1
一、正交向量组二、标准正交基三、正交矩阵
2
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 12,,,,m V
① 若 则 是正交向量组,0,
② 正交向量组必是线性无关向量组,
一,正交向量组定义：
如果它们两两正交，则称之为 正交向量组,
注：
3
证：设非零向量 两两正交,12,,,m V
令 1 1 2 2 0,,m m ik k k k R
则
11
(,) (,) (,) 0
mm
i j j j i j i i i
jj
k k k


由 知0i (,) 0,ii
0,1,2,,.ik i m
故 线性无关,12,,,m
4
④ 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数,n?n
③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．
12(,) 1 0,
12( 1,1,0),( 1,0,1 )例如,中3R 线性无关．
但 不是正交向量组,12,
5
1,几何空间 中的情况3R
在直角坐标系下
( 1,0,0 ),( 0,1,0 ),( 0,0,1 )i j k
是由单位向量构成的正交向量组，即二、标准 正交基
(,) (,) (,) 0,i j j k k i
,,i j k 是 的一组基,3R
| | | | | | 1i j k
6
设 31 1 1 2 2 2,x i y j z k x i y j z k R
① 从 1 1 1(,),(,),(,)i x j y k z
② 1 2 1 2 1 2(,) x x y y z z
③ 2 2 21 1 1|| x y z
(,) (,) (,)i i j j k k得
④ 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
,ar c c os x x y y z z
x y z x y z


即在基 下,中的与内积有关的度量性质有,,i j k 3R
简单的表达形式,
7
维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组n n
称为 正交基 ；
2,标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为 标准正交基,
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基,
8
② 维欧氏空间 V中的一组基 为标准正交基n 1,,n
③ 维欧氏空间 V中的一组基 为标准正交基n 1,,n
当且仅当其度量矩阵(,),i j nAE
1(,),1,2,,0ij ij i j nij,(1)
④ 维欧氏空间 V中标准正交基的作用,n
设 为 V的一组标准正交基，则1,,n
9
(i) 设 1 1 2 2 nnx x x V
由 (1),(,),iix
(ii) 1 1 2 2
1
(,)
n
n n i i
i
x y x y x y x y
(3)
这里 1 1 2 2 nnx x x,
1 1 2 2,nny y y
(iii) 221|| nxx
1 1 2 2(,) (,) (,)nn有 (2)
10
(定理 1) 维欧氏空间中任一个正交向量组都能n
扩充成一组正交基,
证：设 欧氏空间Ｖ中的正交向量组，12,,,m
对 作数学归纳法．nm?
当 时,0nm
3,标准正交基的构造
─ 施密特 (Schmidt)正交化过程
12,,,m就是一组正交基了,
1）
11
12,,,k
使 1 2 1 2,,,,,,,mk
假设 时结论成立，即此时可找到向量n m k
成为一组正交基,
现在来看 的情形,1 ( 1 )n m k
所以必有向量 不能被 线性表出，? 12,,,m
1 1 1 2 2m m mk k k
,mn?因为作向量待定．ikR?
( 0)?
12
从正交向量组的性质知
1(,) (,) (,),1,2,,.i m i i i ik i m
于是取 (,) 1,2,,,(,)ii
ii
k i m,
1(,) 0 1,2,,.im im,
即 为正交向量组．1 2 1,,,,mm
由归纳法假设知，对这 个向量构成的正交组1m?
可得可扩充得正交基,于是定理得证．
13
2）
都可找到一组标准正交基 使12,,,,n
1 2 1 2(,,,) (,,,),1,2,,iiL L i n
证,12,,,.n基本方法 ─ 逐个构成出满足要求的
(定理 2) 对于 维欧氏空间中任一组基 12,,,nn
首先，可取 11
1
1,
||
14
一般地，假定已求出 是单位正交的,且12,,,m
1 2 1 2(,,,) (,,,),1,2,,iiL L i m(4)
当 时，因为有mn? 1 1 2(,,,),mmL
由 (4)知 不能被 线性表出．1m 12,,,m
按定理 1证明中的方法，作向量
1 1 1 1 2 2,m m m mk k k
1(,)
(,)
mi
i
ii
k
1 1 1
1
(,)
m
m m m i i
i

(5)即
15
再设 11
1
1,
||mmm
可知 是单位正交向量组．1 2 1,,,,mm
从 (4)和 (5)知 与1 2 1,,,,mm1 2 1,,,,mm
是等价向量组,因此，有
1 2 1 1 2 1(,,,) (,,,)mmLL
由归纳原理，定理 2得证,
则 且 110 (,) 0,1,2,,m m i im
16
则过渡矩阵 是上三角形（即 ）()ijTt? 0,ijt i j
注：
0,1,2,,iit i n且
① 由 1 2 1 2(,,,) (,,,),1,2,,iiL L i n
1 2 1 2(,,,) (,,,),nn T知，若
17
② Schmidt正交化过程,
11,
1
1
(,),2,3,,;
(,)
j
ji
j j i
i ii
jm

1,1,2,,
||ii i im
12,,,.m化成正交向量组先把线性无关的向量组 1,,m1
再单位化得标准正交向量组 12,,,.m2
21
2 2 1
11
(,),
(,)


18
例 1,把 12( 1,1,0,0),( 1,0,1,0),
34( 1,0,0,1 ) ( 1,1,1,1 )
变成单位正交的向量组,
11 ( 1,1,0,0 )
21
2 2 1
11
(,)
(,)


3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
(,) (,)
(,) (,)


解：令
434 1 4 2
4 4 1 2 3
1 1 2 2 3 3
(,)(,) (,)
(,) (,) (,)


( 1,1,1,1 )
正交化
11(,,1,0 )
22
111(,,,1 )
333
19
11
1
1
||
22
2
1
||
再单位化
33
3
1
||
44
4
1
||
即为所求．1 2 3 4,,,
11(,,0,0 )
22?
1 1 2(,,,0 )
6 6 6
1 1 1 3(,,,)
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1(,,,)
2 2 2 2
20
设 与 是 维欧氏空间 V中的1 2 1 2,,,,,,nnn
两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是 ( ),i j n nAa
即 1 2 1 2(,,,) (,,,)nn A
4,标准正交基间的基变换
1 1 2 2,1,2,,i i i n i na a a i n或由于 是标准正交基，所以12,,,n
（ 6）? 1(,),1,2,,0ij ij i j nij,
21
由公式（ 6），有
1 1 2 2 1(,) 0i j i j i j ni nj ija b a b a b ij,（ 7）
把 A按列分块为12,,,nA A A A?
由（ 7）有

1
2
12,,,nn
n
A
AA A A A A E
A





（ 8）
22
则称 A为 正交矩阵,
2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,
三,正交矩阵
1．定义
A A E( ),nnijA a R设 若Ａ满足
2．简单性质
1） A为正交矩阵 1.A
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3）设 是标准正交基,A为正交矩阵，若12,,,n
则 也是标准正交基,12,,,n
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn A
4） 为正交矩阵nnAR
A的列向量组是欧氏空间 的标准正交基,nR
6） 为正交矩阵nnAR
A的行向量组是欧氏空间 的标准正交基,nR
5） 为正交矩阵nnAR 1,AA