第五章 二次型三、小结二,实数域上的二次型的规范 形一,复数域上的二次型的规范 形第五章 二次型问题的产生：
1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化如：二次型 213221321 262),,( xxxxxxxxxf
3
1
1
3
2
1
100
111
311
y
y
y
x
x
x
(1)作非退化线性替换得标准形 2
32221321 622),,( yyyxxxf
(2)作非退化线性替换
3
1
1
3
2
1
3100
31211
1211
z
z
z
x
x
x
得标准形 2
3
2
2
2
1321 3
2
2
12),,( zzzxxxf
线性替换有关,
第五章 二次型
( ) ( ' ) ( )D C A C A秩 秩 秩
AXXxxf n '),,( 1∵ 若 作非退化线性替换 CYX?
DYY ' ',D C A C?化为标准形,则有而秩 (D) 等于 D 的主对角线上不为零的元素的个数,
3,问题：如何在一般数域 P上，进一步,规范,
平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，
系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关,
定义,二次型的 秩 等于矩阵 A的秩，即秩 ＝秩 （ A）,
12(,,,) 'nf x x x X A X?
f
第五章 二次型一,复数域上的二次型的规范 形
1,复二次型的规范形的定义标准形再作非退化线性替换
2211( ) ' ( ' ) rrf X Y C A C Y d y d y
设复二次型 ( ) ',' C nnf X X A X A A
经过 非退化线性替换 可逆,得,C nnX C Y C
这里0,1,2,id i r r f A秩 秩 （ ）,
第五章 二次型则称之为复二次型 ()fX的 规范形,
1
11(,,,1,,1 )
r
D d ia g
dd
11
1
11
1
1
rr
r
rr
nn
yz
d
yz
d
yz
yz
,或 Y = D Z,
2 2 212( ) ' ( ' ' ) rf X Z D C A C D Z z z z
第五章 二次型注意,
①复二次型的规范形中平方项的系数只有 1和 0两种,
② 复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定,
2.（定理 3） 任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一,
推论 1.任一复对称矩阵 A合同于对角矩阵 0,00rE
( ),rA?其 中 秩推论 2.两个复对称矩阵 A,B合同 ( ) ( ),AB秩 秩第五章 二次型二、实数域上的二次型的规范形再作非退化线性替换
1,实二次型的规范形的定义
( ) '( ' )f X Y C AC Y?
2 2 2 21 1 1 1,p p p p r rd y d y d y d y
设实二次型 经过( ) ',' R nnf X X A X A A
可逆，得标准形非退化线性替换,R nnX C Y C
其中,r = 秩 f ( ).A? 秩0,1,2,id i r
第五章 二次型则 ( ) '( ' ' )f X Z D C ACD Z?
2 2 2 211 p p rz z z z
11
1
11
1
1
()
rr
r
rr
nn
yz
d
yz
d
yz
yz
,或 Y = D Z,同 前
1
11(,,,1,,1 )
r
D d ia g
dd
称之为实二次型 的 规范形,()fX
第五章 二次型
①实二次型的规范形中平方项的系数只有 1，－ 1，
0三种,
②实二次型的规范形中平方项的系数中 1的个数与
－ 1的个数之和 = 秩 = 秩 (A)是唯一确定的,f
③规范形是唯一的,
2,(定理 4)惯性定理,任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一,
证明：只证唯一性,
注意第五章 二次型设实二次型 AXXXf ')(?经过非退化线性替换化成规范形BYX?
（ 1）
只需证,pg?
经过非退化线性替换 X CZ? 化成规范形
（ 2）
用反证法，设 pg?
由 (1),(2)，有
2 2 2 211() q q rf X z z z z
2 2 2 211() p p rf X y y y y
第五章 二次型
（ 3）
（ 4）
2 2 2 211 p p ry y y y
1 11 1 1
2 21 1 2
1
nn
nn
n n n n n n
z g y g y
z g y g y
Z G Y
z g y g y
即则 G可逆，且有1 ( ) R,nnijC B G g令
1 1 1( ) ( )Z C X C B Y C B Y且
2 2 2 211 q q rz z z z
第五章 二次型考虑齐次线性方程组
（ 5）
方程组（ 5）中未知量的个数为 n，方程的个数为
1 1 1 1
11
1
0
0
0
0
nn
q qn n
p
n
g y g y
g y g y
y
y
所以（ 5）有非零解,( ) ( ),q n p n p q n
令 为（ 5）的非零解,0 1 1(,,,,)p p nY k k k k
则有 而 不全为 0.1 0,pnkk12,pk k k
第五章 二次型将 0Y 代入（ 3）的左端，
同理可证 qp?,故 pq?,矛盾,所以,.pq?
2 2 2 2
112 2 2 2p p r
q q r
y y y y
z z z z
221 0,pkk得其值为得 0 0 1( 0,0,,)qnZ G Y z z
将其代入（ 3）的右端，得其值为 221 0grzz
由
1 11 1 1
2 21 1 2
1
( 4 )
nn
nn
n n n n n n
z g y g y
z g y g y
z g y g y
1 1 1 1
11
1
0
0
( 5 )
0
0
nn
q qn n
p
n
g y g y
g y g y
y
y
及第五章 二次型定义,实二次型 )( 1 nxxf? 的规范形
f中正平方项的个数 p 称为 的 正惯性指数 ；
rp? 称为 f 的 负惯性指数 ；负平方项的个数
rpprp 2)( 称为 f 的 符号差,它们的差
2 2 2 211 p p ry y y y
第五章 二次型推论 1、任一实对称矩阵 A合同于一个形式为其中 的个数,+1的个数1? ()rA? 秩 'p X A X等 于的正惯性指数； － 1的个数 'r p X A X? 等 于的负惯性指数,
的对角矩阵,
1
1
1
1 0
0
0
p
rp
E
E
第五章 二次型推论 2、实二次型 gf,具有相同的规范形
gf 秩秩,且 的正惯性指数 = g的正惯性指数,f
推论 3、实对称矩阵 A,B合同
( ) ( )AB秩 秩 BXXAXX '' 与的正惯性且二次型指数相等,
第五章 二次型例 1,设,证明：存在C,'nnA A A C nnB
使 '.A B B?
又 D′=D,且 2 0 0 00 0 0 0 0 0r r rE E EDD
使 0',00rEC AC D即 11( ) 'A C D C
1 2 1 1 1 1 1( ) ' ( ) ' ' ( ) ' ( )A C D C C D D C D C D C
则令 '.A B B?1,B D C
证：设 则存在可逆矩阵( ),R A r? C,nnC
第五章 二次型例 2,如果两实 n元二次型的矩阵是合同的，则认为
R上的一切 n元二次
)2)(1(21 nn 类,
它们是属于同一类的，那么实数域型可分为设证：任取实 n元二次型 ( ) ',f X X A X? ',nnAA R
()f A r秩 秩 r，则 的可能取值是 0,1,2，
…,n,而对任意给定的 (0 ),r r n
1?r指数 p 的可能取值是 0,1,…,r,共 种,
f 的正惯性即有第五章 二次型
0,0
1,0,1
,0,1,2,,
rp
rp
r n p n
1种
2种
n＋ 1种故共有 类,11 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )2n n n
第五章 二次型三、小结基本概念这里,＝秩 ( f ).r
2,n元实二次型 的规范形
12(,)nf x x x
这里,＝秩 ( f ),p 称为 f 的正惯性指数；r rp?
称为 f 的负惯性指数； 称为 符号差,2 pr?
2 2 212 rz z z
2 2 2 211 p p ry y y y
1,n元复二次型 的规范形12(,)nf x x x
第五章 二次型基本结论定理 3、任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的,
即，任一复对称矩阵 A合同于一个对角矩阵推论,两个复对称矩阵 A,B合同 ( ) ( ),AB秩 秩
0,( ),
00r
E rA
其 中 秩第五章 二次型定理 3、任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的,
即，任一实对称矩阵 A合同于一个对角矩阵
1
1
1
1
1
1
0
0
其中 的个数等于矩阵 Ａ 的秩,?1
第五章 二次型推论,两个实对称矩阵 A,B合同的充要条件是正惯性指数相等,
( ) ( ),AB?秩 秩 且二次型 与 的'X AX 'X BX
1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化如：二次型 213221321 262),,( xxxxxxxxxf
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(1)作非退化线性替换得标准形 2
32221321 622),,( yyyxxxf
(2)作非退化线性替换
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线性替换有关,
第五章 二次型
( ) ( ' ) ( )D C A C A秩 秩 秩
AXXxxf n '),,( 1∵ 若 作非退化线性替换 CYX?
DYY ' ',D C A C?化为标准形,则有而秩 (D) 等于 D 的主对角线上不为零的元素的个数,
3,问题：如何在一般数域 P上，进一步,规范,
平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，
系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关,
定义,二次型的 秩 等于矩阵 A的秩，即秩 ＝秩 （ A）,
12(,,,) 'nf x x x X A X?
f
第五章 二次型一,复数域上的二次型的规范 形
1,复二次型的规范形的定义标准形再作非退化线性替换
2211( ) ' ( ' ) rrf X Y C A C Y d y d y
设复二次型 ( ) ',' C nnf X X A X A A
经过 非退化线性替换 可逆,得,C nnX C Y C
这里0,1,2,id i r r f A秩 秩 （ ）,
第五章 二次型则称之为复二次型 ()fX的 规范形,
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,或 Y = D Z,
2 2 212( ) ' ( ' ' ) rf X Z D C A C D Z z z z
第五章 二次型注意,
①复二次型的规范形中平方项的系数只有 1和 0两种,
② 复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定,
2.（定理 3） 任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一,
推论 1.任一复对称矩阵 A合同于对角矩阵 0,00rE
( ),rA?其 中 秩推论 2.两个复对称矩阵 A,B合同 ( ) ( ),AB秩 秩第五章 二次型二、实数域上的二次型的规范形再作非退化线性替换
1,实二次型的规范形的定义
( ) '( ' )f X Y C AC Y?
2 2 2 21 1 1 1,p p p p r rd y d y d y d y
设实二次型 经过( ) ',' R nnf X X A X A A
可逆，得标准形非退化线性替换,R nnX C Y C
其中,r = 秩 f ( ).A? 秩0,1,2,id i r
第五章 二次型则 ( ) '( ' ' )f X Z D C ACD Z?
2 2 2 211 p p rz z z z
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称之为实二次型 的 规范形,()fX
第五章 二次型
①实二次型的规范形中平方项的系数只有 1，－ 1，
0三种,
②实二次型的规范形中平方项的系数中 1的个数与
－ 1的个数之和 = 秩 = 秩 (A)是唯一确定的,f
③规范形是唯一的,
2,(定理 4)惯性定理,任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一,
证明：只证唯一性,
注意第五章 二次型设实二次型 AXXXf ')(?经过非退化线性替换化成规范形BYX?
（ 1）
只需证,pg?
经过非退化线性替换 X CZ? 化成规范形
（ 2）
用反证法，设 pg?
由 (1),(2)，有
2 2 2 211() q q rf X z z z z
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第五章 二次型
（ 3）
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即则 G可逆，且有1 ( ) R,nnijC B G g令
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第五章 二次型考虑齐次线性方程组
（ 5）
方程组（ 5）中未知量的个数为 n，方程的个数为
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则有 而 不全为 0.1 0,pnkk12,pk k k
第五章 二次型将 0Y 代入（ 3）的左端，
同理可证 qp?,故 pq?,矛盾,所以,.pq?
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112 2 2 2p p r
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221 0,pkk得其值为得 0 0 1( 0,0,,)qnZ G Y z z
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及第五章 二次型定义,实二次型 )( 1 nxxf? 的规范形
f中正平方项的个数 p 称为 的 正惯性指数 ；
rp? 称为 f 的 负惯性指数 ；负平方项的个数
rpprp 2)( 称为 f 的 符号差,它们的差
2 2 2 211 p p ry y y y
第五章 二次型推论 1、任一实对称矩阵 A合同于一个形式为其中 的个数,+1的个数1? ()rA? 秩 'p X A X等 于的正惯性指数； － 1的个数 'r p X A X? 等 于的负惯性指数,
的对角矩阵,
1
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第五章 二次型推论 2、实二次型 gf,具有相同的规范形
gf 秩秩,且 的正惯性指数 = g的正惯性指数,f
推论 3、实对称矩阵 A,B合同
( ) ( )AB秩 秩 BXXAXX '' 与的正惯性且二次型指数相等,
第五章 二次型例 1,设,证明：存在C,'nnA A A C nnB
使 '.A B B?
又 D′=D,且 2 0 0 00 0 0 0 0 0r r rE E EDD
使 0',00rEC AC D即 11( ) 'A C D C
1 2 1 1 1 1 1( ) ' ( ) ' ' ( ) ' ( )A C D C C D D C D C D C
则令 '.A B B?1,B D C
证：设 则存在可逆矩阵( ),R A r? C,nnC
第五章 二次型例 2,如果两实 n元二次型的矩阵是合同的，则认为
R上的一切 n元二次
)2)(1(21 nn 类,
它们是属于同一类的，那么实数域型可分为设证：任取实 n元二次型 ( ) ',f X X A X? ',nnAA R
()f A r秩 秩 r，则 的可能取值是 0,1,2，
…,n,而对任意给定的 (0 ),r r n
1?r指数 p 的可能取值是 0,1,…,r,共 种,
f 的正惯性即有第五章 二次型
0,0
1,0,1
,0,1,2,,
rp
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r n p n
1种
2种
n＋ 1种故共有 类,11 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )2n n n
第五章 二次型三、小结基本概念这里,＝秩 ( f ).r
2,n元实二次型 的规范形
12(,)nf x x x
这里,＝秩 ( f ),p 称为 f 的正惯性指数；r rp?
称为 f 的负惯性指数； 称为 符号差,2 pr?
2 2 212 rz z z
2 2 2 211 p p ry y y y
1,n元复二次型 的规范形12(,)nf x x x
第五章 二次型基本结论定理 3、任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的,
即，任一复对称矩阵 A合同于一个对角矩阵推论,两个复对称矩阵 A,B合同 ( ) ( ),AB秩 秩
0,( ),
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其 中 秩第五章 二次型定理 3、任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的,
即，任一实对称矩阵 A合同于一个对角矩阵
1
1
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其中 的个数等于矩阵 Ａ 的秩,?1
第五章 二次型推论,两个实对称矩阵 A,B合同的充要条件是正惯性指数相等,
( ) ( ),AB?秩 秩 且二次型 与 的'X AX 'X BX
