§ 2 标准形
§ 3 唯一性
§ 4 正定二次型
§ 1 二次型的矩阵表示章小结与习题一,n元二次型四、小结三、矩阵的合同二、非退化线性替换解析几何中选择适当角度
θ,逆时针旋转坐标轴
(标准方程 )
中心与坐标原点重合的有心二次曲线问题的引入,
2 2 22f a x b x y c y
c o s sinc o s sinx x yy x y
22f a x c y
代数观点下作适当的非退化线性替换只含平方项的多项式二次齐次多项式
(标准形 )
12(,,,)nf x x x



nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx

2211
22221212
12121111
一,n元二次型
1、定义,设 P为数域，
称为数域 P上的一个 n元二次型,
①
21 2 11 1 12 1 2 1 1(,,,) 2 2n n nf x x x a x a x x a x x
n个文字 的二次齐次多项式12,,,nx x x
,,1,2,,,ija P i j n
222 2 2 22 nna x a x x
233 3 3 32 nna x a x x
2nn nax?
注意
2) 式① 也可写成
2
12
11
(,,,) 2
n
n ii i ij i j
i i j n
f x x x a x a x x


1) 为了计算和讨论的方便,式①中 的系数()ijx i j?
写成 2.ija
1） 约定①中 aij=aji,i<j,由 xixj＝ xjxi,有
②
2、二次型的矩阵表示
21 2 11 1 12 1 2 1 1(,,,)n n nf x x x a x a x x a x x
221 2 1 22 2 2 2nna x x a x a x x
21 1 2 2n n n n n n na x x a x x a x
11
nn
ijij
ij
a x x


11 12 1
21 22 2
12
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a




令
()nnAp
则矩阵 A称为 二次型 的矩阵,12(,,,)nf x x x1
2,
n
x
xX
x





2 令) 由
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
12
...
...
(,,..,,)
...
n
n
n
nn n nn
a a a x
a a a x
X AX x x x
xa a a





于是有 12(,,...,),nf x x x X AX
1
1
2
12 1
1
(,,...,)
n
jj
j
n
jj
n j
n
n j j
j
ax
ax
x x x
ax










1 1 2 2
1 1 1
n n n
j j j j n n j j
j j j
x a x x a x x a x


11
()
nn
i ij j
ij
x a x


11
nn
ijij
ij
a x x


注意,
2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具,
.AB?
若 且,则X A X X B X,A A B B
1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即,AA
（这表明在选定文字 下，二次型完全由对称矩阵 A决定,)12(,,.,,,)nf x x x X A X
12,,...,nx x x
例 1 1）实数域 R上的 2元二次型
3） 复数域 C上的 4元二次型它们的矩阵分别是：
2） 实数域 R上的 3元二次型
222f ax bx y c y
2 2 2,)1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3(,2 4 6 5 3 7f x x x x x x x x x x x x
2)1 2 3 4 1 2 1 4 2 2 3(,,,3 5 ( 3 )f x x x x ix x x x x i x x
,abbc 3 23
2
2 2 3
2 5,
37



3
22
3
22
3
2
3
2
00
50,
0 0 0
0 0 0
i
ii
i




二、非退化线性替换
1、定义,是两组文字,
，关系式
③
1 2 1 2,,,;,,,nnx x x y y y
,,1,2,..,ijc P i j n
称为由 的一个 线性替换 ;1 2 1 2,,,,,,nnx x x y y y到若系数行列式 |cij|≠0,则称 ③ 为 非退化线性替换,



nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx

2211
22221212
12121111
1 1 1 2 111
2 2 2 1 2 2 2
12
...
...
,,
...
n
n
nn n n nn
c c cxy
x y c c c
X Y C
xy c c c





令
2、线性替换的矩阵表示则 ③ 可表示为 X=CY ④
若 |C| ≠0,则 ④ 为非退化线性替换,
注 1）③或④为非退化的 为可逆矩阵,ij=c
nnC
2）若 X＝ CY为非退化线性替换,则有非退化线性替换,1Y C X
即,B为对称矩阵,
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
B C AC令 ————————
————————
| | 0C?
X CY?
事实上，
12(,,.,,,)nf x x x X A X
()B C A C C A C C A C B又
()Y C A C Y
( ) ( )C Y A C Y?
12(,,.,,,)nY B Y g y y y
12(,,.,,,)nY B Y g y y y 是一个 二次型,12,,,ny y y
三、矩阵的合同
1） 合同具有对称性,
传递性,
即 C1C2可逆,
反身性,
注,
1、定义,设,若存在可逆矩阵,nnA B P
使,则称 A与 B合同,,nnCP B C A C
A E A E
,| | 0B C A C C 11( ) ( )A C B C
1 1 2 2 1 2,,| | 0,| | 0B C A C D C B C C C
2 1 1 2()D C C A C C 1 2 1 2( ) ( )C C A C C
1 2 1 2| | | | | | 0,C C C C
3） 与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵,
2） 合同矩阵具有相同的秩,
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与
A与 B合同,
二次型 X′AX可经非退化线性替换化为二次型 Y′AY
进而，有,
C可逆 ( ) ( )BA秩 秩,B C A C
,,A A B C A C C 可 逆
()B C A C C A C C A C B
,,A A B B若原二次型矩阵是合同的,
例 1 证明：矩阵 A与 B合同，其中 11
22,
i
i
n in
AB








,
12,,,ni i i 是 1,2,,n 的一个排列,
证：作二次型
222221121 '),,,( nnn xxxAXXxxxf
故矩阵 A与 B合同,
1
2
1
2
n
i
i
ni
yx
yx
yx



对 作非退化线性替换12(,,,)nf x x x
则二次型化为（注意 的系数为 ）jix ji?
Y BY
22
2
2
121 21'),,,( niiin yyyAXXxxxf n
练习 写出下列二次型的矩阵
1 2 1 3 2 31,4 2 2x x x x x x
1
1 2 3 2
3
1 3 5
2,(,,) 2 4 6
7 8 5
x
x x x x
x



2
11
3.
n
i i j
i i j n
x x x


其中 2
1
4,( ),
n
i
i
xx

1
1,n
i
i
xxn

答案
0 2 1
1,2 0 1
1 1 0



1 1 1 1
11 1 1
11 1 1
...
...4.
...
n
n n n n
n
n n n n
n
n n n n






5
2
5
2
16
2,4 7
6 7 5



1 1 1
2 2 2
111
222
111
222
1,,,
1,,,3.
.,,1




-
4,解,2 2 2
1 1 1
( ) 2
n n n
i i i
i i i
x x x x x nx


2 2 221
1 1 1
( ) ( )
n n n
i i inn
i i i
x x x


221
11
()
nn
iin
ii
xx


221
1 1 1
( 2 )
nn
i i i jn
i i i j n
x x x x


21 2
11
n
n
i i jnn
i i j n
x x x?


四,小结
n元二次型,
非退化线性替换,
，或 X=CY,|C| ≠0.
基本概念矩阵的合同,
,,nnB C A C C P 可 逆
12
11
(,,,)
nn
n ij i j
ij
f x x x a x x X A X


( ),i j n nA a A A



nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx

2211
22221212
12121111
基本结论
1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型,
3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性,
2,二次型 X′AX可经非退化线性替换化为二型 Y′BY
B C A C,nnA B C P与 合 同,即 存 在 可 逆 使