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一、正交子空间二、子空间的正交补
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一,欧氏空间中的正交子空间
1．定义：
1) 与 是欧氏空间 V中的两个子空间，如果对1V 2V
(,) 0,
则称子空间 与 为 正交的,记作2V1V 12.VV?
(,) 0,
则称向量 与子空间 正交，记作? 1,V1V
12,,VV恒有
2) 对给定向量 如果对 恒有,V 1,V
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注：
① 当且仅当 中每个向量都与 正交．12VV? 1V 2V
② 1 2 1 2 {0 },V V V V
③ 当 且 时，必有1V 1V 0.
12 (,) 0 0.VV
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证明：设子空间 两两正交，12,,,sV V V
2,两两正交的子空间的和必是直和．
12,sV V V要证明中零向量分解式唯一．12 sV V V
只须证：
设 12 0,,1,2,,s i iV i s
,ijV V i j
12(,0) (,) (,) 0i i s i i
由内积的正定性，可知 0,1,2,,.i is
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二,子空间的正交补
1．定义：
如果欧氏空间 V的子空间 满足 并且12,VV 12,VV?
则称 为 的 正交补,2V 1V12,V V V
2,维欧氏空间 V的每个子空间 都有唯一正交补,1Vn
证明：当 时,V就是 的唯一正交补．1 {0 }V? 1V
当 时,也是有限维欧氏空间,1V1 {0 }V?
12,,,,m取 的一组正交基1V
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由定理 1，它可扩充成 V的一组正交基
1 2 1,,,,,,,m m n
记子空间12,,.mnLV
12,V V V显然,
又对 1 1 2 2 1,mmx x x V
1 1 2,m m n nx x V
1 1 1 1
(,) (,) (,) 0
m n m n
i i j j i j i j
i j m i j m
x x x x


12,VV 即 为 的正交补,2V 1V
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再证唯一性,设 是 的正交补，则23,VV 1V
1 2 1 3V V V V V
1 3 1,,
1 1 3 1(,) (,)
由此可得 1 0, 23,VV
对 由上式知 2,V 13VV
1 3 1 1 3 3,,VV即有又 1 2 1 3,V V V V
0?11(,)
1 1 3 1(,) (,)从而有
3V即有同理可证 32,VV? 23,VV 唯一性得证,
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② 维欧氏空间 V的子空间 W满足,n
① 子空间 W的正交补记为 即.W?
i) ()WW
ii) dim dim dimW W V n
iii) W W V
注：
ⅳ ) W的正交补 必是 W的余子空间,W?
但一般地，子空间 W的余子空间未必是其正交补,
W V W
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称 为 在子空间 W上的 内射影,1
3．内射影
,V W W设 W是欧氏空间 V的子空间，由对 有唯一的 使12,,WW,V
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