因子为
22 2 2 2
9
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个解：依题意,A的初等因子为
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A? 的若当标准形为
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练习,求矩阵 A的若当标准形
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答案,2
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EA
A? 的初等因子为 2,
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作业
P357 6 3）
9）
