1
§ 2 标准正交基
§ 3 同构 § 4 正交变换
§ 1 定义与基本性质小结与习题
§ 6 对称矩阵的标准形§ 5 子空间
§ 7 向量到子空间的距离 ─ 最小二乘法
§ 8 酉空间介绍
2
一、欧氏空间的定义二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四,n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间
3
问题的引入：
性质 (如长度、夹角 )等在一般线性空间中没有涉及,
其具体模型为几何空间,23,RR
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，
但几何空间的度量
长度：
都可以通过内积反映出来：
,c o s,夹角,
2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质,
4
满足性质：,,,V k R
1 (,) (,)
2 (,) (,)kk
3 (,),(,)
4 (,) 0,当且仅当 时0 (,) 0.
一,欧氏空间的定义
1,定义设 V是实数域 R上的线性空间，对 V中任意两个向量
,定义一个二元实函数，记作,若, (,) (,)
（对称性）
（数乘）
（可加性）
（正定性）
5
① V为实数域 R上的线性空间 ;
② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算 ;
(,),R③
欧氏空间 V是特殊的线性空间则称 为 和 的 内积,并称这种定义了内积的(,)
实数域 R上的线性空间 V为 欧氏空间,
注,
6
例 1．在 中，对于向量nR
1 2 1 2,,,,,,,nna a a b b b
所以 为内积,(,)
当 时,1）即为几何空间 中内积在直角3n? 3R?
坐标系下的表达式,即(,),
这样 对于内积 就成为一个欧氏空间,nR (,)
易证 满足定义中的性质 ～,(,) 14
1）定义 1 1 2 2(,) nna b a b a b（ 1）
7
2）定义
1 1 2 2(,) 2 k k n na b a b k a b n a b
所以 也为内积,(,)
从而 对于内积 也构成一个欧氏空间,nR (,)
由于对 未必有,V (,) (,)注意：
所以 1）,2）是两种不同的内积,
从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间,nR
易证 满足定义中的性质 ～,(,) 14
8
例 2,为闭区间 上的所有实连续函数(,)C a b [,]ab
所成线性空间，对于函数,定义( ),( )f x g x
(,) ( ) ( )baf g f x g x d x （ 2）
则 对于（ 2）作成一个欧氏空间,(,)C a b
证,( ),( ),( ) (,),f x g x h x C a b k R
1,(,) ( ) ( ) ( ) ( ) (,)bbaaf g f x g x d x g x f x d x g f
2,(,) ( ) ( ) ( ) ( )k f g k f x g x d x k f x g x d x
(,)k f g?
9
3,(,) ( ) ( ) ( )baf g h f x g x h x d x
( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x h x d x g x h x d x
(,) (,)f h g h
24,(,) ( )b
af f f x d x
2 ( ) 0,fx? (,) 0,ff
且若 ( ) 0,fx? 则 2 ( ) 0,fx?从而 (,) 0,ff?
故 (,) 0 ( ) 0,f f f x
因此,为内积,为欧氏空间,(,)fg (,)C a b
10
21 ) (,) (,),,(,)k k k k k
2 ) (,) (,) (,)
推广：
11
(,) (,)
ss
ii
ii



3 ) ( 0,) 0
2,内积的简单性质
,,,V k RV为欧氏空间，
11
2) 欧氏空间 V中，,(,) 0V
使得 有意义,
二,欧氏空间中向量的长度
1,引入长度概念的可能性
1）在 向量 的长度（模）,3R?
2,向量长度的定义
,,(,)V称为向量 的 长度,?
特别地，当 时，称 为 单位向量,1
12
1 ) 0 ; 0 0
3,向量长度的简单性质
3）非零向量 的单位化：?
1,?
2) kk （ 3）
13
1）在 中向量 与 的夹角3R
2）在一般欧氏空间中推广（ 4）的形式，首先三,欧氏空间中向量的夹角
1,引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：
(,) 1

此即,
,c o sa rc （ 4）
14
对欧氏空间 V中任意两个向量,有、
(,) （ 5）
2,柯西－布涅柯夫斯基不等式当且仅当 线性相关时等号成立,、
证：当 时，0 (,0 ) 0,0
结论成立,(,) 0.
当 时，作向量0,t t R
15
由内积的正定性，对,皆有tR
(,) (,)tt
2(,) 2 (,) (,) 0tt（ 6）
取 代入（ 6）式，得(,)(,)t
2
2
(,) (,)(,) 2 (,) (,) 0
(,) (,)


即 2(,) (,) (,)
两边开方，即得,.
16
当 线性相关时，不妨设,k
于是,2(,) (,) (,),k k k
2kk
(,), (5)式等号成立,
反之，若（ 5）式等号成立，由以上证明过程知或者,或者0


,0
,


也即 线性相关,、
17
1 1 2 2 nna b a b a b
,,1,2,,.iia b R i n
3,柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用柯西不等式
2 2 2 2 2 21 2 1 2nna a a b b b（ 7）
1）
18
22( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a af x g x d x f x d x g x d x
施瓦兹不等式
( ( ),( ) ) ( ) ( )baf x g x f x g x d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
( ( ),( ) ) ( ) ( )f x g x f x g x?
从而得证,
证：在 中,与 的内积定义为(,)C a b ( ) ( )f x g x
2）
19
（ 7）
证,2 (,)
(,) 2 (,) (,)
2222
两边开方，即得（ 7）成立,
对欧氏空间中的任意两个向量 有,、
3） 三角不等式
20
设 V为欧氏空间,为 V中任意两非零、
向量,的 夹角 定义为、
4,欧氏空间中两非零向量的夹角定义 1：
(,),c o sa rc

0,
21
① 零向量与任意向量正交,
注：
② 即,,,2c o s,0
设 为欧氏空间中两个向量，若内积、
,0
则称 与 正交 或 互相垂直,记作,
定义 2：
22
5,勾股定理设 V为欧氏空间，,V
2 2 2
证,2,
,2,,
2 2 2(,) 0
.
23
若欧氏空间 V中向量 两两正交，12,,,m推广：
则 22221 2 1 2,mm
证：若 (,) 0,ij ij
则
2
12
11
(,)
mm
m i j
ij



1
(,) (,)
mm
i i i j
i i j



222
12
1
(,)
m
i i m
i


(,) 0,,,1,2,,ij i j i j m即
24
例 3、已知2,1,3,2,1,2,2,1
在通常的内积定义下，求,(,),,,.
解, 2 2 2 2,2 1 3 2 1 8 3 2
(,) 2 1 1 2 3 2 2 1 0,2
又1,1,5,1
22 2 21 1 5 1 2 8 2 7
通常称 为 与 的距离，记作 (,).d
25
设 V为欧氏空间,为 V的一组基，对 V中12,,,n
任意两个向量四,n维 欧氏空间中内积的矩阵表示
1 1 2 2 nnx x x
1 1 2 2 nny y y
令 (,),,1,2,.i j i ja i j n
1 1 1 1
(,) (,) (,)
n n n n
i i j j i j i j
i j i j
x y x y

（ 8）
26
定义,矩阵

1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
(,) (,) (,)
(,),(,)
(,) (,) (,)
n
n
n n n n
A






称为基 的 度量矩阵,12,,,n

11
22,,
ij nn
nn
xy
xyA a X Y
xy





（ 9）
则
11
(,)
nn
ij i j
ij
a x y X A Y

（ 10）
27
① 度量矩阵 A是实对称矩阵,
② 由内积的正定性，度量矩阵 A还是正定矩阵,
注：
事实上，对,即,0V0X?
有 (,) 0X A X
A? 为正定矩阵,
③ 由（ 10）知，在基 下，向量的内积12,,,n
由度量矩阵 A完全确定,
28
欧氏空间 V的子空间在 V中所定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为 V的 欧氏子空间,
五,欧氏空间的子空间