1
一、向量的形式书写法二,基变换三、坐标变换
2
引入我们知道,在 n维线性空间 V中,任意 n个线性无关的向量都可取作线性空间 V的一组基,V
中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的,
但是在不同基下的坐标一般是不同的,因此在处理一些问题是时,如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题,为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系,即随着基的改变,向量的坐标是如何变化的,
3
一、向量的形式书写法
1,V为数域 P上的 n维线性空间,为12,,,n
V中的一组向量，,若V
1 1 2 2 nnx x x
则记作
1
2
12(,,,)n
n
x
x
x






4
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a a a
a a a
a a a






则记作
2,V为数域 P上 n维线性空间,；12,,,n
12,,,n为 V中的两组向量,若
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
12
(,,,) (,,,)
n
n
nn
n n nn
a a a
a a a
a a a





5
注,在形式书写法下有下列运算规律
1) 1 2 1 2 1 2,,,,,,,,,,,n n nV a a a b b b P11
22
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn
nn
ab
ab






11
22
12(,,,)n
nn
ab
ab





若
12,,,n线性无关,则
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn
n n n n
a b a b
a b a b
a b a b






6
2) ； 为 V中的两组向量，12,,,n12,,,n
矩阵,则,nnA B P
1 2 1 2( (,,,) ) (,,,) ( )nnA B A B；
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnAB；
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnAA；1 1 2 2(,,,)nn A
若 12,,,n线性无关,则
1 2 1 2(,,,) (,,,)nnA B A B
12(,,,) ( )n AB
7
1,定义设 V为数域 P上 n维线性空间,；12,,,n
12,,,n为 V中的两组基,若
1 1 1 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n nn n
a a a
a a a
a a a







①
即，
二,基变换
8
则称矩阵
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a




为由基 到基 的 过渡矩阵 ；12,,,n12,,,n
称 ① 或 ② 为由基 到基12,,,n12,,,n
的 基变换公式,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2 1 2
12
(,,,) (,,,)
n
n
nn
n n nn
a a a
a a a
a a a





②
9
2,有关性质
1） 过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 为 V的两组基,1 2 1 2,,,;,,,nn
且由基 的过渡矩阵为 A，1 2 1 2,,,,,,nn到即 1 2 1 2(,,,) (,,,)nn A
又由基 也有一个过渡矩阵,1 2 1 2,,,,,,nn到设为 B，即 1 2 1 2(,,,) (,,,)nn B
③
④
比较 ③,④ 两个等式，有
10
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn BA
1 2 1 2(,,,) (,,,) AB
都是线性无关的,1 2 1 2,,,;,,,nn
.A B B A E即,A是可逆矩阵,且 A－ 1＝
B.
反过来，设 为 P上任一可逆矩阵，()ij n nAa
任取 V的一组基 12,,,,n
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn A于是有，
1
,1,2,,
n
ij i
i
a j n
j令
11
11 2 1 2(,,,) (,,,)nn A由 A可逆，有
1 2 1 2,,,,,,nn 与 等 价,
即,也可由 线性表出,12,,,n 12,,,n
故 线性无关，从而也为 V的一组基,12,,,n
并且 A就是 的过渡矩阵,1 2 1 2,,,,,,nn到
2） 若由基 过渡矩阵为 A,1 2 1 2,,,,,,到 基则由基 过渡矩阵为 A-1.1 2 1 2,,,,,,nn到 基
12
3） 若由基 过渡矩阵为 A,1 2 1 2,,,,,,nn到 基由基 过渡矩阵为 B，则1 2 1 2,,,,,,nn到 基由基 过渡矩阵为 AB.1 2 1 2,,,,,,到 基
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn B
1 2 1 2(,,,) (,,,)nn A事实上,若
1 2 1 2(,,,) ( (,,,) )nn AB则有，
12(,,,)n AB
13
三、坐标变换
⑤
1、定义,V为数域 P上 n维线性空间 12,,,;n
为 V中的两组基,且12,,,n 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2 1 2
12
(,,,) (,,,)
n
n
nn
n n nn
a a a
a a a
a a a





设 且 ξ在基 与基12,,,n 12,,,nV
下的坐标分别为 与,12(,,,)nx x x12(,,,)nx x x
14
即，
1
2
12(,,,)n
n
x
x
x






与
1
2
12(,,,)n
n
x
x
x






则
1 1 1 2 111
2 2 1 2 2 2 2
12
n
n
nnn n nn
a a axx
x a a a x
xxa a a





或
1
11 12 111
2 21 22 2 2
12
n
n
nnn n n n
a a a
x a a a x
xxa a a





⑦
称 ⑥ 或 ⑦ 为向量 ξ在基变换 ⑤ 下的 坐标变换公式,
⑥
15
例 1 在 Pn中，求由基 12,,,n到基 12,,,n
过渡矩阵．其中
12( 1,0,,0 ),(0,1,,0 ),,(0,,0,1 )n
12( 1,1,,1 ),(0,1,,1 ),,(0,,0,1 )n
解,∵
1 1 2
22
n
n
nn





的过渡矩阵及由基 12,,,n12,,,n到基 的并求向量 在基 下的坐标,12,,,n12(,,,)na a a
16
1
1 2 1 2
1 0 0
1 1 0(,,,) (,,,)
1 1 1
nn




12
1 0 0 0
1 1 0 0
(,,,) 0 1 1 0
0 0 0 1
n





而，
∴
1 2 1 2
1 0 0
1 1 0(,,,) (,,,)
1 1 1
nn




17
12,,,n12,,,n到基由基 的过渡矩阵为
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1




故，由基 12,,,n到基 12,,,n的过渡矩阵为1 0 0
1 1 0
1 1




18
12(,,,)na a a 在基 下的坐标就是12,,,n
12(,,,)na a a
设 在基 下的坐标为,则12,,,n 12(,,,)nx x x
1 1 1
2 2 2 1
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1n n n n
x a a
x a a a
x a a a








所以 在基 下的坐标为12,,,n
1 2 1 1(,,,)nna a a a a
19
例 2 在 P4中，求由基 1 2 3 4,,,到基 1 2 3 4,,,
的过渡矩阵，其中
1
2
3
4
(1,2,1,0 )
(1,1,1,1 )
( 1,2,1,1 )
( 1,1,0,1 )




1
2
3
4
( 2,1,0,1 )
( 0,1,2,2)
( 2,1,1,2)
(1,3,1,2)

20
解：设 12(1,0,0,0 ),(0,1,0,0 ),
34(0,0,1,0 ),(0,0,0,1 )
则有
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1
2 1 2 1(,,,) (,,,)
1 1 1 0
0 1 1 1





或
1
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1
2 1 2 1(,,,) (,,,)
1 1 1 0
0 1 1 1





，
21
1 2 3 4 1 2 3 4
2 0 2 1
1 1 1 3(,,,) (,,,)
0 2 1 1
1 2 2 2





从而有 1 2 3 4(,,,)
1
1 2 3 4
1 1 1 1 2 0 2 1
2 1 2 1 1 1 1 3
(,,,)
1 1 1 0 0 2 1 1
0 1 1 1 1 2 2 2







1
1 2 3 4
1 1 1 1 2 0 2 1
2 1 2 1 1 1 1 3
(,,,)
1 1 1 0 0 2 1 1
0 1 1 1 1 2 2 2







22
1 2 3 4
1 0 0 1
1 1 0 1(,,,)
0 1 1 1
0 0 1 0





∴ 由基 1 2 3 4,,,到基 1 2 3 4,,,的过渡矩阵为1 0 0 1
1 1 0 1
0 1 1 1
0 0 1 0