?



nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111
1,线性方程组的解取决于,,,2,1,njia ij系数
n,,,ib i?21?常数项一、矩阵概念的引入第四章 矩阵
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa

21
222221
111211
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究,
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
2,某航空公司在 A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,
如图所示表示了四城市间的航班图,如果从 A到 B有航班,
则用带箭头的线连接 A 与 B.
A
B
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示,
发站到站
A B C D
A
B
C
D
其中 表示有航班,
为了便于计算,把表中的 改成 1,空白地方填上
0,就得到一个数表,
1 1
1 1
11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况,
A B C D
A
B
C
D
二、矩阵的定义由 个数排成的 行 列的数表
nm?m nnjmia ij,,2,1;,,2,1
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211
称为 矩阵,简称 矩阵,nm? nm? 记作
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A

11
22221
11211
简记为.ijnmijnm aaAA
元的矩阵
nm
A
,
.,简称为元的元素个数称为这 Anm?
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
主对角线副对角线例如?

3469
5301
是一个 实矩阵,42?
222
222
2613 i
是一个 复矩阵,33?
4
2
1
是一个 矩阵,13?
9532
是一个 矩阵,41?
4
是一个 矩阵,11?




mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA

2211
2222222121
1112121111
矩阵的加法设有两个 矩阵 那末矩阵与 的和记作,规定为
nm,bB,aA ijij
A B BA?
三 矩阵的运算说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
例如?
123
456
981
863
091
5312



182633
405961
9583112
.
986
447
41113

矩阵加法的运算规律
;1 ABBA
,2 CBACBA




mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A

11
22221
11211
3
,,04 BABAAA
,ija
.负矩阵的称为矩阵 A
.
11
22221
11211



mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AA





数与矩阵相乘规定为或的乘积记作与矩阵数, AAA
;1 AA
;2 AAA
,3 BABA
数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算,
（设 为 矩阵,为数）,nm?BA、

s
k kjiksjisjijiij
babababac
12211
,,,2,1;,2,1 njmi
并把此乘积记作,ABC?
矩阵与矩阵相乘设 是一个 矩阵,是一个矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵,其中
ijaA? smijbB?
ns?
nmijcC?
A B
例１
2222 63
42
21
42




C
22?

16? 32?
8 16
设
4150
0311
2101
A
121
113
121
430
B例 2
故


121
113
121
430
4150
0311
2101
ABC
.
解,43 ijaA,34 ijbB
,33 ijcC
5? 6 7
10 2 6?
2? 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,
106
861
985
123
321
例如

1
2
3
321
132231.10?
不存在,
矩阵乘法的运算规律
;1 BCACAB?
,2 ACABCBA ;CABAACB
BABAAB3 （其中 为数） ;?
;4 AEAAE
若 A是 阶矩阵，则 为 A的 次幂，即并且
5 n kA k

个k
k AAAA?
,AAA kmkm,mkkm AA?
为正整数k,m
注意 矩阵不满足交换律，即：
,BAAB,BAAB kkk?
例 设

11
11A?


11
11B
则,00 00?

AB,
22
22?

BA
.BAAB?故例 3 计算下列乘积：
21
3
2
2
1
解
21
3
2
2
1
12? 22?
12? 22?
13? 23?
.
63
42
42
,3,2,1,,,2
3
2
1
333231
232221
131211
321
jiaa
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb jiij其中解
332222112 bababa
3
2
1
b
b
b
.222 322331132112233322222111 bbabbabbabababa

3
2
1
333231
232221
131211
321
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
331221111 bababa=( 333223113 bababa）
运用矩阵的乘法，我们可以将下列线性方程组



nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111
写为,BAX? 其中
.,,
2
1
2
1
21
22221
11211
nnnnnn
n
n
b
b
b
B
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
A


实际上，上面的记法也可用于坐标变换,
例如对于二维空间中的线性变换



.c o ss in
,s inc o s
1
1
yxy
yxx

对应




c o ss in
s inc o s
X
Y
O?
yxP,
111,yxP
这是一个以原点为中心旋转 角的 旋转变换,?
定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,?A
A
A
例,854
221?

A ;
82
52
41
TA
,618?B,618TB
矩阵的转置转置矩阵的运算性质
;1 AA TT?
;2 TTT BABA
;3 TT AA
,4 TTT ABAB?
例 5 已知
,
102
324
171
,
231
102



BA
.TAB求解法 1


102
324
171
231
102
AB?
,101317 3140?


,
103
1314
170
TAB
解法 2
TTT ABAB?

21
30
12
131
027
241
.
103
1314
170
（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律,
（ 1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
注意
（ 3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同,
思考题问等式阶方阵为与设,nBA
BABABA 22
成立的充要条件是什么?
第三节 矩阵乘积的行列式与秩定理 1 设 A,B是数域 P上的两个 矩阵，那么nn?
BAAB?
推论 1 nn?
证明 第二章第八节已证明该结论,
设 A1,A2,…,Am是数域 P上的 矩阵，
那么
mm AAAAAA 2121?
定义 6 数域 P上的 矩阵 A 称为 退化的,如果,否则称为 非退化的,
nn?
0?A
(非 ) 退化矩阵也称为 (非 )奇异矩阵,
矩阵 A为非退化矩阵的充分必要条件是矩阵 A的秩等于 n,
推论 2 设 A,B是数域 P上 矩阵，矩阵 AB 是退化的充分必要条件是 A,B中至少有一个是退化的,
nn?
定理 2 设 A是数域 P上的 矩阵,B是数域 P上的 矩阵,那么
mn?
sm?
)](),(m i n [)( BAAB 秩秩秩?
即乘积的秩不超过各因子的秩,
证明 只 需要证明 )()( AAB 秩秩?,同时 )()( BAB 秩秩?
,
,
.
2
1
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
n
mmsmm
s
s
nmnn
m
m
c
C
C
AB
B
B
B
bbb
bbb
bbb
B
aaa
aaa
aaa
A


记设由于 Ci 的第 j 个分量等于?
m
k
kjik ba
1
mimii BaBaBa2211 的第 j 个分量也等于?
m
k
kjik ba
1
).,,2,1(2211 niBaBaBaC mimiii 因而矩阵 AB的行向量组 C1,C2,…,Cn可经 B的行向量线性表出，所以 AB的秩不超过 B的秩,
).()( BAB 秩秩?
将上述证明中的行向量换作列向量，相似地得到
).()( AAB 秩秩?
即
)](),(m i n [)( BAAB 秩秩秩?
推论
)()( 21
21
t
t
AAAA
AAAA
秩秩
，则如果
作业
P198 1（ 2）
2 （ 3）（ 5）（ 6）
P200 17 18