1
一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质
2
1 2 1 2 1 1 2 2(,,,) (,,,) (,,,)n n n na a a b b b a b a b a b
1 2 1 2(,,,,,) (,,)nnk a a a k a kk a k a P
而且这两种运算满足一些重要的规律,如引例 1
空间 Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：
在第三章 § 2中，我们讨论了数域 P上的 n维向量
0
( ) ( )
( ) 0
1
( ) ( )k l k l
()k l k l
()k k k
,,,,nP k l P
3
同样满足上述这些重要的规律，即
( ),( ),( ) [ ],
,
f x g x h x P x
k l P
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x
引例 2
数域 P上的一元多顶式环 P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算
( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )f x g x h x f x g x h x
( ) ( ) ( ) ( )k l f x k l f x?
1 ( ) ( )f x f x?
( ) ( ( ) ) 0f x f x
( ) 0 ( )f x f x
( ) ( ) ( ) ( )k l f x k f x l f x
( ( ) ( ) ) ( ) ( )k f x g x k f x k g x
4
一,线性空间的定义设 V是一个非空集合,P是一个数域，在集合 V中定义了一种代数运算，叫做 加法,即 对,,V
在 V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
的 和,记为 ；在 P与 V的元素之间还与
定义了一种运算，叫做 数量乘法,即,,V k P
在 V中都存在唯一的一个元素 δ与它们对应，称 δ为的 数量乘积,记为 如果加法和数量乘k?与,k
法还满足下述规则，则称 V为数域 P上的 线性空间,
5
加法满足下列四条规则：
①
④ 对,V 都有 V中的一个元素 β,使得
1⑤ ⑥ ( ) ( )k l k l
数量乘法与加法满足下列两条规则：
⑦ ()k l k l
③ 在 V中有一个元素 0，对,0V有
（具有这个性质的元素 0称为 V的 零元素 ）
数量乘法满足下列两条规则,;（ β 称为 的 负元素 ）0
② ( ) ( )
,,V
⑧ ()k k k
6
3,线性空间的判定：
注：
1,凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也
2,线性空间的元素也称为 向量,线性空间也称向量空间,但这里的向量不一定是有序数组．
称为 线性运算,
就不能构成线性空间．
运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者
7
例 1 引例 1,2中的 Pn,P[x] 均为数域 P上的线性空间．
例 2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添用 表示．mnP?
的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
11 1 0 1 1 0[ ] { ( ),,,}nn n nP x f x a x a x a a a a P
例 3 数域 P上 矩阵的全体作成的集合,按矩阵mn?
8
即 n 阶方阵 A的实系数多项式的全体，则 V关于矩阵例 4 令( ) ( ) [ ],nnV f A f x R x A R
的加法和数量乘法构成实数域 R上的线性空间．
证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
( ) ( ) ( ),( ) ( )f A g A h A k f A d A
其中，,( ),( ) [ ]k R h x d A R x
又 V中含有 A的零多项式，即零矩阵 0，为 V的零元素,
以 f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为
－ f(x),则 f(A)有负元素－ f(A),由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故 V为实数域 R上的线性空间,
9
二、线性空间的简单性质
1,零元素是唯一的,
2、,的负元素是唯一的，记为 -,V
证明：假设 有两个负元素 β,γ,则有?
◇ 利用负元素，我们定义 减法,
01＝ 01＋ 02＝ 02．
证明：假设线性空间 V有两个零元素 01,02，则有
0 ( ) ( ) ( ) 0
0,0
()
10
0 0,0 0,( 1 ),
()
k
k k k
3、
4,如果 k? ＝ 0，那么 k＝ 0或 ＝ 0,?
1 1 1( ) ( ) 0 0,k k k k k
证明：假若 则0,k?
一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质
2
1 2 1 2 1 1 2 2(,,,) (,,,) (,,,)n n n na a a b b b a b a b a b
1 2 1 2(,,,,,) (,,)nnk a a a k a kk a k a P
而且这两种运算满足一些重要的规律,如引例 1
空间 Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：
在第三章 § 2中，我们讨论了数域 P上的 n维向量
0
( ) ( )
( ) 0
1
( ) ( )k l k l
()k l k l
()k k k
,,,,nP k l P
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同样满足上述这些重要的规律，即
( ),( ),( ) [ ],
,
f x g x h x P x
k l P
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x
引例 2
数域 P上的一元多顶式环 P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算
( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )f x g x h x f x g x h x
( ) ( ) ( ) ( )k l f x k l f x?
1 ( ) ( )f x f x?
( ) ( ( ) ) 0f x f x
( ) 0 ( )f x f x
( ) ( ) ( ) ( )k l f x k f x l f x
( ( ) ( ) ) ( ) ( )k f x g x k f x k g x
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一,线性空间的定义设 V是一个非空集合,P是一个数域，在集合 V中定义了一种代数运算，叫做 加法,即 对,,V
在 V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
的 和,记为 ；在 P与 V的元素之间还与
定义了一种运算，叫做 数量乘法,即,,V k P
在 V中都存在唯一的一个元素 δ与它们对应，称 δ为的 数量乘积,记为 如果加法和数量乘k?与,k
法还满足下述规则，则称 V为数域 P上的 线性空间,
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加法满足下列四条规则：
①
④ 对,V 都有 V中的一个元素 β,使得
1⑤ ⑥ ( ) ( )k l k l
数量乘法与加法满足下列两条规则：
⑦ ()k l k l
③ 在 V中有一个元素 0，对,0V有
（具有这个性质的元素 0称为 V的 零元素 ）
数量乘法满足下列两条规则,;（ β 称为 的 负元素 ）0
② ( ) ( )
,,V
⑧ ()k k k
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3,线性空间的判定：
注：
1,凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也
2,线性空间的元素也称为 向量,线性空间也称向量空间,但这里的向量不一定是有序数组．
称为 线性运算,
就不能构成线性空间．
运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者
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例 1 引例 1,2中的 Pn,P[x] 均为数域 P上的线性空间．
例 2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添用 表示．mnP?
的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
11 1 0 1 1 0[ ] { ( ),,,}nn n nP x f x a x a x a a a a P
例 3 数域 P上 矩阵的全体作成的集合,按矩阵mn?
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即 n 阶方阵 A的实系数多项式的全体，则 V关于矩阵例 4 令( ) ( ) [ ],nnV f A f x R x A R
的加法和数量乘法构成实数域 R上的线性空间．
证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
( ) ( ) ( ),( ) ( )f A g A h A k f A d A
其中，,( ),( ) [ ]k R h x d A R x
又 V中含有 A的零多项式，即零矩阵 0，为 V的零元素,
以 f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为
－ f(x),则 f(A)有负元素－ f(A),由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故 V为实数域 R上的线性空间,
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二、线性空间的简单性质
1,零元素是唯一的,
2、,的负元素是唯一的，记为 -,V
证明：假设 有两个负元素 β,γ,则有?
◇ 利用负元素，我们定义 减法,
01＝ 01＋ 02＝ 02．
证明：假设线性空间 V有两个零元素 01,02，则有
0 ( ) ( ) ( ) 0
0,0
()
10
0 0,0 0,( 1 ),
()
k
k k k
3、
4,如果 k? ＝ 0，那么 k＝ 0或 ＝ 0,?
1 1 1( ) ( ) 0 0,k k k k k
证明：假若 则0,k?
