1
一,线性变换与基二,线性变换与矩阵三,相似矩阵
2
一,线性变换与基的线性变换,则对任意 存在唯一的一组数V
1,设 是线性空间 V的一组基,为 V12,,,n
使12,,,,nx x x P? 1 1 2 2 nnx x x
从而,1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ),nnx x x
由此知,由 完全确定,() 12( ),( ),,( )n
一组基在 下的象即可,?
所以要求 V中任一向量在 下的象，只需求出 V的?
3
2,设 是线性空间 V的一组基,为,n12,,,
V的线性变换，若 ( ) ( ),1,2,,.ii in
则,
nnx x x1 1 2 2＝
nnx x x1 1 2 2＝
由已知，即得,＝,
由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定,
证：对 1 1 2 2,nnV x x x
4
( ),1,2,,ii in
证,1 1 2 2,nnV x x x设
:,VV定义 1 1 2 2 nnx x x＝,
12,,,,n都存在线性变换 使?任意 n个向量
3,设 是线性空间 V的一组基，对 V中n12,,,
易知 为 V的一个变换，下证它是线性的,?
11
,
nn
i i i i
ii
V b c

，,=任取 设
5
则
11
,)
nn
i i i i i
ii
b c k b

＋ ＝ （ ＋ ） (k
于是
1 1 1
n n n
i i i i i i i
i i i
b c b c

＋ （ ＋ ）


11
)
nn
i i i i
ii
k k b k b k

(
为 V的线性变换,
又 1 1 10 0 0 0i i i i n
( ),1,2,,ii in
6
由 2与 3即 得定理 1 设 为线性空间 V的一组基，12,,,n
对 V中任意 n个向量 存在唯一的线性12,,,,n
1,2,,.ii in，
变换 使,?
1 2 1 2,,,(,,,)nn即
7
设 为数域 P上线性空间 V的一组基，12,,,n
为 V的线性变换,基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为
11 1 21 2 1
12 1 22 2 2
1 1 2 2
()
()
()
nn
nn
n n n n n n






1
2
二,线性变换与矩阵
1,线性变换的矩阵
1 2 1 2 1 2,,,,,,,,,n n n A
8
其中
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
,
n
n
n n nn
A







② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；
零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；
① A的第 i列是 在基 下的坐标，12,,,n()i
矩阵 A称为 线性变换 在基 下的矩阵,? 12,,,n
注：
它是唯一的,故 在取定一组基下的矩阵是唯一的,?
数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
9
例 1,设线性空间 的线性变换 为?3P
1 2 3 1 2 1 2(,,) (,,)x x x x x x x
求 在标准基 下的矩阵,1 2 3,,
解：
3( ) ( 0,0,1 ) ( 0,0,0)
1( ) ( 1,0,0) ( 1,0,1 )
2( ) ( 0,1,0) ( 0,1,1 )
1 2 3 1 2 3
1 0 0
(,,) (,,) 0 1 0
1 1 0




10
例 2,设 为 n维线性空间 V的子空12,,,( )m mn
间 W的一组基，把它扩充为 V的一组基,12,,,.n
并定义线性变换,? 1,2,,0 1,,ii
i
im
i m n



1 2 1 2
1
1
,,,,,,
0
0
nn







则

m行称这样的变换 为 对子空间 W的一个投影,?
易验证 2,
11
2,线性变换运算与矩阵运算定理 2 设 为数域 P上线性空间 V的一组12,,,n
的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：
基，在这组基下,V的每一个线性变换都与 中nnP?
① 线性变换的和对应于矩阵的和；
② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵,
12
注,2( ) ; d i m ( ),nnL V P L V n
事实上，任意取定 V的一组基 后，12,,,n
,( ),nnL V P
对任意,定义,()LV
( ),A
这里 A为 在基 下的矩阵,? 12,,,n
则 就是 到 的一个同构映射,() nnL V P
（ 1）双射 （ 2）保持运算
13
3,线性变换矩阵与向量在线性变换下的象定理 3 设线性变换 在基 下的矩阵为 A,12,,,n
在基 下的坐标为12,,,nV 12(,,,),nx x x
()在基 下的坐标为12,,,n 12(,,,),ny y y
则有
11
22
nn
yx
yxA
yx





＝,
14
证：由已知有

1
2
12,,,n
n
x
x
x






＝,

1
2
12( ),,.n
n
y
y
y






,
1 2 1 2,,,,,,,nn A
15

1
2
12( ),,,n
n
x
x
x






又
1
2
12,,n
n
x
xA
x






,

11
22
1 2 1 2,,,,nn
nn
yx
A
yx






,,
由于 线性无关，所以12,,n,
11
22
nn
yx
yxA
yx





＝,
16
4．同一 线性变换在不同基下矩阵之间的关系下的矩阵分别为 A,B，且从基 (Ⅰ )到基 (Ⅱ )的过渡矩阵矩阵是 X，则
1,B X A X
12,,,n (Ⅱ )
12,,n,(Ⅰ )
定理 4 设线性空间 V的线性变换 在两组基?
17
证：由已知，有
1 2 1 2,,,,,nn A,,
1 2 1 2,,,,,,,nn B
1 2 1 2,,,,,.nn X,
于是,1 2 1 2,,,,,nn X,
12,,n AX,12,,,.n X A X -1
由此即得,B X AX-1=
18
三、相似矩阵
1,定义设 A,B为数域 P上的两个 n级矩阵，若存在可逆矩阵 使得,nnXP
B X A X? -1
则称矩阵 A相似于 B，记为 ~AB.
19
1 1 1,.B X AX A Y BY Y X
（ 1） 相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：
① 反身性,~.AA
1,A E AE?=
② 对称性,~ ~,A B B A?
2,基本性质
③ 传递性,,~ ~,A B B C A C?
11B X AX C Y BY=,=
1 1 1 1( ) ( ) ( ),C = Y BY = Y X AX Y = XY A XY
20
（ 2）
定理 5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
同一线性变换在两组基下所对应的矩阵,
反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作证：前一部分显然成立,下证后一部分,
设 且 A是线性变换 在基 下的矩阵,,AB? 12,,,n
1,B X A X?=1 2 1 2,,,,,.nn X令,
显然,也是一组基，12,,,n
矩阵就是 B.
且 在这组基下的?
21
（ 3） 相似矩阵的运算性质
① 若 则 111 1 2 2,,B X A X B X A X
11 2 1 2( ),B B X A A X
1( ) ( ),f B X f A X
即,1 2 1 2 1 2 1 2~,~,A A B B A A B B
特别地,1,mmB X A X
11 2 1 2( ),B B X A A X
② 若 则 1,( ) [ ],B X A X f x P x