二、合同的变换法一、二次型的标准形三、小结
§ 2 标准形二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？
任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成?
2 2 21 1 2 2 nnd x d x d x
1
2
12
00
00(,,,)
0 0 0
n
n
d
ddia g d d d
d
§ 2 标准形证明,略,(书 P210)
一、二次型的标准形过非退化线性替换化成平方和的形式,
1、（定理 1）数域 P上任一二次型都可经
§ 2 标准形
2、二次型的标准形的定义所变成的平方和形式注,1）由定理 1任一二次型的标准形是存在的,
2） 可应用配方法得到二次型的标准形,
2 2 21 1 2 2 nnd y d y d y
二次型 经过非退化线性替换12(,,,)nf x x x
的一个 标准形,称为 12(,,,)nf x x x
§ 2 标准形则解：作非退化线性替换
2221 3 3 2 2 32 ( ) 2 2 8y y y y y y
221 2 1 3 2 32 2 4 8y y y y y y
1 2 32 ( )y y y
1 2 1 2 1 2 1 2 3(,,,) 2 ( ) ( ) 6 ( )nf x x x y y y y y y y
11
22
33
1 1 0
1 1 0
0 0 1
xy
xy
即,
1 1 2
2 1 2
33
x y y
x y y
xy
例 1,求 1 2 3 1 2 2 3 1 3(,,) 2 6 2f x x x x x x x x x的标准形,
§ 2 标准形
2 2 21 2 3 32 2 ( 2 ) 6z z z z
2 2 2 21 2 3 3 32 2 ( 2 ) 8 2z z z z z
或
11
2 2 3
33
2
zw
z w w
zw
最后令
11
2 2 3
33
2
wz
w z z
wz
则 2221 2 1 2 3 2 3(,,,) 2 2 2 8nf x x x z z z z z
11
22
33
1 0 1
0 1 0
0 0 1
yz
yz
即,
或
1 1 3
22
33
y z z
yz
yz
再令
1 1 3
22
33
z y y
zy
zy
§ 2 标准形所作的非退化线性替换是即
1 1 2 3
2 1 2 3
33
3x w w w
x w w w
xw
1
2
3
1 1 0 1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0 1 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
w
w
w
1
2
3
1 1 3
1 1 1
0 0 1
w
w
w
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x y z
x y z
x y z
2221 2 3 1 2 3(,,) 2 2 6f x x x w w w则
§ 2 标准形
3,（ 定理 2） 数域 P上任一对称矩阵合同于证：由定理 1可得,
使 C′AC为对角矩阵．
即 若 A′＝ A,则存在可逆矩阵,nnAP nnCP
一个对角矩阵,
§ 2 标准形二,合同的变换法
（ 1） 互换矩阵的,ij两行，再互 换矩阵的,ij两列 ;
1,定义,合同变换 是指下列三种变换
（ 2） 以数 k（ 0k? ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘i
i
（ 3） 将矩阵的第 i行的 k倍加 到第 j 行，再将第 i 列的 k倍加到第 j 列（ ).ij?
矩阵的第 i 列,
§ 2 标准形
2,合同变换法化二次型为标准形又，
设对称矩阵 A与对角矩阵 D合同，则存在可逆矩阵基本原理,
C,使Ｄ＝Ｃ ′ＡＣ,
(,) (,),( ( ) ) ( ( ) ),p i j p i j p i k p i k
s 2 1 1 2 sC A C Q Q Q A Q Q Q
s 2 1 1 2 sQ Q Q A Q Q Q （ （ （ ） ） ）
若 为初等阵，则12,siC Q Q Q Q?
(,( ) ) (,( ) )p i j k p j i k
§ 2 标准形对 E施行同样的 初等列变换 便可求得可逆矩阵 C满足就相当于对 A作 s次合同变换化为 D.
所以，在 合同变换 化矩阵 A为对角阵 D的同时，
又注意到 12,.,SC E Q Q Q?
2 1 2(,,,( ) ),,,)SSQ Q Q AQ Q Q D
所以,2 1 2(,,,( ) ),,,)SSC A C Q Q Q A Q Q Q
.C A C D
§ 2 标准形基本步骤,
② 对 A作合同变换化为对角矩阵 D对 E仅作上述合同变换中的初等列变换得 C
③ 作非退化线性替换 X=CY，则即,12(,.,,,),nf x x x X A X A A
① 写出二次型 的矩阵 A12(,,.,,,)nf x x x
为标准形,12(,,.,,,)nf x x x Y D Y
DCAE
D为对角阵,
且 D C A C
§ 2 标准形注意,
ii) 若 a11=0，而有某个 aii≠0，作合同变换：
( ) 0ij n nAa 为对角阵 D时合同变换化对称矩阵
i） 若 a11≠0，作合同变换：将 A的第一行的 倍1
11
jaa?
加到第 j 行，再将所得矩阵的第一列的 倍加到
1
11
jaa?
第 j 列,j=2,3,….n 则互换 1,i 两行，再互换 1,i 两列，所得矩阵的第 1行第 1列处元素为 aii≠0，转为情形 i)，即
11
1
0,,,0
0
...
0
a
A A
§ 2 标准形
iii) 若 aii=0,i=1,2,… n.则必有某个 aij≠0(i ≠j)，作合同变换：将第 j 行加到第 i 行，再将第 j 列加到第 i 列，所得矩阵第 i 行第 i 列处元素为 2aij
≠0.转为情形 ii).
iv) 对 i）中 A1重复上述做法,
..,.,.
.
.*
.
iia
A
§ 2 标准形例 2 用合同变换求下面二次型的标准形
r1+r2
c1+c2
（同例 1）1 2 3 1 2 2 3 1 3(,,) 2 6 2f x x x x x x x x x
1 1 2
1 0 3
1 3 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 1 1
1 0 3
1 3 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
E
2 1 2
1 0 3
2 3 0
1 0 0
1 1 0
0 0 1
解,的矩阵为
0 1 1
1 0 3
1 3 0
A
1 2 3(,,)f x x x
§ 2 标准形
r3+r1
r2－ r11
2
c3+c1
c2－ c11
2
－ 2r2
－ 2c2
2 0 0
0 2 4
0 4 2
1 1 1
1 1 1
0 0 1
1
2
2 1 2
02
0 2 2
1 0 0
1 1 0
0 0 1
1
2
1
2
1
2
2 0 0
02
0 2 2
11
11
0 0 1
1
2
1
2
2 0 0
0 1 4
0 2 2
11
11
0 0 1
c3+2c2
r3+2r2
200
0 2 4
0 0 6
1 1 1
1 1 1
0 0 1
2 0 0
0 0
0 0 6
1 1 3
1 1 1
0 0 1
§ 2 标准形作非退化线性替换 X=CY,则二次型化为标准形
2221 2 3 1 2 3(,,) 2 2 6f x x x y y y
令
1 1 3
1 1 1,
0 0 1
C
则
200
' 0 2 0,
0 0 6
C AC
§ 2 标准形
① 对 A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵,（因为合同变换保持矩阵的对 称性
－－可利用这一点检查计算是否正确,）
② 对 A作合同变换时，无论先作行变换还是先作列变换，结果是一致的,
③ 可连续作 n次初等行（列）变换后，再依次作 n次相应的初等列（行）变换,
说明,
§ 2 标准形作非退化线性替换
f 的标准形为练习,求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换,
答案：
221 2 3 4 1 1 2 1 3 1 4 2(,,,) 4 4 2 2f x x x x x x x x x x x x
22 3 2 4 3 4 42 2 2x x x x x x x
1 2 1 1
0 1 3 1,
0 0 2 1
0 0 0 1
X C Y C
其 中
2 2 21 2 322y y y
§ 2 标准形的矩阵为详解：
AE
1 0 0 0
2231
2341
1 1 1 0
1 2 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
21
31
41
2
2
cc
cccc
1 2 3 4(,,,)f x x x x
1 2 2 1
2 2 1 1
2 1 0 1
1 1 1 1
A
21
31
41
1 0 0 0
2 0231
2 0341
0 1 1 0
1 2 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
rr
rr
rr
§ 2 标准形
32
42
1 0 0 0
0 2 0 0
11
03
22
11
01
22
3
1 2 1 1
2 31
011
22
2 0 0 1 0
0 0 0 1
cc
cc
32
42
1 0 0 0
0 2 0 0
3
11
002
221
11
002
22
1 2 1 0
31
01
22
0 0 1 0
0 0 0 1
rr
rr
§ 2 标准形
43
1 0 0 0
0 2 0 0
1
0 0 0
2
1
0 0 0
2
1 2 1 1
3
0 1 1
2
0 0 1 1
0 0 0 1
cc
43
1 0 0 0
0 2 0 0
1
0 0 0
2
0 0 0 0
1 2 1 1
3
0 1 1
2
0 0 1 1
0 0 0 1
rr
§ 2 标准形令 则作非退化线性替换 X=CY,则 f 的标准形为
3
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
1 2 2 12
0 1 3 1
0 0 2 1
0 0 0 1
c
3
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
2 0 0 0 0
1 2 1 1
0 1 3 1
0 0 2 1
0 0 0 1
r
1 2 1 1
0 1 3 1,
0 0 2 1
0 0 0 1
C
1
2'.
2
0
C A C
2 2 21 2 322y y y
§ 2 标准形三、小结
1、二次型的标准形基本概念基本结论定理 2、数域 P上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵,
定理 1、任一数域 P上的二次型 f (x1,x2,…,xn) 都可经过一适当的非退化线性变换 X＝ CY化为标准形
2、合同变换
2 2 21 1 2 2 nnd y d y d y
§ 2 标准形二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？
任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成?
2 2 21 1 2 2 nnd x d x d x
1
2
12
00
00(,,,)
0 0 0
n
n
d
ddia g d d d
d
§ 2 标准形证明,略,(书 P210)
一、二次型的标准形过非退化线性替换化成平方和的形式,
1、（定理 1）数域 P上任一二次型都可经
§ 2 标准形
2、二次型的标准形的定义所变成的平方和形式注,1）由定理 1任一二次型的标准形是存在的,
2） 可应用配方法得到二次型的标准形,
2 2 21 1 2 2 nnd y d y d y
二次型 经过非退化线性替换12(,,,)nf x x x
的一个 标准形,称为 12(,,,)nf x x x
§ 2 标准形则解：作非退化线性替换
2221 3 3 2 2 32 ( ) 2 2 8y y y y y y
221 2 1 3 2 32 2 4 8y y y y y y
1 2 32 ( )y y y
1 2 1 2 1 2 1 2 3(,,,) 2 ( ) ( ) 6 ( )nf x x x y y y y y y y
11
22
33
1 1 0
1 1 0
0 0 1
xy
xy
即,
1 1 2
2 1 2
33
x y y
x y y
xy
例 1,求 1 2 3 1 2 2 3 1 3(,,) 2 6 2f x x x x x x x x x的标准形,
§ 2 标准形
2 2 21 2 3 32 2 ( 2 ) 6z z z z
2 2 2 21 2 3 3 32 2 ( 2 ) 8 2z z z z z
或
11
2 2 3
33
2
zw
z w w
zw
最后令
11
2 2 3
33
2
wz
w z z
wz
则 2221 2 1 2 3 2 3(,,,) 2 2 2 8nf x x x z z z z z
11
22
33
1 0 1
0 1 0
0 0 1
yz
yz
即,
或
1 1 3
22
33
y z z
yz
yz
再令
1 1 3
22
33
z y y
zy
zy
§ 2 标准形所作的非退化线性替换是即
1 1 2 3
2 1 2 3
33
3x w w w
x w w w
xw
1
2
3
1 1 0 1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0 1 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
w
w
w
1
2
3
1 1 3
1 1 1
0 0 1
w
w
w
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x y z
x y z
x y z
2221 2 3 1 2 3(,,) 2 2 6f x x x w w w则
§ 2 标准形
3,（ 定理 2） 数域 P上任一对称矩阵合同于证：由定理 1可得,
使 C′AC为对角矩阵．
即 若 A′＝ A,则存在可逆矩阵,nnAP nnCP
一个对角矩阵,
§ 2 标准形二,合同的变换法
（ 1） 互换矩阵的,ij两行，再互 换矩阵的,ij两列 ;
1,定义,合同变换 是指下列三种变换
（ 2） 以数 k（ 0k? ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘i
i
（ 3） 将矩阵的第 i行的 k倍加 到第 j 行，再将第 i 列的 k倍加到第 j 列（ ).ij?
矩阵的第 i 列,
§ 2 标准形
2,合同变换法化二次型为标准形又，
设对称矩阵 A与对角矩阵 D合同，则存在可逆矩阵基本原理,
C,使Ｄ＝Ｃ ′ＡＣ,
(,) (,),( ( ) ) ( ( ) ),p i j p i j p i k p i k
s 2 1 1 2 sC A C Q Q Q A Q Q Q
s 2 1 1 2 sQ Q Q A Q Q Q （ （ （ ） ） ）
若 为初等阵，则12,siC Q Q Q Q?
(,( ) ) (,( ) )p i j k p j i k
§ 2 标准形对 E施行同样的 初等列变换 便可求得可逆矩阵 C满足就相当于对 A作 s次合同变换化为 D.
所以，在 合同变换 化矩阵 A为对角阵 D的同时，
又注意到 12,.,SC E Q Q Q?
2 1 2(,,,( ) ),,,)SSQ Q Q AQ Q Q D
所以,2 1 2(,,,( ) ),,,)SSC A C Q Q Q A Q Q Q
.C A C D
§ 2 标准形基本步骤,
② 对 A作合同变换化为对角矩阵 D对 E仅作上述合同变换中的初等列变换得 C
③ 作非退化线性替换 X=CY，则即,12(,.,,,),nf x x x X A X A A
① 写出二次型 的矩阵 A12(,,.,,,)nf x x x
为标准形,12(,,.,,,)nf x x x Y D Y
DCAE
D为对角阵,
且 D C A C
§ 2 标准形注意,
ii) 若 a11=0，而有某个 aii≠0，作合同变换：
( ) 0ij n nAa 为对角阵 D时合同变换化对称矩阵
i） 若 a11≠0，作合同变换：将 A的第一行的 倍1
11
jaa?
加到第 j 行，再将所得矩阵的第一列的 倍加到
1
11
jaa?
第 j 列,j=2,3,….n 则互换 1,i 两行，再互换 1,i 两列，所得矩阵的第 1行第 1列处元素为 aii≠0，转为情形 i)，即
11
1
0,,,0
0
...
0
a
A A
§ 2 标准形
iii) 若 aii=0,i=1,2,… n.则必有某个 aij≠0(i ≠j)，作合同变换：将第 j 行加到第 i 行，再将第 j 列加到第 i 列，所得矩阵第 i 行第 i 列处元素为 2aij
≠0.转为情形 ii).
iv) 对 i）中 A1重复上述做法,
..,.,.
.
.*
.
iia
A
§ 2 标准形例 2 用合同变换求下面二次型的标准形
r1+r2
c1+c2
（同例 1）1 2 3 1 2 2 3 1 3(,,) 2 6 2f x x x x x x x x x
1 1 2
1 0 3
1 3 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 1 1
1 0 3
1 3 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
E
2 1 2
1 0 3
2 3 0
1 0 0
1 1 0
0 0 1
解,的矩阵为
0 1 1
1 0 3
1 3 0
A
1 2 3(,,)f x x x
§ 2 标准形
r3+r1
r2－ r11
2
c3+c1
c2－ c11
2
－ 2r2
－ 2c2
2 0 0
0 2 4
0 4 2
1 1 1
1 1 1
0 0 1
1
2
2 1 2
02
0 2 2
1 0 0
1 1 0
0 0 1
1
2
1
2
1
2
2 0 0
02
0 2 2
11
11
0 0 1
1
2
1
2
2 0 0
0 1 4
0 2 2
11
11
0 0 1
c3+2c2
r3+2r2
200
0 2 4
0 0 6
1 1 1
1 1 1
0 0 1
2 0 0
0 0
0 0 6
1 1 3
1 1 1
0 0 1
§ 2 标准形作非退化线性替换 X=CY,则二次型化为标准形
2221 2 3 1 2 3(,,) 2 2 6f x x x y y y
令
1 1 3
1 1 1,
0 0 1
C
则
200
' 0 2 0,
0 0 6
C AC
§ 2 标准形
① 对 A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵,（因为合同变换保持矩阵的对 称性
－－可利用这一点检查计算是否正确,）
② 对 A作合同变换时，无论先作行变换还是先作列变换，结果是一致的,
③ 可连续作 n次初等行（列）变换后，再依次作 n次相应的初等列（行）变换,
说明,
§ 2 标准形作非退化线性替换
f 的标准形为练习,求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换,
答案：
221 2 3 4 1 1 2 1 3 1 4 2(,,,) 4 4 2 2f x x x x x x x x x x x x
22 3 2 4 3 4 42 2 2x x x x x x x
1 2 1 1
0 1 3 1,
0 0 2 1
0 0 0 1
X C Y C
其 中
2 2 21 2 322y y y
§ 2 标准形的矩阵为详解：
AE
1 0 0 0
2231
2341
1 1 1 0
1 2 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
21
31
41
2
2
cc
cccc
1 2 3 4(,,,)f x x x x
1 2 2 1
2 2 1 1
2 1 0 1
1 1 1 1
A
21
31
41
1 0 0 0
2 0231
2 0341
0 1 1 0
1 2 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
rr
rr
rr
§ 2 标准形
32
42
1 0 0 0
0 2 0 0
11
03
22
11
01
22
3
1 2 1 1
2 31
011
22
2 0 0 1 0
0 0 0 1
cc
cc
32
42
1 0 0 0
0 2 0 0
3
11
002
221
11
002
22
1 2 1 0
31
01
22
0 0 1 0
0 0 0 1
rr
rr
§ 2 标准形
43
1 0 0 0
0 2 0 0
1
0 0 0
2
1
0 0 0
2
1 2 1 1
3
0 1 1
2
0 0 1 1
0 0 0 1
cc
43
1 0 0 0
0 2 0 0
1
0 0 0
2
0 0 0 0
1 2 1 1
3
0 1 1
2
0 0 1 1
0 0 0 1
rr
§ 2 标准形令 则作非退化线性替换 X=CY,则 f 的标准形为
3
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
1 2 2 12
0 1 3 1
0 0 2 1
0 0 0 1
c
3
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
2 0 0 0 0
1 2 1 1
0 1 3 1
0 0 2 1
0 0 0 1
r
1 2 1 1
0 1 3 1,
0 0 2 1
0 0 0 1
C
1
2'.
2
0
C A C
2 2 21 2 322y y y
§ 2 标准形三、小结
1、二次型的标准形基本概念基本结论定理 2、数域 P上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵,
定理 1、任一数域 P上的二次型 f (x1,x2,…,xn) 都可经过一适当的非退化线性变换 X＝ CY化为标准形
2、合同变换
2 2 21 1 2 2 nnd y d y d y
