,111 aaaa
,11 EAAAA
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵,A1?A
第四节 矩阵的逆在数的运算中,当数 时，0?a 有
aa
11 a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中的 1,A那么，对于矩阵,1?A如果存在一个矩阵,
使得定义 7 对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵则说矩阵 是 可逆 的，并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
n A B
,EBAAB
B A
n
A
使得
.1?AA 的逆矩阵记作例 设,2121
2121,
11
11?
BA
,EBAAB,的一个逆矩阵是 AB?
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的,A A
若设 和 是 的可逆矩阵，B C A 则有
,,ECAACEBAAB
可得 EBBBCAABC?,CCE
所以 的逆矩阵是唯一的,即A
.1 ACB
例 设,01
12?
A,的逆阵求 A
解 设 是 的逆矩阵,
dc
baB
A
则?
dc
baAB
01
12?
0
01
10
0122
ba
dbca
利用待定系数法
,1
,0
,02
,12
b
a
db
ca
.2
,1
,1
,0
d
c
b
a
又因为
01
12?
21
10?
01
12
21
10,
10
01?
所以,21 101?
A
A B AB
定义 9 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,
A ijA
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
性质,EAAAAA
证明,ijaA?设,ijbAA记 则
jninjijiij AaAaAab2211,ijA
称为矩阵的 伴随矩阵,
A
伴随矩阵故ijAAAij,EA?
同理可得
n
k
kjki aAAA
1
ijAijA,EA?
.)
1
()
1
(
,0
** EAA
d
A
d
A
Ad
有如果定理 3 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA 11 使即有
,11 EAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA?
,0时当?A
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AA
21
22212
12111
21
22221
11211
AAaAaAa nn 1112121111?
AAaAaAa nnnnnnnn2211
,
A
A
A
A
O
O
EAAAAA,EAA
A
A
AA
.1 AAA
按逆矩阵的定义得证毕
.
,0,,0
异矩阵称为非奇时当称为奇异矩阵时当 AAAA
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA
,1 EBA,0?A故
,1 存在因而?A 于是
EBBBAA 1ABA 1
证毕
,,1 ABEBAEAB 则或若推论证明
,,,1 111 AAAA 且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质
.11 AEA
且可逆则数可逆若,,0,2 AA
且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
1111 ABBAABAB
1 A E A,1 EAA
,111 ABAB
证明
1AB B 1? 1?A
,1 11 AA
TTT AAAA 11 TE?,E?
,11 TT AA
,,
,0,
10 kk AAEA
A
定义时当另外证明
.为正整数k
,1212 AA推广 1A mA 1?mA 1?1A
,,,4 AAAA T?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
,AA,A 115则有可逆若证明 EAA 1?
11AA
.AA 11因此有为整数时当,,,0A
, AAA, A?
定理 4
可逆矩阵，那么是可逆矩阵，是矩阵，如果是一个
nn
QssPnsA
)()()( AQPAA 秩秩秩
证明 令 B=PA.
由 定理 2
)()( AB 秩秩?
但是由
)()( BA 秩秩?
A=P -1B
有所以 )()()( PABA 秩秩秩
例 求方阵 的逆矩阵,?
343
122
321
A
解
343
122
321
A?
,0?,1存在 A
,234 1211A,333 1212A
利用伴随矩阵求逆矩阵同理可得,2,6,6,2 23222113 AAAA
,2,5,4 333231 AAA
,
222
563
462
A得故
A
AA
11
222
563
462
2
1,
111
25323
231
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
CBA
例 设
.CAXBX?使满足求矩阵解
,02
343
122
321
A?
,0135 12B
.,11 都存在 BA
,
111
25323
231
1
A且
,25 131?
B
CAXB?又由 1111 CBAA X B BA
.11 CBAX
于是 11 CBAX
25
13
13
02
31
111
25323
231
E
25
13
20
20
11
.
410
410
12
作业
P199 4（ 2） 5
P200 9 10 12
P201 20（ 2）
,11 EAAAA
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵,A1?A
第四节 矩阵的逆在数的运算中,当数 时，0?a 有
aa
11 a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中的 1,A那么，对于矩阵,1?A如果存在一个矩阵,
使得定义 7 对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵则说矩阵 是 可逆 的，并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
n A B
,EBAAB
B A
n
A
使得
.1?AA 的逆矩阵记作例 设,2121
2121,
11
11?
BA
,EBAAB,的一个逆矩阵是 AB?
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的,A A
若设 和 是 的可逆矩阵，B C A 则有
,,ECAACEBAAB
可得 EBBBCAABC?,CCE
所以 的逆矩阵是唯一的,即A
.1 ACB
例 设,01
12?
A,的逆阵求 A
解 设 是 的逆矩阵,
dc
baB
A
则?
dc
baAB
01
12?
0
01
10
0122
ba
dbca
利用待定系数法
,1
,0
,02
,12
b
a
db
ca
.2
,1
,1
,0
d
c
b
a
又因为
01
12?
21
10?
01
12
21
10,
10
01?
所以,21 101?
A
A B AB
定义 9 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,
A ijA
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
性质,EAAAAA
证明,ijaA?设,ijbAA记 则
jninjijiij AaAaAab2211,ijA
称为矩阵的 伴随矩阵,
A
伴随矩阵故ijAAAij,EA?
同理可得
n
k
kjki aAAA
1
ijAijA,EA?
.)
1
()
1
(
,0
** EAA
d
A
d
A
Ad
有如果定理 3 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA 11 使即有
,11 EAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA?
,0时当?A
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
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AA
21
22212
12111
21
22221
11211
AAaAaAa nn 1112121111?
AAaAaAa nnnnnnnn2211
,
A
A
A
A
O
O
EAAAAA,EAA
A
A
AA
.1 AAA
按逆矩阵的定义得证毕
.
,0,,0
异矩阵称为非奇时当称为奇异矩阵时当 AAAA
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA
,1 EBA,0?A故
,1 存在因而?A 于是
EBBBAA 1ABA 1
证毕
,,1 ABEBAEAB 则或若推论证明
,,,1 111 AAAA 且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质
.11 AEA
且可逆则数可逆若,,0,2 AA
且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
1111 ABBAABAB
1 A E A,1 EAA
,111 ABAB
证明
1AB B 1? 1?A
,1 11 AA
TTT AAAA 11 TE?,E?
,11 TT AA
,,
,0,
10 kk AAEA
A
定义时当另外证明
.为正整数k
,1212 AA推广 1A mA 1?mA 1?1A
,,,4 AAAA T?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
,AA,A 115则有可逆若证明 EAA 1?
11AA
.AA 11因此有为整数时当,,,0A
, AAA, A?
定理 4
可逆矩阵，那么是可逆矩阵，是矩阵，如果是一个
nn
QssPnsA
)()()( AQPAA 秩秩秩
证明 令 B=PA.
由 定理 2
)()( AB 秩秩?
但是由
)()( BA 秩秩?
A=P -1B
有所以 )()()( PABA 秩秩秩
例 求方阵 的逆矩阵,?
343
122
321
A
解
343
122
321
A?
,0?,1存在 A
,234 1211A,333 1212A
利用伴随矩阵求逆矩阵同理可得,2,6,6,2 23222113 AAAA
,2,5,4 333231 AAA
,
222
563
462
A得故
A
AA
11
222
563
462
2
1,
111
25323
231
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
CBA
例 设
.CAXBX?使满足求矩阵解
,02
343
122
321
A?
,0135 12B
.,11 都存在 BA
,
111
25323
231
1
A且
,25 131?
B
CAXB?又由 1111 CBAA X B BA
.11 CBAX
于是 11 CBAX
25
13
13
02
31
111
25323
231
E
25
13
20
20
11
.
410
410
12
作业
P199 4（ 2） 5
P200 9 10 12
P201 20（ 2）
