一、初等因子的定义二、初等因子与不变因子的关系三、初等因子的求法一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）
把矩阵 的每个次数大于零的不变因子nnAC
称为 A的初等因子,
分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一,初等因子的定义
2 2 2 2 21,1,,1,( 1 ),( 1 ) ( 1 ),( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
9个则 A的初等因子有 7个，它们是
222( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),
例 1、若 12级复矩阵 A的不变因子是,
22( ),( )ii
① 设 n级矩阵 A的不变因子为已知：
12( ),( ),,( )nd x d x d x
将 分解成互不相同的一次因式( ) ( 1,2,,)id x i n?
二,初等因子与不变因子的关系的方幂的乘积,
11 12 11 1 2( ) ( ) ( ) ( ),rk k krdx
21 22 22 1 2( ) ( ) ( ) ( ),rk k krdx
1212( ) ( ) ( ) ( ),n n n rk k knrdx
分析,
则其中对应于 的那些方幂,1ijk?
( ) ( 1 )ijkj i jk
就是 A的全部初等因子,
② 注意到不变因子 满足12( ),( ),,( )nd x d x d x
1( ) | ( ),1,2,,1iid x d x i n
从而有
1,( ) | ( ),1,2,,1,1,2,i j i jkkjj i n j r
因此有,12,1,2,,j j n jk k k j r
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，
方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必()nd?
出现在 的分解式中,1 ()nd
如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的,
③ 设 级矩阵 的全部初等因子为已知,n A
在全部初等因子中，将同一个一次因式
( ) 1,2,j jr
的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足 n个时，则在后面补上适当个数的 1，使其凑成 n个，设所得排列为
1,1( ),( ),,( ),1,2,.n j n j jk k kj j j jr
于是令
1212( ) ( ) ( ) ( ),1,2,,i i irk k kird x i n
则 12( ),( ),,( )nd x d x d x
就是 A的不变因子,
例 1、已知 3级矩阵 A的初等因子为,2( 1 ),2,
求 A的不变因子,
解：作排列 2( 1 ),1,1
2,1,1
得 A的不变因子为：
23 ( ) ( 1 ) ( 2 ),dx
21( ) ( ) 1,d x d x
结论 1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子；
反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论 2、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量,
相同的不变因子,
它们有相同的初等因子,
1,(引理 1)若多项式 都与12( ),( )ff12( ),( )gg
互素，则三,初等因子的求法
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ),( ) ( ) ( ),( ) ( ),( )f g f g f f g g
证：令1 1 2 2( ) ( ),( ) ( ) ( ),f g f g d
1 2 1( ),( ) ( ),f f d
1 2 2( ),( ) ( ),g g d
显然,12( ) ( ),( ) ( ),d d d
由于11( ),( ) 1,fg故12( ),( ) 1.dd
因而 12( ) ( ) ( )d d d
另一方面，由于 11( ) ( ) ( ),d f g
可令 ( ) ( ) ( ),d f g
其中 11( ) | ( ),( ) | ( )f f g g
又12( ),( ) 1,fg
由 22( ) | ( ) ( ),f f g又得 2( ) | ( ),ff
2( ),( ) 1,fg
同理可得 2( ) | ( ),gd
12( ) ( ) | ( ) ( ),f g d d
即 12( ) | ( ) ( )d d d
1( ) | ( ),fd
故 12( ) | ( ) ( )d d d
11
22
( ) ( ) 0
()
0 ( ) ( )
fg
A
fg





21
12
( ) ( ) 0
()
0 ( ) ( )
fg
B
fg





如果多项式 都与 互素，12( ),( )ff 12( ),( )gg
2,(引理 2) 设则 与 等价,()A? ()B?
证：首先,( ) ( ),AB
从而 二阶行列式因子相同,( ),( )AB
其次，由引理 1，有
1 1 2 2( ) ( ),( ) ( )f g f g
1 2 1 2( ),( ) ( ),( )f f g g
从而 的一阶行列式因子相同,( ),( )AB
所以,与 等价,()A? ()B?
2 1 1 2( ) ( ),( ) ( )f g f g
3,(定理 9) 设 将特征矩阵 进行,nnAC EA
初等变换化成对角形 1
2
()
()()
()n
h
hD
h




然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 A的全部初等因子,
证：设 经过初等变换化成对角形EA 1
2
()
()()
()n
h
hD
h




其中 皆为首 1多项式，()ih? 1,2,,in?
将 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积,()ih?
1212( ) ( ) ( ) ( ),i i i rk k kirh
1,2,,in?
下证，对于每个相同的一次因式的方幂
12( ),( ),,( ) 1,2,,j j n jk k kj j j jr
在 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角()D?
矩阵 与 等价,()D ()D? 此时 就是 的()D EA
且所有不为 1的 就是 A的全部()ijkj
初等因子,
标准形，
为了方便起见，先对 的方幂进行讨论,1
于是 11( ) ( ) ( ),1,2,,ikiih g i n
且每一个 都与 互素,11()ik ( ) ( 1,2,,)jg j n
如果相邻的一对指数 1 1,1,iikk
则在 中将 与 对调位置，()D? 11()ik 1,11() ik
而其余因式保持不动，
2323( ) ( ) ( ) ( ),i i ink k kirgx令
1,2,,in?
由引理 2
1
1,1
1
11
( ) ( ) 0
0 ( ) ( )
i
i
k
i
k
i
gx
gx





与 1,1
1
1
11
( ) ( ) 0
0 ( ) ( )
i
i
k
i
k
i
gx
gx





等价,
11
1
1
1
11
1
11
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i
i
n
k
k
i
k
i
k
n
gx
gx
gx
gx








等价,
然后对 重复上述讨论,1()D?
1 ()D从而 与对角矩阵()D?
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1 的方幂是按逆升幂次排列为止,
再依次对 作同样处理,2,,r
最后便得到与 等价的对角阵()D? ( ).D
都是按升幂排列的，
的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂()D
即为 的标准形,EA()D
例 2、求矩阵 A的初等因子
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A



解：对 作初等变换EA
1 2 6
13
1 1 4
EA




20 1 3 2
0 1 1
1 1 4




2
1 0 0
0 1 1
0 1 3 1





2
1 0 0
0 1 1
0 0 2 1





2
1 1 4
0 1 1
0 1 3 1





2
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 )



∴ A的初等因子为,21,( 1 ),
作业,
P357 6 1) 求初等因子